Условная вероятность и формула байеса

[Elijah96]

Здравствуйте,помогите пожалуйста с формулой условной вероятности для n событий и с формулой Байеса для n событий.
Я попытался вывести формулы,скажите,верны ли они?

Формулы условной вероятности для четырех событий:

$P(A|B\!\cap\!C\!\cap\!D)=\dfrac{P(A\!\cap\!B\!\cap\!C\!\cap\!D)}{P(B\!\cap\!C\!\cap\!D)}$

$P(A\!\cap\!B|C\!\cap\!D)=\dfrac{P(A\!\cap\!B\!\cap\!C\!\cap\!D)}{P(C\!\cap\!D)}$

$P(A\!\cap\!B\!\cap\!C|D)=\dfrac{P(A\!\cap\!B\!\cap\!C\!\cap\!D)}{P(D)}$

Формулы Байеса для четырех событий:

$P(A\!\cap\!B|C\!\cap\!D)=\dfrac{P(C\!\cap\!D|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(A\!\cap\!B)}{P(C\!\cap\!D)}$

$P(A\!\cap\!B|C\!\cap\!D)=\dfrac{P(A)\!\ast\!P(B|A)\!\ast\!P(C|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(D|A\!\cap\!B\!\cap\!C)}{P(C)\!\ast\!P(C\!\cap\!D)}$

$P(A\!\cap\!B|C\!\cap\!D)=\dfrac{P(A)\!\ast\!P(B|A)\!\ast\!P(C|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(D|A\!\cap\!B\!\cap\!C)}{P(C\!\cap\!D)}$

Верны ли какие-нибудь формулы?
Если да,то какие?
Если нет,то в чем ошибка?
Заранее спасибо

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Mihr]

В правой части пятого равенства проверьте знаменатель дроби. Остальное, вроде, верно.

[Elijah96]

Mihr в сообщении #1646602 писал(а):

В правой части пятого равенства проверьте знаменатель дроби. Остальное, вроде, верно.

То есть формулы условной вероятности верны?
А какая формула Байеса верна?
Их там три разных

[Mihr]

Elijah96 в сообщении #1646663 писал(а):

То есть формулы условной вероятности верны?

Да.

Elijah96 в сообщении #1646663 писал(а):

А какая формула Байеса верна?

Первая и третья. У второй нужно исправить знаменатель.

[Elijah96]

Mihr в сообщении #1646665 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1646663 писал(а):

То есть формулы условной вероятности верны?

Да.

Elijah96 в сообщении #1646663 писал(а):

А какая формула Байеса верна?

Первая и третья. У второй нужно исправить знаменатель.

Знаменатель у второй должен быть как у третьей?
И расчеты сделанные по первой и третьей формуле приведут к разным результатам,разве нет?
То есть нужно найти вероятность событий А и В при условии наступления событий C и D

[Mihr]

Elijah96 в сообщении #1646667 писал(а):

Знаменатель у второй должен быть как у третьей?

Да.

Elijah96 в сообщении #1646667 писал(а):

И расчеты сделанные по первой и третьей формуле приведут к разным результатам,разве нет?

Думаю, что нет. Приведите пример задачи, в которой так получается.

-- 18.07.2024, 17:18 --

Elijah96 в сообщении #1646667 писал(а):

То есть нужно найти вероятность событий А и В при условии наступления событий C и D

Фраза звучит не очень понятно.

[Elijah96]

Mihr в сообщении #1646668 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1646667 писал(а):

Знаменатель у второй должен быть как у третьей?

Да.

Elijah96 в сообщении #1646667 писал(а):

И расчеты сделанные по первой и третьей формуле приведут к разным результатам,разве нет?

Думаю, что нет. Приведите пример задачи, в которой так получается.

-- 18.07.2024, 17:18 --

Elijah96 в сообщении #1646667 писал(а):

То есть нужно найти вероятность событий А и В при условии наступления событий C и D

Фраза звучит не очень понятно.

Примеров задачи к сожалению нет,но Вы направили мысль в сторону того что можно взять какую-либо задачу(или придумать ее)и попробовать рассчитать все по первой и третьей формуле,а затем сравнить результаты

Под "То есть нужно найти вероятность событий А и В при условии наступления событий C и D"
Я имел введу что нужно найти вероятность $P(A\!\cap\!B)$ при условии,что наступили события $(C\!\cap\!D)$
То есть условную вероятность событий $(A\!\cap\!B)$ при условии,что наступили события $(C\!\cap\!D)$

[Mihr]

Elijah96 в сообщении #1646671 писал(а):

Я имел введу что нужна найти вероятность $P(A\!\cap\!B)$ при условии,что наступили события $P(C\!\cap\!C)$

Если на самом деле имеется в виду: при условии, что наступили события $C$ и $D$, то да, вычисляется именно эта вероятность.

-- 18.07.2024, 17:39 --

Вижу, Вы уже исправили свой текст. Да, так.

[Elijah96]

Mihr в сообщении #1646673 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1646671 писал(а):

Я имел введу что нужна найти вероятность $P(A\!\cap\!B)$ при условии,что наступили события $P(C\!\cap\!D)$

Если на самом деле имеется в виду: при условии, что наступили события $C$ и $D$, то да, вычисляется именно эта вероятность.

-- 18.07.2024, 17:39 --

Вижу, Вы уже исправили свой текст. Да, так.

И найти $P(A\!\cap\!B)$ при условии,что наступили события $(C\!\cap\!D)$ можно по формулам:

$P(A\!\cap\!B|C\!\cap\!D)=\dfrac{P(C\!\cap\!D|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(A\!\cap\!B)}{P(C\!\cap\!D)}$

$P(A\!\cap\!B|C\!\cap\!D)=\dfrac{P(A)\!\ast\!P(B|A)\!\ast\!P(C|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(D|A\!\cap\!B\!\cap\!C)}{P(C\!\cap\!D)}$

Просто в первом случае события сначала пересекаются $(A\!\cap\!B)$ и $(C\!\cap\!D)$ а затем эти пересечения перемножаются (То есть $(A\!\cap\!B)\!\ast\!(C\!\cap\!D)|(A\!\cap\!B)$)
(То есть событие АВ умножается на событие CD с учетом того,что событие АВ уже произошло.)

А во втором случае перемножается каждое последующее событие с учетом наступивших предыдущих ($(A)\!\ast\!P(B|A)\!\ast\!P(C|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(D|A\!\cap\!B\!\cap\!C)$)
(То есть формула умножения зависимых событий для четырех событий)

Делая выводы:
В первом случаем мы как бы "разбиваем" события на группы(то есть пересечение некоторых событий это своего рода группа) а затем перемножаем эти группы.
А во втором случае события перемножаются по отдельности(а не по группам)
И от того как перемножаются события(по отдельности или по группам)результат будет один(ведь если умножить по отдельности 4 события или если сначала 4 события объединить в 2 группы(по 2 события в каждой)а затем перемножить эти группы между собой,то результат получится одинаковым.

Верна ли мысль?

[drzewo]

Если у нас есть пространство с вероятностной мерой $(X,\sigma,\mu)$ то любое его измеримое подмножество $D\in\sigma,\quad \mu(D)\ne 0$ само является пространством с вероятностной мерой. $\sigma-$алгебра на $D$ -- это совокупность пересечений $D\cap W,\quad W\in \sigma$, мера на этой $\sigma-$ алгебре определяется так $\tilde \mu(P)=\mu(P)/\mu(D)$.

[Mihr]

Elijah96 в сообщении #1646691 писал(а):

Просто в первом случае события сначала пересекаются $(A\!\cap\!B)$ и $(C\!\cap\!D)$ а затем эти пересечения перемножаются (То есть $(A\!\cap\!B)\!\ast\!(C\!\cap\!D)|(A\!\cap\!B)$)
(То есть событие АВ умножается на событие CD с учетом того,что событие АВ уже произошло.)

А во втором случае перемножается каждое последующее событие с учетом наступивших предыдущих ($(A)\!\ast\!P(B|A)\!\ast\!P(C|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(D|A\!\cap\!B\!\cap\!C)$)

На самом деле в числителях обеих дробей записано одно и то же: вероятность произведения всех четырёх событий $P(ABCD)$. Просто записана она чисто внешне по-разному. Отсюда возможные вопросы.

[Elijah96]

Mihr в сообщении #1646699 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1646691 писал(а):

Просто в первом случае события сначала пересекаются $(A\!\cap\!B)$ и $(C\!\cap\!D)$ а затем эти пересечения перемножаются (То есть $(A\!\cap\!B)\!\ast\!(C\!\cap\!D)|(A\!\cap\!B)$)
(То есть событие АВ умножается на событие CD с учетом того,что событие АВ уже произошло.)

А во втором случае перемножается каждое последующее событие с учетом наступивших предыдущих ($(A)\!\ast\!P(B|A)\!\ast\!P(C|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(D|A\!\cap\!B\!\cap\!C)$)

На самом деле в числителях обеих дробей записано одно и то же: вероятность произведения всех четырёх событий $P(ABCD)$. Просто записана она чисто внешне по-разному. Отсюда возможные вопросы.

Вот да,то есть оформление разное но результат один?

[Mihr]

Elijah96 в сообщении #1646701 писал(а):

Вот да,то есть оформление разное но результат один?

Конечно.