Импликация

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1647042 писал(а):

Так, может быть, логика теории вещественных чисел в этом смысле и есть обыденная логика, то есть математическая логика в неполном объеме, и в ней не рассматривается высказывание о том, что следует из $500<10$?

В обыденных рассуждениях логика может вообще отсутствовать. В том смысле, что они могут не следовать никаким правилам. Но если логика присутствует, т.е. мы можем обыденные рассуждения формализовать, то они становятся предметом математической логики.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647042 писал(а):

Возьмем в качестве действительности теорию вещественных чисел.

Вот зачем Вы пытаетесь втащить "действительность" в математику (или в логику)? Это такая штука, про которую толком никто не знает, что это такое, но все хотят о ней порассуждать. Поэтому математики никакой "действительностью" и не занимаются, а старательно устраняются от всех вопросов "действительности".

И поэтому неправильно объявлять "действительностью" какую-то теорию. Математики как раз очень хорошо знают, что такое теория: Теория - это множество предложений языка. При этом аксиоматическая теория - это множество предложений языка, выводимых из заданных аксиом. И к логике теории имеют самое прямое отношение, ибо грамматические правила языка, а также часть аксиоматики теории относятся к логике. Собственно, логика - и есть общая часть всех теорий, формализуемых в данной логике. Эта общая часть нужна для того, чтобы разные теоретики понимали друг друга.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647042 писал(а):

Но можно ли, исходя из этих аксиом, доказать или опровергнуть импликацию $(50<10)\to (50<100)$? По-моему, нет.

Поэтому я говорю, что эта импликация ни соответствует, ни не соответствует теории вещественных чисел, то есть действительности, у нее к ней какое-то совсем третье отношение (об этом подробнее немного ниже).

Думаю, Вы не дозрели до конструктивной логики и прочих неклассических логик. Но подоплёка конструктивной логики была именно такая: Если истинность постигается только реальным рассуждением и при этом известно, что есть высказывания, истинность которых мы не можем доказать или опровергнуть, то классическая двузначная логика нас не устраивает.

Тем не менее, импликацию $50<10 \to 50<100$ можно доказать в любой разумной теории чисел, поскольку логические аксиомы, включая ex falso quodlibet, принадлежат к этой теории. И это не только в классической логике, но и в конструктивной. Я Вам ранее говорил, откуда в классической логике берётся ex falso quodlibet: Без него никак не обойтись, если мы принимаем закон снятия двойного отрицания. В конструктивной логике нет закона снятия двойного отрицания, однако ex falso quodlibet принимается в ней в качестве отдельного закона. В принципе, возможны логики без ex falso quodlibet, они называются паранепротиворечивыми, но у них есть свои проблемы...

Vladimir Pliassov в сообщении #1647042 писал(а):

Нет, я имел в виду, что выражения "$x<10$" и "Как пройти в библиотеку?" это не высказывания, первое -- потому что это высказывательная функция, второе -- потому что это вопросительное предложение.

Давайте-ка я слегка покритикую классические учебники, в которых вводится понятие "высказывательной функции". Дело в том, что это понятие неуместно ни в логике высказываний (нулевого порядка), ни в логике предикатов (первого порядка). В логике нулевого порядка просто не бывает предметных переменных (только пропозициональные), поэтому выражения типа $x<10$ там не имеют смысла. А в логике первого порядка, в которой предметные переменные есть, выражение $x<10$ имеет смысл полноценного высказывания (обычно говорят: "предложение языка"), которое в силу правила обобщения равносильно $\forall x~x<10$. И этот смысл из логики первого порядка никак не выкинуть, ибо без правила обобщения она станет неполноценной, т.е. в ней перестанут выводиться некоторые тавтологии. Так что в логике первого порядка говорить о каких-то отдельных "высказывательных функциях" бессмысленно.

Авторы, которые вводят "высказывательные функции", фактически вводят и отдельную логику, промежуточную между логиками нулевого и первого порядков. Может быть это и имеет какой-то педагогический смысл...

Что касается вопросительных предложений, то для языка логики они просто не нужны, ибо все вопросы сводятся либо к тому, истинно ли какое-то утверждение, либо (в более общем случае) к тому, чтобы найти условие (т.е. предпосылку импликации), при котором некое утверждение становится истинным. Например, импликация: $(x=1 \lor x=-1) \to x^2-1=0$ - это ответ на вопрос о том, каковы корни соответствующего квадратного уравнения.

Как Вы видите из последнего примера импликации, в логике первого порядка ex falso quodlibet (который Вы постоянно пытаетесь подвергнуть сомнению) критически важен: Без него мы не смогли бы правильно дать формальный ответ на вопрос о том, каковы корни квадратного уравнения, ибо постоянно мучились бы вопросом: "А что значит эта импликация при $x$ не равном ни $1$, ни $-1$?"

Кстати, значение ex falso quodlibet понимали даже в глубокой древности, когда ни о какой математической формализации логики не было и речи. Помнится, какой-то полководец отвечал своим противникам что-то вроде: "Если небо упадёт на землю и реки потекут вспять, только тогда мы сдадимся".

-- Пн июл 22, 2024 11:25:41 --

epros в сообщении #1647061 писал(а):

Кстати, значение ex falso quodlibet понимали даже в глубокой древности, когда ни о какой математической формализации логики не было и речи. Помнится, какой-то полководец отвечал своим противникам что-то вроде: "Если небо упадёт на землю и реки потекут вспять, только тогда мы сдадимся".

Ага, посмотрел сейчас, это был ответ Суворову по поводу сдачи Измаила, и в качестве рек там упоминался Дунай.

[пианист]

(Оффтоп)

О действительном, вспомнилось :)

Николай Нароков писал(а):

— Правда ли, что мнимая величина, т. е. $\sqrt{-1}$, реально не существует?
— Безусловно. Все остальные величины, целые и дробные, положительные и отрицательные, рациональные и иррациональные, существуют реально. Мнимая же величина реально не существует.
— Однако, возведенная в квадрат, т. е. помноженная сама на себя, она становится минус единицей: вполне действительной величиной! Над этим, право, следует задуматься.
— Над чем?
— Над тем, что для своего превращения в действительную мнимая не требует никаких дополнительных величин. Она в самой себе таит загадочную способность превратиться в действительную величину.
(Из случайного разговора.)

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1647050 писал(а):

Никаких математических теорий в отрыве от логики нет вообще.

epros в сообщении #1647061 писал(а):

Собственно, логика - и есть общая часть всех теорий, формализуемых в данной логике.

Я понял!

Любая теория это логика плюс еще что-то. То есть к определениям, правилам и аксиомам какой-то логики (разных логик, как известно, много) добавляются еще какие-то определения, правила и аксиомы, и получается теория.

epros в сообщении #1647061 писал(а):

импликацию $50<10 \to 50<100$ можно доказать в любой разумной теории чисел, поскольку логические аксиомы, включая ex falso quodlibet, принадлежат к этой теории.

В Википедии в статье "Вещественное число" есть пункт "Аксиоматика вещественных чисел", и среди аксиом, перечисленных в этом пункте, как я вижу, нет аксиом какой бы то ни было логики. Однако, как я теперь понимаю, это значит не то, что в аксиоматике теории вещественных чисел нет логических аксиом, а то, что они не указаны, потому что подразумеваются сами собой.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
Верно.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1647061 писал(а):

Я Вам ранее говорил, откуда в классической логике берётся ex falso quodlibet:

Я уже давно выписал все, что Вы написали об этом в прошлой теме, в один файл, пытаюсь разобраться. Вот одна из цитат:

epros в сообщении #1632197 писал(а):

Нет, Вы не поняли. $A\to (B\to A)$ означает, что истинное утверждения следует из чего угодно, потому что вместо пропозициональной переменной $B$ можно подставить что угодно. Даже $\neg B$.

Давайте я Вам продемонстрирую пример того, как аксиома $A\to (B\to A)$ выводится из альтернативной (не гильбертовской) аксиоматики исчисления высказываний. Итак, пусть мы хотим определить импликацию двумя правилами:
1) $A, A \to B \vdash B$ - modus ponens гласит, что если в аксиоматике есть утверждения $A$ и $A \to B$, то мы имеем право вывести утверждение $B$.
2) $(\mathcal{T},A \vdash B) \vdash (\mathcal{T} \vdash A \to B)$ - дедукция гласит, что если при добавлении к некой аксиоматике $\mathcal{T}$ утверждения $A$ выводится утверждение $B$, то мы имеем право считать, что в аксиоматике $\mathcal{T}$ выводится импликация $A \to B$.

Доказательство такое:
1) $\bullet A$ - гипотеза.
2) $\bullet \bullet B$ - гипотеза.
3) $\bullet \bullet A$ - применение гипотезы 1 в контексте гипотезы 2.
4) $\bullet B \to A$ - дедукция от 2 до 3.
5) $A \to (B \to A)$ - дедукция от 1 до 4.

Круглые маркеры слева показывают уровни вложенности гипотез. Каждая новая гипотеза увеличивает уровень вложенности на единицу. Таким образом, утверждения с круглыми маркерами слева являются гипотетическими, т.е. вообще говоря не доказанными. Но каждая дедукция снижает уровень вложенности гипотез на единицу. Таким образом, последнее утверждение 5 уже является не гипотетическим, а доказанным в общем случае (тавтологией). Как видите, первое правило, определяющее импликацию (modus ponens), мы здесь даже не использовали. Данная тавтология доказывается с использованием одного лишь правила дедукции.

Здесь я не понимаю, что значит

1) применение гипотезы 1 в контексте гипотезы 2,

2) вложенность гипотез,

3) уровень вложенности гипотез.

Не могли бы Вы провести это доказательство на конкретном примере с объяснением этих трех пунктов?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov

В этом доказательстве используется дедукция. Это значит, что если мы сделаем гипотезу $X$ и выведем утверждение $Y$, то $X\to Y$ будет верно уже безо всякой гипотезы.
То есть импликация $X\to Y$ - это именно то, что мы доказываем, когда из предположения $X$ выводим следствие $Y$.

Напишу теперь доказательство более подробно.

1) Сделана гипотеза $A$ - т.е. в рамках пункта 1 мы будем считать $A$ верным, хотя вообще говоря это и не факт.
1.1) Сделана ещё гипотеза $B$ - т.е. в рамках пункта 1.1 считаем $B$ тоже верным.
1.1.1) Констатируем, что при сделанных гипотезах $A$ верно.
1.2) Отменяем гипотезу $B$ (но так как это всё ещё пункт 1, гипотеза $A$ сохраняется). Выше мы видели, что если предположить $B$, то $A$ верно. Это значит, что $B\to A$ верно (уже безо всякой гипотезы $B$).
<Конечно, если не предполагать $B$, то $A$ в пункте 1 всё равно верно, но здесь это нас не интересует.>
2) Отменяем гипотезу $A$. Выше мы показали, что если предположить $A$, то $B\to A$ верно. Значит, $A\to(B\to A)$ верно (уже безо всяких гипотез).

-- 23.07.2024, 16:30 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1647138 писал(а):

Здесь я не понимаю, что значит

1) применение гипотезы 1 в контексте гипотезы 2

Ну, это значит, что мы сначала сделали гипотезу 1, затем сделали ещё и гипотезу 2, а затем применили гипотезу 1. Ведь делая гипотезу 2, мы не отменили гипотезу 1, и можем её применять.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647138 писал(а):

2) вложенность гипотез,

3) уровень вложенности гипотез.

В доказательствах различных теорем часто встречается фраза типа "Предположим, что $A$". Это значит, что в следующем фрагменте доказательства, пока эта гипотеза не отменена, мы временно считаем $A$ справедливым (хотя это и не доказали) и смотрим, к каким выводам эта гипотеза нас приводит. Но к концу доказательства надо бы все гипотезы отменить (кроме тех, что были в условии теоремы) - иначе мы докажем теорему не в любом случае, а только в рамках этих гипотез.

Так вот, внутри фрагмента доказательства, где действует гипотеза $A$, может встретиться фраза "Предположим, что $B$". Тогда в следующем маленьком подфрагменте действует и гипотеза $A$, и гипотеза $B$. Так как этот подфрагмент доказательства вложен внутрь фрагмента, где предполагается $A$, то это "следующий уровень вложенности гипотез".

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1647138 писал(а):

Не могли бы Вы провести это доказательство на конкретном примере с объяснением этих трех пунктов?

Я прямо и не знаю, пример чего Вы хотите увидеть. Разве что вместо $A$ и $B$ подставить какие-нибудь конкретные высказывания типа "Волга впадает в Каспийское море" или "Не всякая птица долетит до середины Днепра".

Vladimir Pliassov в сообщении #1647138 писал(а):

Здесь я не понимаю, что значит
...
2) вложенность гипотез,

3) уровень вложенности гипотез.

А безусловный вывод понимаете? Это последовательность высказываний, каждое из которых является аксиомой или получается применением правила вывода к предыдущим высказываниям. При этом мы указываем, что это аксиома (если так) или какое правило вывода применено к каким из предыдущих высказываний.

Но вот незадача, в приведённой мной выше аксиоматике нет ни одной аксиомы, а есть только правила вывода. Это значит, что безусловный вывод начать не с чего. Т.е. вывод может быть только условным.

А что такое условный вывод? Это последовательность высказываний, первым из которых является гипотеза, а последним импликация, посылкой которой является данная гипотеза, а заключением - предыдущее высказывание. Применять условный вывод позволяет теорема дедукции (выше она была указана как правило дедукции - под номером 2). На человеческом языке она читается так: Если в некоторой теории, к которой добавлено в качестве аксиомы высказывание $A$, выводится некое высказывание $B$, то мы имеем право сделать вывод, что в этой теории выводится импликация $A \to B$.

Поэтому условный вывод после начинающей его гипотезы $A$ (которая и является тем утверждением, которое мы хотим добавить к аксиоматике теории) выполняется так же, как и безусловный, т.е. мы на каждом шаге имеем право добавить к последовательности высказываний любую аксиому теории или то, что получается из предыдущих высказываний с помощью правила вывода. Когда мы получим тот вывод $B$, который хотели, то мы завершаем условный вывод, записав в виде его результата импликацию $A \to B$ - согласно правилу дедукции.

Чтобы не путать условный вывод с безусловным, слева от каждого высказывания условного вывода ставится маркер. Дело в том, что каждый шаг условного вывода использует не только аксиоматику теории (как шаг безусловного вывода), но и добавленную к ней гипотезу. Поэтому есть разница. Но перед завершающей условный вывод импликацией маркера уже нет, потому что этот шаг использует только правило дедукции, т.е. он относится к безусловному выводу.

Теперь о вложенности условных выводов. Поскольку правило дедукции распространяется на любую теорию, его можно применить не только к выводу в аксиоматике исходной теории, но и к выводу в аксиоматике исходной теории, в которую добавлена аксиома $A$. Т.е. внутри условного вывода, начинающегося с гипотезы $A$, мы можем выполнить условный вывод, начинающийся с гипотезы $B$. При этом мы ставим перед высказываниями слева ещё один маркер. Два маркера - два уровня вложенности условных выводов.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647138 писал(а):

1) применение гипотезы 1 в контексте гипотезы 2,

Вот это и есть тот ключевой момент, из-за которого получается тавтология $A \to (B \to A)$. Этот шаг явно указывает на то, что в рамках условного вывода мы имеем право использовать аксиомы теории. Казалось бы, подобный шаг можно пропутить как лишний, ведь аксиома $A$ (она стала аксиомой, ибо была добавлена к исходной аксиоматике) уже есть в предыдущей цепочке вывода. Но мы имеем право любую аксиому повторить в последовательности вывода сколько угодно раз, поэтому я на шаге 3 повторил то, что уже было на шаге 1. И, о чудо, шаг 3 оказался как раз тем, на котором мне захотелось закончить условный вывод второго уровня.

[epros]

Vladimir Pliassov, я, кажется, знаю, какой пример доказательства тавтологии $A \to (B \to A)$ Вам нужно привести. Но сначала расскажу небольшую предысторию. Эту тавтологию отвергает так называемая релевантная логика. Авторы этой логики называют данную тавтологию "парадоксом", потому что её можно прочитать как: "Истинное утверждение следует из чего угодно". Они говорят: "Получается, что $2 \times 2 = 4$ следует из Идёт дождь. Но ведь это абсурд".

Так вот, давайте я Вам повторю доказательство на примере: $2 \times 2 = 4 \to (\text{It's raining} \to 2 \times 2 = 4)$. Для начала договоримся, что в языке рассматриваемой нами теории и $2 \times 2 = 4$, и "It's raining" являются грамматически корректными предложениями. Причём аксиоматика этой теории позволяет доказать $2 \times 2 = 4$.

Доказательство :
1) $\bullet 2 \times 2 = 4$ - гипотеза (хотя мы и знаем, что это доказуемо в нашей теории).
2) $\bullet \bullet \text{It's raining}$ - гипотеза.
3) $\bullet \bullet 2 \times 2 = 4$ - применение гипотезы 1 в контексте гипотезы 2 (мы ведь вправе использовать в доказательстве то, что было доказано или принято в качестве гипотезы ранее).
4) $\bullet \text{It's raining} \to 2 \times 2 = 4$ - дедукция от 2 до 3.
5) $2 \times 2 = 4 \to (\text{It's raining} \to 2 \times 2 = 4)$ - дедукция от 1 до 4.

Поскольку наша теория знает, что $2 \times 2 = 4$ - истина, мы можем смело утверждать, что $\text{It's raining} \to 2 \times 2 = 4$ - истина. Т.е. действительно $2 \times 2 = 4$ следует из Идёт дождь. Это - неизбежный вывод из того, что при условном выводе мы имеем право использовать то, что было ранее доказано в теории. Релевантная логика, отвергая это, с неизбежностью ограничивает применение дедукции. Ибо в формулировке правила дедукции $(\mathcal{T},A \vdash B) \vdash (\mathcal{T} \vdash A \to B)$ в первой скобке стоит $\mathcal{T},A \vdash B$, т.е. условием применения правила является то, что $B$ выведено не просто из $A$, а с использованием любой аксиоматики $\mathcal{T}$.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1647061 писал(а):

дедукция гласит, что если при добавлении к некой аксиоматике $\mathcal{T}$ утверждения $A$ выводится утверждение $B$, то мы имеем право считать, что в аксиоматике $\mathcal{T}$ выводится импликация $A \to B$.

epros в сообщении #1647207 писал(а):

в формулировке правила дедукции $(\mathcal{T},A \vdash B) \vdash (\mathcal{T} \vdash A \to B)$

Здесь мне странно, что импликация $A \to B$ выводится в аксиоматике $\mathcal{T}$, по-моему, она выводится в аксиоматике $\mathcal{T}, A$.

Как же она может выводиться в аксиоматике, в которой нет аксиомы $A$?

Я понимаю так, что здесь утверждение $A$ это аксиома, которую мы добавляем к аксиоматике $\mathcal{T}$, и не только утверждение $B$, но и импликацию $A \to B$ мы выводим не из старой аксиоматики $\mathcal{T}$, а из новой аксиоматики $\mathcal{T}, A$.

($A$ это ведь аксиома или нет?)

Например,

Возьмем дедукцию:

Человек смертен.
Сократ — человек.
------------------------------
Следовательно, Сократ смертен.

Здесь аксиоматика $\mathcal{T}$ состоит из одной аксиомы "Человек смертен", добавим к ней еще одну аксиому "Сократ — человек" и (категорическим?) силлогизмом выведем из аксиоматики ($\mathcal{T}$, "Сократ — человек") утверждение "Сократ смертен", и по закону дедукции получим, что из "Сократ — человек" следует "Сократ смертен", правильно?

Но как мы могли бы вывести импликацию о Сократе в аксиоматике $\mathcal{T}=$"Человек смертен"? Ведь в ней о нем ничего не говорится?

Мне кажется, что дедукцию надо сформулировать так: $(\mathcal{T},A \vdash B) \vdash (\mathcal{T},A \vdash A \to B)$.

Нет?

epros в сообщении #1647207 писал(а):

в формулировке правила дедукции $(\mathcal{T},A \vdash B) \vdash (\mathcal{T} \vdash A \to B)$ в первой скобке стоит $\mathcal{T},A \vdash B$, т.е. условием применения правила является то, что $B$ выведено не просто из $A$, а с использованием любой аксиоматики $\mathcal{T}$.

А почему здесь сказано: "с использованием любой аксиоматики $\mathcal{T}$"? Имеется в виду, что при выводе можно использовать не все аксиомы $\mathcal{T}$, а только какую-то их часть? И каждый набор аксиом из $\mathcal{T}$ считается одной из аксиоматик $\mathcal{T}$?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1647361 писал(а):

Как же она может выводиться в аксиоматике, в которой нет аксиомы $A$?

Вот как раз в этом содержание теоремы о дедукции.
В другую сторону это просто modus ponens: если $\mathcal{T} \vdash A \to B$, то $\mathcal{T}, A \vdash B$.
А теорема о дедукции утверждает, что если в новой теории (после добавления $A$) можно вывести $B$, то в старой можно было вывести импликаци.

(Оффтоп)

Лично мне не очень нравится вложенный $\vdash$, получается что он используется и для теорий, и для метатеорий. Ну да ладно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647361 писал(а):

Но как мы могли бы вывести что-то о Сократе в аксиоматике $\mathcal{T}=$"Человек смертен"? Ведь в ней о нем ничего не говорится?

Мы можем вывести "если Сократ человек, то Сократ смертен". Как раз импликацию.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1647361 писал(а):

Здесь мне странно, что импликация $A \to B$ выводится в аксиоматике $\mathcal{T}$, по-моему, она выводится в аксиоматике $\mathcal{T}, A$.

Как же она может выводиться в аксиоматике, в которой нет аксиомы $A$?

В этом смысл определения импликации как логического следования.

Импликация "Если утренний прогноз на день обещает дождь, то я возьму зонт" означает, что когда я утром посмотрю прогноз и увижу, что будет дождь, то я сделаю вывод, что должен взять зонт. Такое использование импликации для вывода определяется правилом modus ponens.

И в обратную сторону: Если я предположил, что завтрашний утренний прогноз покажет дождь, и из опыта своего использования однодневных прогнозов вывел, что дождь наверняка будет, а значит надо будет взять зонт, то я записываю результат этого условного вывода в виде указанной импликации, хотя фиг его знает, что ещё покажет завтрашний утренний прогноз. Такое использование условного вывода определяет правило дедукции.

Очевидно, что целью такого определения импликации было придание слову "следует" смысла, который примерно равносилен смыслу слова "выводится". Увы, в классической логике что-то пошло не совсем так. Однако и modus ponens, и дедукцию классическая логика принимает.

А вывод импликации в теории, к которой уже добавлена посылка импликации, не имеет особого смысла, ибо он не позволяет нам вывести указанную выше импликацию сегодня, когда мы ещё не знаем завтрашнего прогноза погоды.

Vladimir Pliassov в сообщении #1647361 писал(а):

Например,

Возьмем дедукцию:

Человек смертен.
Сократ — человек.
------------------------------
Следовательно, Сократ смертен.

Здесь аксиоматика $\mathcal{T}$ состоит из одной аксиомы "Человек смертен", добавим к ней еще одну аксиому "Сократ — человек" и (категорическим?) силлогизмом выведем из аксиоматики ($\mathcal{T}$, "Сократ — человек") утверждение "Сократ смертен", и по закону дедукции получим, что из "Сократ — человек" следует "Сократ смертен", правильно?

В этом категорическом силлогизме на самом деле применены два правила: конкретизация всеобщности и modus ponens. Дедукции как таковой, т.е. вывода импликации, здесь нет, ибо импликация была заложена в условиях.

Поясню, как это формализуется: "Сократ" - имя собственное, поэтому формализуется константой $Socrates$. "Человек" и "смертный" - понятия, обобщающие некие классы объектов, поэтому они формализуются одноместными предикатами $Human(x)$ и $Mortal(x)$. Здесь предметная переменная $x$ обозначает "любой объект".

Первая аксиома записывается как:
$\forall x~Human(x) \to Mortal(x)$.
(Можно было бы и без квантора - $Human(x) \to Mortal(x)$, но в силу правила обобщения это всё равно приводится к тому, что записано выше.)

Вторая аксиома записывается как:
$Human(Socrates)$.

Вывод, как я сказал, из двух шагов:
1) $Human(Socrates) \to Mortal(Socrates)$ - конкретизация всеобщности из первой аксиомы (мы подставляем константу $Socrates$ вместо переменной и снимаем квантор).
2) $Mortal(Socrates)$ - modus ponens из второй аксиомы и вывода (1).

Vladimir Pliassov в сообщении #1647361 писал(а):

А почему здесь сказано: "с использованием любой аксиоматики $\mathcal{T}$"? Имеется в виду, что при выводе можно использовать не все аксиомы $\mathcal{T}$, а только какую-то их часть? И каждый набор аксиом из $\mathcal{T}$ считается одной из аксиоматик $\mathcal{T}$?

Имеется в виду, что можно использовать любые аксиомы из аксиоматики $\mathcal{T}$. На самом деле можно использовать и любые выводы теории $\mathcal{T}$ (в силу транзитивности вывода).

mihaild в сообщении #1647363 писал(а):

Лично мне не очень нравится вложенный $\vdash$, получается что он используется и для теорий, и для метатеорий. Ну да ладно.

Да, дедукция - метаправило. Символ $\vdash$ снаружи скобок обозначает выводимость в метатеории, а символы $\vdash$ внутри скобок - выводимость в теории, которую утверждает метатеория. Правилу modus ponens повезло больше, ибо у него есть эквивалентная формулировка в виде простого правила. Но формулировка метаправилом тоже не запрещена.

[epros]

epros в сообщении #1647392 писал(а):

Вторая аксиома записывается как:
$Human(Socrates)$.

Кстати, если $Socrates$ вдруг окажется именем не человека, а, скажем, астероида, то вторая аксиома не может быть принята и силлогизм не сработает. Однако импликация, заложенная первой аксиомой, продолжает действовать. Это к вопросу о том, зачем нам нужен закон ex falso quodlibet.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1647408 писал(а):

Кстати, если $Socrates$ вдруг окажется именем не человека, а, скажем, астероида, то вторая аксиома не может быть принята и силлогизм не сработает. Однако импликация, заложенная первой аксиомой, продолжает действовать. Это к вопросу о том, зачем нам нужен закон ex falso quodlibet.

epros в сообщении #1647392 писал(а):

Первая аксиома записывается как:
$\forall x~Human(x) \to Mortal(x)$.

Она читается: "Для каждого $x$ из того, что $x$ принадлежит $Human$, следует, что $x$ принадлежит $Mortal$", -- правильно?

И это не импликация, а то, что получается, когда к импликации $Human(x) \to Mortal(x)$ добавляется квантор $\forall x$. Как называется все выражение $\forall x~Human(x) \to Mortal(x)$?

epros в сообщении #1647392 писал(а):

(Можно было бы и без квантора - $Human(x) \to Mortal(x)$, но в силу правила обобщения это всё равно приводится к тому, что записано выше.)

Является ли импликация $Human(x) \to Mortal(x)$ истинной или ложной сама по себе, то есть еще до того как речь зашла о $Socrates$?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1647524 писал(а):

Является ли импликация $Human(x) \to Mortal(x)$ истинной или ложной сама по себе, то есть еще до того как речь зашла о $Socrates$?

Конечно она "истинна сама по себе", это же первая аксиома. Выше я говорил об этом:

epros в сообщении #1647392 писал(а):

Можно было бы и без квантора - $Human(x) \to Mortal(x)$

Vladimir Pliassov в сообщении #1647524 писал(а):

Она читается: "Для каждого $x$ из того, что $x$ принадлежит $Human$, следует, что $x$ принадлежит $Mortal$", -- правильно?

И это не импликация, а то, что получается, когда к импликации $Human(x) \to Mortal(x)$ добавляется квантор $\forall x$. Как называется все выражение $\forall x~Human(x) \to Mortal(x)$?

Можете называть его "импликацией под квантором всеобщности" или просто "импликацией" - никто не обидится. Потому что наличие или отсутствие квантора всеобщности ничего не меняет: Квантор всегда можно поставить по правилу обобщения и снять по правилу конкретизации всеобщности.

-- Сб июл 27, 2024 14:19:47 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1647524 писал(а):

Она читается: "Для каждого $x$ из того, что $x$ принадлежит $Human$, следует, что $x$ принадлежит $Mortal$", -- правильно?

Или ещё проще она читается как:

Vladimir Pliassov в сообщении #1647361 писал(а):

Человек смертен.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1647408 писал(а):

Кстати, если $Socrates$ вдруг окажется именем не человека, а, скажем, астероида, то вторая аксиома не может быть принята и силлогизм не сработает. Однако импликация, заложенная первой аксиомой, продолжает действовать. Это к вопросу о том, зачем нам нужен закон ex falso quodlibet.

Если Сократ человек, то он смертен -- "из истины истина".

Если он не человек, то он либо смертен (например, если он астероид) -- "из лжи истина", либо бессмертен (например, если он бог) -- "из лжи ложь". Это и есть ex falso quodlibet?