Импликация

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1644429 писал(а):

А уверены ли мы в том, что импликации $x\in\varnothing\to x\in A$ и $x\in\varnothing\to x\notin A$ существуют?

Кажется, уже говорилось, что импликации не могут "существовать" или "не существовать".
Эти импликации верны.

Vladimir Pliassov в сообщении #1644429 писал(а):

обе конъюнкции $p\wedge q$ и $p\wedge \neg q$ должны быть исключены как не соответствующие действительности

Да, обе эти конъюнкции неверны. А импликации при этом верны.

Vladimir Pliassov в сообщении #1644429 писал(а):

Импликация $x\in\varnothing\to x\in A$ возникает, когда из дизъюнкции (2) исключается конъюнкция $p\wedge \neg q$ и при этом не исключается конъюнкция $p\wedge q$

Это какая-то Ваша странная самодельная логика, которая всё запутывает и приводит к неверным выводам.

В математической логике нет понятий "исключается", "возникает", "существует" (применительно к высказываниям). Высказывания могут быть только верными или неверными.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1644431 писал(а):

Кажется, уже говорилось, что импликации не могут "существовать" или "не существовать".

Снова возьмем следующий пример.

Каждый элемент множества $\mathbb N$ натуральных чисел (включая $0$) либо делится на $2$, либо нет, а также либо делится на $3$, либо нет. При этом $\mathbb N$ разбивается на четыре непересекающихся подмножества:

1) $N_1$, элементами которого являются все числа, которые не делятся ни на $2$, ни на $3$,

2) $N_2$, элементами которого являются все числа, которые не делятся на $2$ и при этом делятся на $3$,

3) $N_3$, элементами которого являются все числа, которые делятся на $2$, но не делятся на $3$,

4) $N_4$, элементами которого являются все числа, которые делятся на $2$ и на $3$.

По-моему, на множестве натуральных чисел $\mathbb N$ не существует импликации "из того, что число делится на $2$, следует, что оно делится на $3$."

А на множестве $\mathbb N\setminus N_3$ она существует.

Разве это не так?

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1645727 писал(а):

По-моему, на множестве натуральных чисел $\mathbb N$ не существует импликации "из того, что число делится на $2$, следует, что оно делится на $3$.

Что Вам непонятного сказали предыдущим сообщением?

Mikhail_K в сообщении #1644431 писал(а):

Кажется, уже говорилось, что импликации не могут "существовать" или "не существовать".

Mikhail_K в сообщении #1644431 писал(а):

Высказывания могут быть только верными или неверными.

[Mihr]

Если неверна формула $\forall x (A(x)\to B(x))$, это вовсе не значит, что при каждом $x$ выполняется равенство $A(x)\to B(x)=0$. То есть, утверждение "каждое натуральное число, кратное 2, кратно 3", конечно, неверно. Однако, импликация $6 \vdots 2 \to 6 \vdots 3$ истинна.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1645727 писал(а):

По-моему, на множестве натуральных чисел $\mathbb N$ не существует импликации "из того, что число делится на $2$, следует, что оно делится на $3$."

А на множестве $\mathbb N\setminus N_3$ она существует.

Разве это не так?

Правильно будет сказать так: неверно, что $\forall x\in\mathbb{N},\,(x\vdots 2\,\to\,x\vdots 3)$; верно, что $\forall x\in\mathbb{N}\backslash N_3,\,(x\vdots 2\,\to\,x\vdots 3)$. И никакого "существования импликаций".

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1644431 писал(а):

В математической логике нет понятий "исключается", "возникает", "существует" (применительно к высказываниям). Высказывания могут быть только верными или неверными.

Наверное, так.

1.

В математической логике исходят из того, что

a) конъюнкция, дизъюнкция, импликация и все другие логические связки это высказывания;

b) все высказывания уже сделаны, то есть они существуют.

Отсюда следует, что все логические связки существуют -- это решено раз навсегда, и об этом больше не говорят.

2.

Верные (истинные) высказывания это те, которые соответствуют действительности, ложные высказывания это те, которые не соответствуют действительности:

dgwuqtj в сообщении #1643107 писал(а):

Вся классическая логика основана на том, что у нас есть некая математическая действительность и про неё все утверждения истинны или ложны.

То есть предполагается, что существует какая-то действительность, с которой сверяются утверждения классической логики.

Правильно?

Над ответом на три предыдущие поста думаю.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1645947 писал(а):

1.

В математической логике исходят из того, что

a) конъюнкция, дизъюнкция, импликация и все другие логические связки это высказывания;

b) все высказывания уже сделаны, то есть они существуют.

Отсюда следует, что все логические связки существуют -- это решено раз навсегда, и об этом больше не говорят.

Да!

Хотя всё-таки я не стал бы путать логические связки с высказываниями. Например, пусть у нас есть высказывания $A$, $B$. Тогда "ИЛИ" - логическая связка, а $A\,\,{\textrm{ИЛИ}}\,\,B$ - высказывание.

Vladimir Pliassov в сообщении #1645947 писал(а):

Верные (истинные) высказывания это те, которые соответствуют действительности, ложные высказывания это те, которые не соответствуют действительности <...> То есть предполагается, что существует какая-то действительность, с которой сверяются утверждения классической логики.

Ну, это уже философия. Интуитивно это можно себе так представлять, но на самом деле вопросы "действительности" логику не волнуют. Главное, что одни высказывания истинные, другие ложные, и есть способ получать из одних высказываний другие (логический вывод), такой что если исходные высказывания точно истинные, то и получаемые тоже будут гарантированно истинными.

[dgwuqtj]

Vladimir Pliassov в сообщении #1645947 писал(а):

предполагается, что существует какая-то действительность, с которой сверяются утверждения классической логики.

В любом учебнике по математической логике это так и есть. Действительность - это некая интерпретация языка (модель), то есть множество со структурой. И истинность определяется только относительно модели.

Высказывания существуют ровно в том же смысле, что и натуральные числа. Это же формальные строчки из символов, просто конечные комбинаторные объекты.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1645948 писал(а):

Хотя всё-таки я не стал бы путать логические связки с высказываниями. Например, пусть у нас есть высказывания $A$, $B$. Тогда "ИЛИ" - логическая связка, а $A\,\,{\textrm{ИЛИ}}\,\,B$ - высказывание.

Под логической связкой высказываний $A$ и $B$ я имею в виду не то, что их связывает -- то есть, в случае дизъюнкции, не союз "или", -- а оба эти высказывания, чем-то связанные -- в случае дизъюнкции, союзом "или", -- так же, как под связкой бананов имеют в виду не веревку, которая связывает их между собой, а сами бананы, связанные вместе.

Так, например, под импликацией высказываний $A$ и $B$ я имею в виду не стрелку $\to$ между ними, а все выражение $A\to B$.

Mikhail_K в сообщении #1645948 писал(а):

вопросы "действительности" логику не волнуют. Главное, что одни высказывания истинные, другие ложные, и есть способ получать из одних высказываний другие (логический вывод), такой что если исходные высказывания точно истинные, то и получаемые тоже будут гарантированно истинными.

Согласен, когда это касается "чистой" логики, то есть логики самой по себе, безотносительно к действительности. Тогда, как я уже говорил, исходные высказывания можно назначить истинными или ложными и затем делать выводы. При этом, разумеется, действительность представляет собой нечто излишнее.

Но когда речь идет о прикладной логике, то есть когда логика используется как инструмент для решения задач действительности, тогда, как я понимаю, истинность исходных высказываний должна оцениваться по соответствию действительности (чтобы и выводы ей тоже соответствовали). Тут уж без действительности не обойтись (по определению прикладной логики).

dgwuqtj в сообщении #1645949 писал(а):

В любом учебнике по математической логике это так и есть. Действительность - это некая интерпретация языка (модель), то есть множество со структурой. И истинность определяется только относительно модели.

Это как будто понятно.

dgwuqtj в сообщении #1645949 писал(а):

Высказывания существуют ровно в том же смысле, что и натуральные числа. Это же формальные строчки из символов, просто конечные комбинаторные объекты.

А здесь, по-моему, есть пространство для размышлений.

Как я понимаю, натуральные числа это объекты действительности, а высказывания это объекты логики. Тем не менее, и те, и другие существуют по одним и тем же общим (логическим?) законам.

Да и на логику можно смотреть как на действительность -- можно делать (истинные или ложные) высказывания о том, что в ней происходит, этим, как я понимаю, мы сейчас и занимаемся.

Вы это имели в виду?

[dgwuqtj]

Vladimir Pliassov в сообщении #1645966 писал(а):

натуральные числа это объекты действительности, а высказывания это объекты логики

Натуральные числа - это объекты математики, изучаются в арифметике. Высказывания - это объекты математики, изучаются в математической логике. Скажем, есть высказывание $\forall x\, \forall y\, x \cdot x = y \cdot y +y \cdot y \Rightarrow (x = 0 \wedge y = 0)$, это формальная строчка в языке арифметики первого порядка. То есть последовательность из символов (других математических объектов), каждый символ - это пропозициональная связка, квантор, скобка, функциональный или предикатный символ, ну или переменная. Вы бы ещё выдали, что перестановки и сочетания - это не объекты математики...

-- 10.07.2024, 17:58 --

Штуками типа "если через час будет дождь, то я возьму зонт или промокну" математическая логика не занимается, это к лингвистам или философам.

[Vladimir Pliassov]

dgwuqtj в сообщении #1645969 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1645966 писал(а):

натуральные числа это объекты действительности, а высказывания это объекты логики

Натуральные числа - это объекты математики, изучаются в арифметике. Высказывания - это объекты математики, изучаются в математической логике. <...> Вы бы ещё выдали ...

То, что натуральные числа изучаются в арифметике, не мешает им представлять собой "некую математическую действительность" (использую Ваше выражение, которое мне нравится), то есть служить объектами этой действительности. Об этих объектах можно делать высказывания.

[dgwuqtj]

Vladimir Pliassov в сообщении #1645973 писал(а):

То, что натуральные числа изучаются в арифметике, не мешает им представлять собой "некую математическую действительность" (использую Ваше выражение, которое мне нравится), то есть служить объектами этой действительности.

Ну так формулы первого порядка — это точно такие же сущности, которые являются объектами математической действительности. У чисел есть цифры, разложение на простые, ими можно считать элементы множеств. Формулы имеют символы, деревья разбора, их можно интерпретировать на моделях и получать предикаты (или просто истину/ложь, если нет свободных переменных).

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1645966 писал(а):

Да и на логику можно смотреть как на действительность -- можно делать (истинные или ложные) высказывания о том, что в ней происходит, этим, как я понимаю, мы сейчас и занимаемся.

Вот не надо этого делать. Логика - всего лишь система общих правил манипулирования утверждениями. А о чём будут эти утверждения - о действительности или о фантазиях - мы вольны выбирать сами. Если логика начинает что-то однозначно утверждать именно о действительности, то это, скорее, её недостаток, нужно десять раз подумать, прежде чем использовать такую логику.

Кстати, логика второго порядка именно этим и грешит. Правда только в отношении объектов второго порядка. Например, в ней есть тавтология, утверждающая существование пустого множества. Поскольку это - утверждение логики, т.е. такое, которое должно быть верно в любой теории, получается, что "в действительности" пустое множество тоже должно существовать. Что весьма странно, ибо множества - сугубо воображаемые, абстрактные объекты. И именно поэтому Куайн называл логику второго порядка "теорией множеств в овечьей шкуре".

dgwuqtj в сообщении #1645969 писал(а):

Штуками типа "если через час будет дождь, то я возьму зонт или промокну" математическая логика не занимается, это к лингвистам или философам.

По-моему, это слишком жёстко сказано. Я бы, скорее, хотел подчеркнуть для Vladimir Pliassov, что математическая логика занимается и такими вещами тоже, просто она требует их формализации. Неправильно считать, что есть какая-то специальная "бытовая" или "прикладная" логика. Просто утверждения естественного языка либо формализуются и тогда могут быть предметом математической логики, либо мы не знаем, как их формализовать, и тогда о какой бы то ни было логике при работе с этими утверждениями вообще невозможно говорить.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1645746 писал(а):

Правильно будет сказать так: неверно, что $\forall x\in\mathbb{N},\,(x\vdots 2\,\to\,x\vdots 3)$

Означает ли это, что для множества $\mathbb{N}$ импликация $x\vdots 2\,\to\,x\vdots 3$ ложна, так как не соответствует действительности?

(Под действительностью здесь я понимаю множество $\mathbb{N}$.)

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1646115 писал(а):

для множества $\mathbb{N}$ импликация $x\vdots 2\,\to\,x\vdots 3$ ложна, так как не соответствует действительности?

Лучше и понятнее будет сказать так, как в моей цитате:

Mikhail_K в сообщении #1645746 писал(а):

неверно, что $\forall x\in\mathbb{N},\,(x\vdots 2\,\to\,x\vdots 3)$