Импликация

[Vladimir Pliassov]

1.

epros в сообщении #1646002 писал(а):

Логика - всего лишь система общих правил манипулирования утверждениями. А о чём будут эти утверждения - о действительности или о фантазиях - мы вольны выбирать сами.

Рассмотрим еще раз импликацию $(50<10)\to (50< 100)$, а также импликацию $(50<10)\to (50\geqslant 100)$.

(В теме topic157093.html мы рассматривали импликации $(5<10)\to (5<100)$, $(50<10)\to (50<100)$, $(500<10)\to (500<100)$ и импликации $(5<10)\to (5>100)$, $(50<10)\to (50>100)$, $(500<10)\to (500>100)$.)

По Куратовскому, Мостовскому, $(50<10)$, $(50<100)$ и $(50\geqslant 100)$ это высказывания, в которые превращаются высказывательные функции $x<10$, $x<100$ и $x\geqslant 100$ соответственно при подстановке вместо $x$ конкретного значения $50$.

(см. https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 53, начало).

Я понимаю так, что

для каждого $ x<10$, то есть при соблюдении условия, импликация высказывательных функций $(x<10)\to (x< 100)$ -- превращаясь в импликацию высказываний с истинной посылкой, например, в $(5<10)\to (5< 100)$, -- соответствует действительности,

и

для каждого $ x<10$, то есть при соблюдении условия, импликация высказывательных функций $(x<10)\to (x\geqslant 100)$ -- также превращаясь в импликацию высказываний с истинной посылкой, например, в $(5<10)\to (5\geqslant 100)$, -- не соответствует действительности и соответствует некоторой фантазии.

Здесь под действительностью я понимаю теорию вещественных чисел.

Что же касается импликаций высказываний $(50<10)\to (50<100)$ и $(50<10)\to (50\geqslant 100)$, то тут я понял вот что (надеюсь, что я не ошибаюсь):

бессмысленно рассматривать их на предмет соответствия действительности, потому что у них ложная посылка.

Согласие с этой мыслью я вижу в следующем посте:

mihaild в сообщении #1634632 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1634626 писал(а):

потому что в действительности нет такого факта: если число меньше $10$, то оно больше $100$

А есть ли в действительности факт "если $500$ меньше $10$, то $500$ больше $100$"? И как Вы это установили?

Хотя, по-моему, здесь имелось в виду: "А есть ли в действительности факт "если $500$ меньше $10$, то $500$ меньше $100$"?" Впрочем, это не важно, важно, что $500<10$ это ложная посылка.

Несколько ранее я там написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1634530 писал(а):

в логике высказываний истинность простых высказываний определяется тем, соответствуют ли они действительности, а истинность сложных высказываний -- тем, соответствуют ли они таблице истинности, при этом [соответствуя таблице истинности] они могут не соответствовать действительности. Например,

простое высказывание $(500<10)$ -- ложное, потому что не соответствует действительности,

простое высказывание $(500>100)$ -- истинное, потому что соответствует действительности,

сложное высказывание $(500<10) \to (500>100)$ -- истинное, потому что соответствует таблице истинности, но при этом оно не соответствует действительности: <...> из того, что число меньше десяти, не следует, что оно больше ста

Здесь, как видно, я еще не понимал, что импликация с ложной посылкой не является ни соответствующей, ни несоответствующей действительности, раз я рассматривал импликацию $(500<10) \to (500>100)$ на предмет этого соответствия.

2.

Да, я думаю, нельзя сказать, что импликация с ложной посылкой соответствует действительности, и нельзя сказать, что она ей не соответствует.

Когда я говорю: "соответствует или не соответствует действительности", -- я имею в виду, что на вопрос: "Так ли это в самом деле?" -- можно ответить либо: "Да", -- либо: "Нет". Но когда спрашивают: "Правда ли, что если пятьсот меньше, чем десять, то пятьсот не меньше, чем сто?" -- на такой вопрос невозможно (обоснованно) ответить ни утвердительно, ни отрицательно, потому что бессмысленно исходить из того, что пятьсот меньше, чем десять.

(Повторюсь: здесь под действительностью я понимаю теорию вещественных чисел.)

Так же и на вопрос: "Правда ли, что если пятьсот меньше, чем десять, то пятьсот меньше, чем сто?" -- невозможно ответить ни утвердительно, ни отрицательно.

В противоположность этому, на вопрос: "Правда ли, что если число меньше, чем десять, то оно не меньше, чем сто?" -- можно ответить отрицательно, а на вопрос: "Правда ли, что если число меньше, чем десять, то оно меньше, чем сто?" -- можно ответить утвердительно.

И на вопрос: "Правда ли, что, поскольку $5<10$, то $5\geqslant 100$?" -- можно ответить отрицательно, а на вопрос: "Правда ли, что, поскольку $5<10$, то $5<100$?" -- можно ответить утвердительно.

Так, может быть, запретить импликации высказываний с ложной посылкой? Нет, конечно, но они, как я понимаю, должны употребляться не для сравнения с действительностью -- соответствуют они ей или нет, -- а для логических операций (об этом чуть ниже).

3.

Исходя из сказанного, если считать истинными те импликации, которые соответствуют действительности, а ложными те, которые ей не соответствуют, то импликации с ложной посылкой не являются ни истинными, ни ложными. Так что, по-моему, надо отказаться от определения: "Истинная импликация это та, которая соответствует действительности, а ложная -- та, которая ей не соответствует", -- или отказаться от него наполовину, так как оно верно для импликаций с истинной посылкой и не верно для импликаций с ложной посылкой.

Оставить надо определение:

импликации с истинной посылкой и ложным заключением являются ложными, а остальные импликации -- истинными,

оно, как я понимаю, верно для всех импликаций.

Основанием к тому, чтобы оставить это определение, является, насколько я понимаю, то, что, если взять принятые в логике нулевого порядка определения истинности для всех составных высказываний (то есть для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции), то при проведении логических операций каким-то образом, так сказать, "сходятся концы с концами". Как так получается, это вопрос, который меня теперь занимает, но, как я понимаю, получается.

А если хоть одно определение истинности изменить, то "концы с концами сходиться не будут". Я, например, взял несколько тавтологий и попробовал, не останутся ли они тавтологиями, если импликации с ложной посылкой считать ложными или если одну из них считать истинной, а другую ложной, и у меня ни одна тавтология не осталась тавтологией (хотя, может быть, некоторые тавтологии при этом могли бы случайным образом остаться тавтологиями, не знаю).

4.

Выше я написал:

"для каждого $ x<10$, то есть при соблюдении условия, импликация высказывательных функций $(x<10)\to (x< 100)$ -- превращаясь в импликацию высказываний с истинной посылкой <...>, -- соответствует действительности,

и

для каждого $ x<10$, то есть при соблюдении условия, импликация высказывательных функций $(x<10)\to (x\geqslant 100)$ -- также превращаясь в импликацию высказываний с истинной посылкой <...>, -- не соответствует действительности ..."

Замечу, что здесь написано: "для каждого $ x<10$" -- , но не "для каждого $ x\in\mathbb R$", потому что, если бы было написано: "для каждого $ x\in\mathbb R$", -- то не все из этих импликаций высказываний имели бы истинную посылку.

5.

В первом сообщении этой темы определение "импликации с истинной посылкой и ложным заключением являются ложными, а остальные импликации -- истинными" названо Определением 2. Там есть еще эквивалентное ему Определение 1, но в нем надо разобраться с тем, что значат выражения "исключение конъюнкции" и "возникновение импликации".

6.

Я сказал: "сходятся концы с концами", -- но, насколько я знаю, в классической логике "сходятся не все концы с концами", и поэтому существуют и другие логики.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1646730 писал(а):

Что же касается импликаций высказываний $(50<10)\to (50<100)$ и $(50<10)\to (50\geqslant 100)$, то тут я понял вот что (надеюсь, что я не ошибаюсь):

бессмысленно рассматривать их на предмет соответствия действительности, потому что у них ложная посылка.

Я не знаю, зачем Вы рассуждаете о какой-то "действительности". Логика за действительность не отвечает. Можно, конечно, словосочетание "соответствует действительности" понимать как синоним для "истинно" или "утвержается". Но тогда вспоминайте, что в классической логике импликация с ложной посылкой истинна.

Vladimir Pliassov в сообщении #1646730 писал(а):

Да, я думаю, нельзя сказать, что импликация с ложной посылкой соответствует действительности, и нельзя сказать, что она ей не соответствует.

В классической логике можно в силу ex falso quodlibet, который Вам ранее выводили из нескольких простых вещей.

Vladimir Pliassov в сообщении #1646730 писал(а):

Но когда спрашивают: "Правда ли, что если пятьсот меньше, чем десять, то пятьсот не меньше, чем сто?" -- на такой вопрос невозможно (обоснованно) ответить ни утвердительно, ни отрицательно, потому что бессмысленно исходить из того, что пятьсот меньше, чем десять.

"Исходить" можно из чего угодно, потому что можно заранее не знать, что оно ложно. Но вот если мы узнали, что предпосылка ложна, то утверждать импликацию можем вполне "обоснованно".

Дальше много непонятных сочетаний букв, я пока не осилил.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1646836 писал(а):

Я не знаю, зачем Вы рассуждаете о какой-то "действительности".

В своем предыдущем посте я написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1646730 писал(а):

Здесь под действительностью я понимаю теорию вещественных чисел.

Вы согласны, что с точки зрения теории вещественных чисел бессмысленно исходить из того, что пятьсот меньше, чем десять?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1646848 писал(а):

Вы согласны, что с точки зрения теории вещественных чисел бессмысленно исходить из того, что пятьсот меньше, чем десять?

Я догадываюсь, что с точки зрения какой-то теории пятьсот не меньше, чем десять. Однако это не помешает кому-то, кто этого не знает или не принимает, "исходить" из этого. Тот же, кто это знает, как раз скажет, что импликация с данной посылкой истинна.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1646848 писал(а):

Вы согласны, что с точки зрения теории вещественных чисел бессмысленно исходить из того, что пятьсот меньше, чем десять?

Смотря в каком смысле "исходить". С бытовой точки зрения - да, бессмысленно. С точки зрения математической логики - вполне осмысленно, хотя и не особо полезно.

Что Вы хотите кому доказать? Что некоторые правила математической логики кажутся нелепыми и неверными? Ну да, кажутся - с этим никто не спорит. Но не всё, что кажется неразумным на первый взгляд, действительно является таковым. Чтобы это понять, нужен опыт, а вначале - готовность его нарабатывать.

Если Вы будете читать разные книги, разбираться в них и не будете держаться за свои устоявшиеся представления - у Вас постепенно выработается нужная интуиция и заменит собой старую. Спорить тут не о чём.

[epros]

Mikhail_K в сообщении #1646852 писал(а):

Смотря в каком смысле "исходить"

В принципе понятно, чего человеку хочется. Поскольку импликация имеет смысл утверждения о "логическом следовании" антецедента из консеквента, некоторым непонятно, какой смысл в следовании из того, что заведомо не может быть истинным. Так вот, с точки зрения классической логики смысл как раз есть. И я ранее показывал из чего он выводится: из теоремы дедукции (или из первой Гильбертовской аксиомы исчисления высказываний) и из закона снятия двойного отрицания. Эти две вещи с неизбежностью приводят к тому, что "логическое следование" из ложной посылки может быть совершенно любым.

[Vladimir Pliassov]

Очевидно, в сообщении #1646730 я не очень ясно изложил, что хотел. Главная мысль была:

Vladimir Pliassov в сообщении #1646730 писал(а):

отказаться от определения: "Истинная импликация это та, которая соответствует действительности, а ложная -- та, которая ей не соответствует", -- или отказаться от него наполовину, так как оно верно для импликаций с истинной посылкой и не верно для импликаций с ложной посылкой.

Оставить надо определение:

импликации с истинной посылкой и ложным заключением являются ложными, а остальные импликации -- истинными,

оно, как я понимаю, верно для всех импликаций.

Против этого есть возражения?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
Если хотите, Вы можете ввести своё понятие Pliassov-импликации и определить её как хотите.
Ведь в математике можно вводить любые понятия и давать им любые определения.
Просто эта Pliassov-импликация будет очень неудобным и ненужным инструментом по сравнению с обычной импликацией, которая определяется так, как она определяется в учебниках математической логики.
Поэтому никто из математиков не согласится убрать из учебников обычную импликацию и заменить её Вашей.
Чтобы это понять, нужен опыт. Говорю же, не о чём тут спорить.
Понятно, что людям, только начинающим изучать математику, имеющееся определение импликации кажется странным и неразумным. А профессиональным математикам оно, наоборот, кажется естественным, удобным и разумным. Тут нет вопроса правильности или неправильности, есть вопрос удобства - причём удобства внутриматематического, а не бытового.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1646730 писал(а):

надо отказаться от определения: "Истинная импликация это та, которая соответствует действительности, а ложная -- та, которая ей не соответствует"

Правильно. Никакой "действительности" в определении не место. Собственно ни в одном разумном месте такого определения и нет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1646730 писал(а):

Оставить надо определение:
импликации с истинной посылкой и ложным заключением являются ложными, а остальные импликации -- истинными

Да, это стандартное определение.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1646863 писал(а):

Оставить надо определение:

импликации с истинной посылкой и ложным заключением являются ложными, а остальные импликации -- истинными,

оно, как я понимаю, верно для всех импликаций.

Против этого есть возражения?

Нет возражений, всё верно.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1646867 писал(а):

Нет возражений, всё верно.

Но согласны ли Вы с тем, что надо отказаться от определения "Истинная импликация это та, которая соответствует действительности, а ложная -- та, которая ей не соответствует",

и даже не потому, что математики никак не договорятся, что такое действительность (и существует ли она вообще), а потому что, даже если они в каком-то случае об этом договорятся,

это определение можно будет применять для импликаций с истинной посылкой и нельзя будет применять для импликаций с ложной посылкой?

Почему я так считаю?

Как я уже писал, когда я говорю: "соответствует или не соответствует действительности", -- я имею в виду, что на вопрос: "Так ли это в самом деле?" -- можно ответить либо: "Да", -- либо: "Нет". Но когда спрашивают: "Правда ли, что если пятьсот меньше, чем десять, то пятьсот не меньше, чем сто?" -- на такой вопрос невозможно (обоснованно) ответить ни утвердительно, ни отрицательно, потому что бессмысленно исходить из того, что пятьсот меньше, чем десять.

(Здесь под действительностью я понимаю теорию вещественных чисел.)

Так что нельзя сказать, что импликация с ложной посылкой соответствует действительности, и нельзя сказать, что она ей не соответствует.

В противоположность этому, на вопрос: "Правда ли, что, поскольку $5<10$, то $5\geqslant 100$?" -- можно ответить отрицательно (признавая тем самым, что эта импликация не соответствует действительности), а на вопрос: "Правда ли, что, поскольку $5<10$, то $5<100$?" -- можно ответить утвердительно (признавая тем самым, что эта импликация действительности соответствует).

Так же, как если взять какое-то предложение, которое является простым высказыванием, например, "Волга впадает в Каспийское море", -- то на вопрос: "Так ли это?" -- возможно ответить: "Да", -- или: "Нет". А если взять такое предложение, что на этот вопрос нельзя ответить: "Да", -- или: "Нет", -- то это не высказывание.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

Но согласны ли Вы с тем, что надо отказаться от определения "Истинная импликация это та, которая соответствует действительности, а ложная -- та, которая ей не соответствует"

Согласен, надо отказаться.

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

и даже не потому, что математики никак не договорятся, что такое действительность (и существует ли она вообще), а потому что

Потому что это определение нестрогое, непонятное.

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

Как я уже писал, когда я говорю: "соответствует или не соответствует действительности", -- я имею в виду, что на вопрос: "Так ли это в самом деле?"

Другими словами, "соответствует действительности" = истинно. Тогда формулировка "Истинная импликация это та, которая соответствует действительности, а ложная -- та, которая ей не соответствует" - это просто тавтология. Да, истинная импликация - это та, которая истинна. С этим не поспоришь.

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

Но когда спрашивают: "Правда ли, что если пятьсот меньше, чем десять, то пятьсот не меньше, чем сто?" -- на такой вопрос невозможно (обоснованно) ответить ни утвердительно, ни отрицательно

Нет, можно и нужно ответить положительно. Так учит математическая логика.

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

потому что бессмысленно исходить из того, что пятьсот меньше, чем десять.

Кажется, что Вы путаете математику с философией. С философской точки зрения, может, и бессмысленно. А математика вполне может рассматривать бессмысленные на первый взгляд вещи, просто постулируя что-нибудь. Можно постулировать, что через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной (как в геометрии Евклида) - а можно постулировать, что таких прямых более одной (как в геометрии Лобачевского); можно рассмотреть и другие геометрии. И затем можно смотреть, будут ли получаться интересные и содержательные теории - интересные и содержательные как сами по себе, так и в применении к реальному миру. И в некоторый момент может оказаться, что как раз евклидова геометрия и не совсем точно описывает реальный мир (как известно из общей теории относительности), а для описания реальности требуются математические теории, основанные на каких-то абсурдных на первый взгляд утверждениях.

Ну вот, математики попробовали постулировать, что "из лжи следует что угодно". Получилась удобная, красивая, содержательная математическая логика. И также оказывается, что, рассуждая о реальности, вполне можно пользоваться этой же логикой - она не подведёт. Обыденная логика никак не противоречит математической - просто есть вопросы (например, о том, что следует из $500<10$), на которые обыденная логика ничего не отвечает, считает их бессмысленными, а математическая логика даёт точный ответ.

[epros]

Vladimir Pliassov, Вы не слышите, что Вам говорят.

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

Но согласны ли Вы с тем, что надо отказаться от определения "Истинная импликация это та, которая соответствует действительности, а ложная -- та, которая ей не соответствует",

Такого определения никогда не было, потому что никто не понимает, что это значит.

Импликация, это просто высказывание, выражающее отношение "следовательно" между двумя другими высказываниями: посылкой (антецедентом) и заключением (консеквентом). Это не только в классической логике, но в любой, которая использует импликацию.

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

когда я говорю: "соответствует или не соответствует действительности", -- я имею в виду, что на вопрос: "Так ли это в самом деле?" -- можно ответить либо: "Да", -- либо: "Нет"

На вопрос об истинности любого высказывания можно ответить либо "Да", либо "Нет". Это потому что классическая логика двузначная.

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

А если взять такое предложение, что на этот вопрос нельзя ответить: "Да", -- или: "Нет", -- то это не высказывание.

Если Вы имели в виду выражения типа $50 < 10 \to 50 > 100$, то это - высказывание, и правильный ответ на вопрос о его истинности - "Да".

[Vladimir Pliassov]

1.

Важный вопрос решен: забраковано определение "Истинная импликация это та, которая соответствует действительности, а ложная -- та, которая ей не соответствует".

Но остались еще некоторые неясности.

Mikhail_K в сообщении #1646901 писал(а):

Обыденная логика никак не противоречит математической - просто есть вопросы (например, о том, что следует из $500<10$), на которые обыденная логика ничего не отвечает, считает их бессмысленными, а математическая логика даёт точный ответ.

Как я понимаю, то, что Вы называете обыденной логикой, это математическая логика в неполном объеме: все, что в ней есть, есть и в математической логике, но в последней есть еще что-то такое, чего нет в обыденной логике, например, высказывание о том, что следует из $500<10$.

Так, может быть, логика теории вещественных чисел в этом смысле и есть обыденная логика, то есть математическая логика в неполном объеме, и в ней не рассматривается высказывание о том, что следует из $500<10$?

Mikhail_K в сообщении #1646901 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

потому что бессмысленно исходить из того, что пятьсот меньше, чем десять.

Кажется, что Вы путаете математику с философией. С философской точки зрения, может, и бессмысленно. А математика вполне может рассматривать бессмысленные на первый взгляд вещи, просто постулируя что-нибудь. Можно постулировать, что через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной (как в геометрии Евклида) - а можно постулировать, что таких прямых более одной (как в геометрии Лобачевского); можно рассмотреть и другие геометрии.

Но я не думаю, что в той самой -- распространенной и всем математикам известной -- теории вещественных чисел постулируется, что $500<10$. Так что для нее высказывание $500 < 10 \to 500< 100$, по-моему, лишено смысла.

2.

Возьмем в качестве действительности теорию вещественных чисел.

Импликацию $(5<10)\to (5< 100)$ можно доказать, исходя из аксиом этой теории. Назовем это соответствием этой теории, то есть соответствием действительности.

Импликацию $(5<10)\to (5\geqslant 100)$ можно опровергнуть, исходя из аксиом этой теории. Назовем это несоответствием этой теории, то есть несоответствием действительности.

Но можно ли, исходя из этих аксиом, доказать или опровергнуть импликацию $(50<10)\to (50<100)$? По-моему, нет.

Поэтому я говорю, что эта импликация ни соответствует, ни не соответствует теории вещественных чисел, то есть действительности, у нее к ней какое-то совсем третье отношение (об этом подробнее немного ниже).

3.

epros в сообщении #1646917 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

А если взять такое предложение, что на этот вопрос нельзя ответить: "Да", -- или: "Нет", -- то это не высказывание.

Если Вы имели в виду выражения типа $50 < 10 \to 50 > 100$, то это - высказывание, и правильный ответ на вопрос о его истинности - "Да".

Нет, я имел в виду, что выражения "$x<10$" и "Как пройти в библиотеку?" это не высказывания, первое -- потому что это высказывательная функция, второе -- потому что это вопросительное предложение.

epros в сообщении #1646917 писал(а):

Если Вы имели в виду выражения типа $50 < 10 \to 50 > 100$, то это - высказывание, и правильный ответ на вопрос о его истинности - "Да".

Речь не об истинности -- что касается истинности, то оно, конечно, истинно, так как (в соответствии с определением, которое не забраковали) имеет ложную посылку.

Речь о том, что оно, хотя и имеет ложную посылку, не соответствует действительности (исходя из определения соответствия/несоответствия действительности, данного в п. 2).

epros в сообщении #1646917 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

когда я говорю: "соответствует или не соответствует действительности", -- я имею в виду, что на вопрос: "Так ли это в самом деле?" -- можно ответить либо: "Да", -- либо: "Нет"

На вопрос об истинности любого высказывания можно ответить либо "Да", либо "Нет".

Здесь то же самое: речь идет не об истинности, а о соответствии действительности.

Здесь вопрос: "Так ли это в самом деле?" -- касается не логики (в которой он имеет смысл), а действительности, а именно, теории вещественных чисел, а в ней, по-моему, вопрос: "Правда ли, что если пятьсот меньше, чем десять, то пятьсот не меньше, чем сто?" -- не имеет смысла, так как по ее аксиомам, насколько я понимаю, факта "пятьсот меньше, чем десять" не существует.

То есть один и тот же вопрос имеет смысл в логике высказываний и не имеет смысла в теории вещественных чисел.

epros в сообщении #1646917 писал(а):

... либо "Да", либо "Нет". Это потому что классическая логика двузначная.

Я думаю, для решения вопроса, который мы обсуждаем:

всегда ли можно определить, соответствует или не соответствует данное высказывание действительности? --

двузначная логика не подходит, потому что, как я уже говорил,

нельзя сказать, что импликация с ложной посылкой соответствует действительности, и нельзя сказать, что она ей не соответствует (исходя из определения соответствия/несоответствия действительности, данного в п. 2),

нужна третья альтернатива -- ни то, ни другое.

4.

Mikhail_K в сообщении #1646901 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

и даже не потому, что математики никак не договорятся, что такое действительность (и существует ли она вообще), а потому что

Потому что это определение нестрогое, непонятное.

А непонятное оно, потому что не определено, что такое действительность.

Но даже если бы это было определено (я там написал), и таким образом, это определение (которое забраковали), стало строгим и понятным, его можно было бы применять для импликаций с истинной посылкой и нельзя было бы применять для импликаций с ложной посылкой, так как, если считать истинными те импликации, которые соответствуют действительности, а ложными те, которые ей не соответствуют (по определению соответствия/несоответствия действительности из п. 2), то импликации с ложной посылкой не являются ни истинными, ни ложными.

Mikhail_K в сообщении #1646901 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

Как я уже писал, когда я говорю: "соответствует или не соответствует действительности", -- я имею в виду, что на вопрос: "Так ли это в самом деле?"

Другими словами, "соответствует действительности" $=$ истинно.

Нет, для импликации "быть истинной" и "соответствовать действительности" это, как я понимаю, разные вещи, и они не всегда совпадают.

Mikhail_K в сообщении #1646901 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1646899 писал(а):

Но когда спрашивают: "Правда ли, что если пятьсот меньше, чем десять, то пятьсот не меньше, чем сто?" -- на такой вопрос невозможно (обоснованно) ответить ни утвердительно, ни отрицательно

Нет, можно и нужно ответить положительно. Так учит математическая логика.

Но учит ли так же теория вещественных чисел?

5.

Я думаю, должно быть признано, что логика и теория вещественных чисел это не одно и то же (несмотря на то, что все, что происходит в теории вещественных чисел, происходит по законам логики).

Если это будет признано, можно будет объявить теорию вещественных чисел действительностью, к которой применяется логика.

Тогда можно будет признать и общее определение: "Действительность это то, к чему применяется логика".

Разумеется, теория вещественных чисел это не единственная действительность (можно сказать по-другому: не единственное проявление действительности). Например, и сама логика это действительность, когда к ней применяется логика.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1647042 писал(а):

Так, может быть, логика теории вещественных чисел в этом смысле и есть обыденная логика

Нет, логика всех разделов математики - это математическая логика, в которой допускаются (и истинны) импликации с ложной посылкой.
Я много раз уже акцентировал Ваше внимание на следующем моменте: это просто вопрос удобства. Неудобно пользоваться логикой, где одни высказывания истинны, другие ложны, а третьи "бессмысленны". Удобно пользоваться правильной математической логикой, в которой допускаются (и истинны) импликации с ложной посылкой.
В свою очередь, понимание удобства/неудобства приходит с опытом, а не берётся из каких-то философских размышлений как у Вас.

Ну давайте я Вам приведу простейший пример, касающийся вещественных чисел. Хотя, кажется, его раньше уже приводили.
Определение подмножества: мы говорим, что $M\subset N$, если $\forall x,\,(x\in M\,\to\,x\in N)$.
Это имеет простой смысл: $M\subset N$, если все точки множества $M$ лежат внутри множества $N$.
Отмечу, что множества $M$ и $N$ здесь могут быть, в частности, множествами вещественных чисел. Практически любое рассмотрение вещественных чисел в современной математике предполагает рассмотрение каких-то их множеств и подмножеств этих множеств.
Теперь вопрос: верно ли, что $\varnothing$ есть подмножество любого множества?
Если мы пользуемся нормальной математической логикой, то ответ прост: да, $\varnothing\subset N$ для любого множества $N$, так как верно $\forall x,\,(x\in \varnothing\,\to\,x\in N)$. Конечно, $x\in\varnothing$ не может быть, как $500<10$, но именно поэтому верно $\forall x,\,(x\in \varnothing\,\to\,x\in N)$.
Если мы пользуемся Вашей логикой, где $\forall x,\,(x\in \varnothing\,\to\,x\in N)$ то ли неверно, то ли "бессмысленно", то мы вынуждены пойти одним из двух путей:
1) Если мы хотим сохранить справедливость $\varnothing\subset N$ для любого $N$, нам придётся усложнить определение подмножества. Сказать: мы говорим, что $M\subset N$, если $\forall x,\,(x\in M\,\to\,x\in N)$ ИЛИ $M=\varnothing$. На самом деле, так придётся усложнять практически все определения в математике, специально оговаривая в них случай пустого множества. Делать это не хочется - поэтому лучше пользоваться нормальной математической логикой, чем Вашей урезанной.
2) Или мы сохраняем определение подмножества как оно есть, при этом пользуясь Вашей урезанной логикой. Но тогда мы должны будем сказать, что пустое множество не является подмножеством любых множеств - так как утверждение $\forall x,\,(x\in \varnothing\,\to\,x\in N)$ не будет верным. Тогда тоже плохо: посыплются все теоремы о множествах, начиная с самых простейших. Вот есть теорема: $M\cap N\subset N$ (пересечение двух множеств является подмножеством любого из них). Она довольно естественна: пересечение двух множеств лежит внутри каждого из этих множеств. Но доказать такую теорему с помощью Вашей логики не получится. Ведь если $M$ и $N$ не пересекаются, тогда $M\cap N=\varnothing$ - и теорема утверждает, что $\varnothing\subset N$. Конечно, можно сделать внутри теоремы оговорку: если $M$ и $N$ пересекаются, то $M\cap N\subset N$ - такая теорема будет верна и при использовании Вашей логики. Но теорема при этом усложняется - и так придётся усложнять формулировки практически всех математических теорем, специально оговаривая в них случай пустого множества. Делать так не хочется - поэтому поэтому лучше пользоваться нормальной математической логикой, чем Вашей урезанной.

Всё, что требуется от логики - это чтобы она умела из правильных утверждений выводить всегда правильные. С этим нормальная математическая логика отлично справляется. Больше от логики ничего не нужно. Для Вас утверждение типа $(500<10)\to (500>100)$ бессмысленно. Ну и ладно, Вы можете просто не интересоваться истинностью этого утверждения (оно действительно бесполезно и неинтересно) - почему же Вас напрягает, что математическая логика приписывает ему истинность? Грубо говоря, если такие утверждения Вас не интересуют, то Вам должно быть всё равно, истинны они или ложны. Математики увидели, что гораздо проще и удобнее считать их истинными.
Ещё ближайшая аналогия: чему равно $0^0$? В некоторых разделах математики оказывается удобно считать, что $0^0=1$. Ну и отлично - никто же не говорит, что $0^0$ "на самом деле" равно $1$. В математике нет никакого "на самом деле" - какая теория удобна, содержательна, непротиворечива, той и надо пользоваться. Так же и с Вашими утверждениями.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647042 писал(а):

Но я не думаю, что в той самой -- распространенной и всем математикам известной -- теории вещественных чисел постулируется, что $500<10$.

Да, $500<10$ - неверное утверждение.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647042 писал(а):

высказывание $500 < 10 \to 500< 100$, по-моему, лишено смысла

А вот это не так - утверждение $500 < 10 \to 500< 100$ истинно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647042 писал(а):

Но можно ли, исходя из этих аксиом, доказать или опровергнуть импликацию $(50<10)\to (50<100)$?

Можно. Здесь дело в том, что мы доказываем с помощью логики, и никак иначе. Так что да - можно вначале доказать, что $50<10$ неверно, а затем, пользуясь правилом математической логики "из лжи следует что угодно", доказать утверждение $(50<10)\to (50<100)$.
В любом доказательстве мы используем логику, и можем использовать любые её правила.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647042 писал(а):

Здесь то же самое: речь идет не об истинности, а о соответствии действительности.

В математике нет никакого "соответствия действительности", отличного от истинности.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647042 писал(а):

Так учит математическая логика.
Но учит ли так же теория вещественных чисел?

Никаких математических теорий в отрыве от логики нет вообще. Не может быть так, что теория вещественных чисел учит одному, а математическая логика другому. Потому что в любом доказательстве теории вещественных чисел используется именно логика - для перехода от каждой строчки в доказательстве теоремы к следующей строчке.