Формула полной вероятности

[drzewo]

Я не специалист по теорверу, не преподавал его никогда и статей по нему не писал. Поэтому у меня вопрос, наведенный вот этой простыней : https://dxdy.ru/post1647259.html#p1647259

Формула полной вероятности сводится к тому, что если у нас есть вероятностное пространство $X$, представленное счетным набором измеримых подмножеств

$$X=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}X_i,\quad X_i\cap X_j=\emptyset,\quad i\ne j$$

то мера любого измеримого множества $M\subset X$ вычисляется по формуле

$$\mu(M)=\sum_i\mu(M\cap X_i)$$

просто потому, что $M=\bigcup_i(M\cap X_i)$ и множества $M\cap X_i$ не пересекаются.
Это наглядные очевидные формулы. Почему студентам в теме <<Формула полной вероятности>>
рассказывают (как правило) что угодно кроме вот этой интерпретации в терминах множеств и меры?

[Combat Zone]

Почему не рассказывают? Это практически и есть текст доказательства формулы полной вероятности. В роли меры выступает вероятностная мера.

[Mihr]

Примерно так это и излагается в существующих учебниках по теорверу. Только говорят не о множествах и их мере, а о событиях и их вероятностях. Ну, и обозначения несколько разные в разных учебниках. Вот, например, так вывод формулы изложен у Е.С. Вентцель:

Вложение:

501 (Copy).jpg [ 120.88 Кб | Просмотров: 0 ]

Вот так у В.Е. Гмурмана:

Вложение:

502 (Copy).jpg [ 163.86 Кб | Просмотров: 0 ]

А вот так в учебнике И.П. Мацкевича и Г.П. Свирида:

Вложение:

504 (Copy).jpg [ 89.87 Кб | Просмотров: 0 ]

Везде тот же вывод, что и у Вас (плюс к тому - формула условной вероятности).

(Все картинки кликабельны).

[drzewo]

Mihr в сообщении #1647272 писал(а):

Везде тот же вывод, что и у Вас

Разумеется тот же вывод, но в вероятностных терминах.
И вот мне непонятно, почему не проговаривать это на двух языках: на вероятностном и на языке теории множеств и меры.

[Anton_Peplov]

Mihr в сообщении #1647272 писал(а):

Вот, например, так вывод формулы изложен у Е.С. Вентцель:

Это учебник для инженеров. Гмурмана толком не читал, но Вентцель вообще не произносит слова "мера". В учебнике, где автор только она (без Овчарова), Вентцель не говорит даже, что события - это множества. Мотивация понятна: не напугать прикладников до обморока.

Боровков, который "для математических и физических специальностей" и запросто жонглирует сигма-алгебрами и борелевскими множествами, пишет следующее:

Вложение:

1.jpg [ 203.77 Кб | Просмотров: 0 ]

[drzewo]

Anton_Peplov в сообщении #1647274 писал(а):

и запросто жонглирует сигма-алгебрами и борелевскими множествами

да не в жонглировании дело, дело в том, что множество можно нарисовать, а событие-- нет. А мера -- это площадь кляксы на рисунке.

[Mihr]

drzewo в сообщении #1647273 писал(а):

мне непонятно, почему не проговаривать это на двух языках: на вероятностном и на языке теории множеств и меры

Может, в каких-то курсах и проговаривается дважды, не знаю. Но я не встречал.
Всё написанное ниже - чисто имхо, разумеется.
Общее число студентов, изучающих теорию вероятностей, значительно превышает число тех студентов, которые впоследствие станут профессиональными математиками. И этому большинству - всевозможным технарям и экономистам - теория множеств как таковая - "до лампочки". Её самые-самые начала они усвоили, но погружаться в серьёзные понятия, в том числе в теорию меры, им просто ни к чему. А терминология теории вероятностей для них - более осязаема, что ли. Более понятна. И дублировать на абстрактном для них языке мысль, усвоенную на привычном языке, они не захотят. Вам, как математику, наверно, множества привычней и "роднее", Вы видите суть формулы, видите, что она - непосредственное отражение привычных Вам свойств множеств, ну, а будущие экономисты и технари мыслят совершенно иначе, в других категориях. И учебники пишутся под их запросы, что, разумеется, правильно.

-- 25.07.2024, 00:09 --

drzewo в сообщении #1647275 писал(а):

дело в том, что множество можно нарисовать, а событие-- нет. А мера -- это площадь кляксы на рисунке.

События тоже можно нарисовать. Описать в терминах стрельбы по мишеням. Событие $A$ - попадание точечной пули вот в эту область. Событие $B$ - вот в эту. А вероятность события пропорциональна площади области.

[Anton_Peplov]

drzewo в сообщении #1647275 писал(а):

дело в том, что множество можно нарисовать, а событие-- нет. А мера -- это площадь кляксы на рисунке

Это, конечно, так. Но для целевой аудитории Вентцель событие - это "попалась бракованная деталь" или "парашют не раскрылся" (ее первые лекции были для чего-то военно-воздушного). И вот вероятность этого события надо вычислить.
Идея, что событие - это множество, довольно абстрактная. Для Вас она элементарна, потому что Вы математик и еще и не такое видели. А студент Елены Сергеевны захлопал бы глазами: какая клякса? Ладно, я научусь вычислять площадь кляксы, а при чем здесь мой парашют?

А если меру вводить, там еще и неизмеримые множества появятся. Вентцель в лепешку разбивается, чтобы объяснить своему читателю, как возможное событие может иметь вероятность нуль (приводит аналогию с массой, равномерно распределенной по телу, и еще чем-то). На понятие измеримого множества она решила даже не замахиваться.

[Combat Zone]

drzewo в сообщении #1647275 писал(а):

да не в жонглировании дело, дело в том, что множество можно нарисовать, а событие-- нет. А мера -- это площадь кляксы на рисунке.

Да ведь это все равно делается. С самого начала. Когда вводится терминология ТВ. Что такое произведения событий, сумма событий, и т.д. И все рисуется, мне кажется, для всех специальностей, сперва не заморачиваясь, можно это рисовать или нет. И в зависимости от восприимчивости и бэкграунда потока, говорится, что вероятность это мера, посмотрите, все свойства выполнены, мера по определению. А если бэкграунд не позволяет таких слов, то совершенно спокойно воспринимаются доказательства "с помощью картинок" простейших свойств вероятности, например, формулы для вероятности суммы и т.п.

Может, я и неправильно делаю, но даже для "совсем прикладников" (математиков, но с сильно урезанной программой, есть такие специальности) я рано или поздно говорю слово мера. И чтобы оно нормально воспринималось, говорю, что на плоскости привычная вам мера - площадь, а в пространстве - сами угадайте. А тут - вероятность. Она особенная, потому что счетно-аддитивная (да, мы не ищем легких путей) и нормированная. И так единожды слово мера сказав, я потом его регулярно повторяю, - мы же помним, что вероятность это мера, да? Тогда, когда это к случаю.

И без картинок никуда, как иначе. Хотя это все дай бог если хоть кому пригодится - доказательства народ обычно в топку. Дай бог, если задачи решают.

-- 24.07.2024, 23:37 --

Anton_Peplov в сообщении #1647278 писал(а):

На понятие измеримого множества она решила даже не замахиваться.

Но это не мешает ей приводить рис. 3.2.2 в пояснение к формуле 3.2.3.