Условная вероятность и формула байеса

[Elijah96]

Mihr в сообщении #1646702 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1646701 писал(а):

Вот да,то есть оформление разное но результат один?

Конечно.

Вот это-то меня и насторожило
Ведь в математике я не силен,и любое отличие вызывает замешательство)

-- 18.07.2024, 20:57 --

И еще момент
Можно ли делать следующее?:

Пример:
У нас есть события A,B,C,D
Пусть события А и В пересекаются
Тогда событие Х будет пересечением событий А и В(то есть событие Х состоит из исходов благоприятствующих событию и А и В)
Получается $(A\!\cap\!B)=X$
И пусть события С и D так же пересекаются
Тогда событие Y будет пересечением событий C и D(то есть событие Y состоит из исходов благоприятствующих событию и C и D)
Получается $(C\!\cap\!D)=Y$

Тогда формулу можно записать в следующем виде:
$P(X|Y)=\dfrac{P(Y|X)\!\ast\!P(X)}{P(Y)}$

То есть пересечение n событий обозначается отдельным событием,и тогда формула байеса всегда будет иметь две переменные(X и Y),а это в свою очередь позволит записывать формулу более компактно
Можно ли вообще обозначать пересечение n событий отдельным событием(для упрощения записи формулы)?

[Mihr]

Да, Вы всё правильно поняли.

-- 18.07.2024, 21:04 --

Elijah96 в сообщении #1646704 писал(а):

Можно ли вообще обозначать пересечение n событий отдельным событием(для упрощения записи формулы)?

Почему же нет???

[Elijah96]

Mihr в сообщении #1646711 писал(а):

Да, Вы всё правильно поняли.

-- 18.07.2024, 21:04 --

Elijah96 в сообщении #1646704 писал(а):

Можно ли вообще обозначать пересечение n событий отдельным событием(для упрощения записи формулы)?

Почему же нет???

Все,кажется я разобрался
Пересечение n событий "считаются" как одно событие(ведь они происходят одновременно)

-- 18.07.2024, 21:07 --

Спасибо Всем Большое)
Всем Всех Благ)

[Mihr]

Elijah96 в сообщении #1646713 писал(а):

Пересечение n событий "считаются" как одно событие(ведь они происходят одновременно)

Пересечение (произведение) событий можно обозначать одной буквой и рассматривать как одно событие в том числе и тогда, когда события-сомножители наступают не одновременно. То же самое, кстати, относится к объединению (сумме) событий.

[Elijah96]

Mihr в сообщении #1646714 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1646713 писал(а):

Пересечение n событий "считаются" как одно событие(ведь они происходят одновременно)

Пересечение (произведение) событий можно обозначать одной буквой и рассматривать как одно событие в том числе и тогда, когда события-сомножители наступают не одновременно. То же самое, кстати, относится к объединению (сумме) событий.

Действительно,если событий n то записывать в формулу все их может быть громоздко,а так хоть можно сократить запись,получив при этом верный результам.
Такое к сожаление в интернете не объясняют(видимо нужно самому догадаться),ну или обращаться на специализированные форумы где помогут(вроде этого)
Спасибо еще раз за помощь)
Сам бы думал бы да думал)

[Elijah96]

Я сравнил формулы $P(A\!\cap\!B|C\!\cap\!D)=\dfrac{P(C\!\cap\!D|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(A\!\cap\!B)}{P(C\!\cap\!D)}$ и $P(A\!\cap\!B|C\!\cap\!D)=\dfrac{P(A)\!\ast\!P(B|A)\!\ast\!P(C|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(D|A\!\cap\!B\!\cap\!C)}{P(C\!\cap\!D)}$

И действительно формулы одинаковые(в чем я просто убедился)

-- 19.07.2024, 17:47 --

Само сравнение(доказательство):

Формула $P(A\!\cap\!B|C\!\cap\!D)=\dfrac{P(C\!\cap\!D|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(A\!\cap\!B)}{P(C\!\cap\!D)}$

Числитель формулы можно записать как произведение дробей

То есть $P(C\!\cap\!D|A\!\cap\!B)=\dfrac{P(C\!\cap\!D\!\cap\!A\!\cap\!B)}{P(A\!\cap\!B)}\!\ast\!\dfrac{З(\!A\!\cap\!B)}{1}$

Сокращаем дроби и получаем $\dfrac{P(C\!\cap\!D\!\cap\!A\!\cap\!B)}{\begin{xy}*{P(A\!\cap\!B)};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}}\!\ast\!\dfrac{\begin{xy}*{P(A\!\cap\!B)};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}}{1}$ = $\dfrac{P(C\!\cap\!D\!\cap\!A\!\cap\!B)}{1}$ = $P(C\!\cap\!D\!\cap\!A\!\cap\!B)$

Так как операция пересечения коммутативна,то $P(C\!\cap\!D\!\cap\!A\!\cap\!B)$ = $P(A\!\cap\!B\!\cap\!C\!\cap\!D)$

А знаменатель формулы $P(C\!\cap\!D)$ остается без изменений

Отсюда получается формула $\dfrac{P(A\!\cap\!B\!\cap\!C\!\cap\!D)}{P(C\!\cap\!D)}$

Формула $P(A\!\cap\!B|C\!\cap\!D)=\dfrac{P(A)\!\ast\!P(B|A)\!\ast\!P(C|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(D|A\!\cap\!B\!\cap\!C)}{P(C\!\cap\!D)}$

Числитель формулы это ничто иное как вероятность произведения(пересечения)четырех событий

Следовательно $P(A)\!\ast\!P(B|A)\!\ast\!P(C|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(D|A\!\cap\!B\!\cap\!C)=P(A\!\cap\!B\!\cap\!C\!\cap\!D)$

Знаменатель формулы $P(C\!\cap\!D)$ так же остается без изменений

Отсюда получается формула $\dfrac{P(A\!\cap\!B\!\cap\!C\!\cap\!D)}{P(C\!\cap\!D)}$

Вывод:
Формулы идентичны по смыслу но разные по написаю

[Elijah96]

-- 19.07.2024, 18:28 --

Elijah96 в сообщении #1646850 писал(а):

Числитель формулы можно записать как произведение дробей

То есть $P(C\!\cap\!D|A\!\cap\!B)=\dfrac{P(C\!\cap\!D\!\cap\!A\!\cap\!B)}{P(A\!\cap\!B)}\!\ast\!\dfrac{З(\!A\!\cap\!B)}{1}$

Должно быть $P(C\!\cap\!D|A\!\cap\!B)\!\ast\!P(\!A\!\cap\!B)=\dfrac{P(C\!\cap\!D\!\cap\!A\!\cap\!B)}{P(A\!\cap\!B)}\!\ast\!\dfrac{P(\!A\!\cap\!B)}{1}$