Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?

[Mihr]

wrest в сообщении #1646463 писал(а):

Это лишнее уточнение, на мой взгляд.

В математике очень вредно говорить одно, при этом имея в виду нечто другое. Мне кажется, мой пример с прямоугольными треугольниками Вас должен был в этом убедить. Ну, нет - так нет.

[wrest]

Mihr
Я думал как написать, на самоа деле. Не уточнил специально посчитав излишним. Но пожалуй вы правы, уточнение "из них" не помешает.

[vpb]

Mihr в сообщении #1646429 писал(а):

Неточности в доказательстве исправить можно, конечно.

Там, собственно говоря, не неточности в доказательстве, а мелкая опечатка, написал $A$ вместо $B$ в нескольких местах. (Почему так описАлся --- бог весть).

Mihr в сообщении #1646429 писал(а):

для меня выглядит по меньшей мере сомнительно. Я полагаю, что как минимум 90% шестиклассников совершенно не поймёт подобное доказательство. Несмотря на то, что оно использует лишь такие понятия, которые им должны быть известны.

А на основании чего Вы так полагаете ? Я вот полагаю другое: что большая часть как раз поймут, если постараются. Самостоятельно же придумают такое доказательство, скорее всего, меньше 10%. В этом смысле действительно утверждение "задача для 6 класса" не совсем верное. Нужно еще одно уточнение: при условии, что они учились бы по учебнику Атанасяна 1981 г, о котором писалось выше.

wrest в сообщении #1646445 писал(а):

2. Если равны две стороны и угол, лежащий против бОльшей стороны.
То треугольники равны.

С поправкой, что "против большей из них", это не что иное как "пятый признак равенства треугольников", о котором я упоминал выше. А рассуждение, которое я написал --- это, собственно, его доказательство.

[wrest]

vpb в сообщении #1646526 писал(а):

С поправкой, что "против большей из них", это не что иное как "пятый признак равенства треугольников", о котором я упоминал выше.

Или второй вариант первого признака (две стороны и угол).

[Mihr]

vpb в сообщении #1646526 писал(а):

Там, собственно говоря, не неточности в доказательстве, а мелкая опечатка, написал $A$ вместо $B$ в нескольких местах.

Я как-то привык считать, что опечатка - это один из вариантов неточности изложения (о каких-либо ошибках в Вашем доказательстве я ведь не говорил). Всё же, если я употребил не вполне подходящее слово, охотно приношу извинения.

vpb в сообщении #1646526 писал(а):

А на основании чего Вы так полагаете ?

Исключительно на основании личного опыта. Если доказательство начать фразой "Наложим плоскость на себя так, чтобы...", то большинство шестиклассников, которых я видел, впадёт в тоску и уже не будет пытаться что-то понять, в лучшем случае постарается запомнить сказанное механически, не вдумываясь в слова. Хотя по сути, конечно, ничего сложного в Вашем доказательстве нет. Дело в том, что подавляющее большинство людей (и детей в том числе) предпочитает ясные зрительные образы рассуждениям, которые кажутся им абстрактными. И не склонно мыслить так, как обычно мыслит математик. Иное дело, если Вы то же самое изложите другими словами. Например, на языке "кальки" (когда-то мы её здесь на форуме упоминали): представьте себе, что второй треугольник нарисован на кальке. Положим эту кальку поверх первого рисунка, сдвинем до совпадения точек $A$ и $A'$, затем повернём кальку вокруг точки $A$ на такой угол, чтобы точка $B'$ совпала с точкой $B$... Вот так Вас шестиклассники легко поймут, я думаю. Если у Вас есть знакомый ребёнок со средними способностями к математике, попробуйте ради эксперимента изложить ему эту теорему двумя способами: так как Вы предложили и так, как предлагаю я. Мне кажется, разница в его понимании будет вполне заметна.

-- 16.07.2024, 21:58 --

Вслед за Вами говорю о "шестиклассниках". На самом деле теперь геометрия начинается с седьмого класса.

[vpb]

Mihr в сообщении #1646530 писал(а):

Всё же, если я употребил не вполне подходящее слово, охотно приношу извинения.

Да я, в общем, не в претензии... Короче, замнем для ясности.

Mihr в сообщении #1646530 писал(а):

Иное дело, если Вы то же самое изложите другими словами. Например, на языке "кальки" (когда-то мы её здесь на форуме упоминали): представьте себе, что второй треугольник нарисован на кальке. Положим эту кальку поверх первого рисунка, сдвинем до совпадения точек $A$ и $A'$, затем повернём кальку вокруг точки $A$ на такой угол, чтобы точка $B'$ совпала с точкой $B$... Вот так Вас шестиклассники легко поймут, я думаю. Если у Вас есть знакомый ребёнок со средними способностями к математике, попробуйте ради эксперимента изложить ему эту теорему двумя способами: так как Вы предложили и так, как предлагаю я. Мне кажется, разница в его понимании будет вполне заметна.

Так ведь я с самого начала, когда говорю о "шестикласснике", предполагаю, что имеется в виду шестиклассник, который уже полгода, т.е. три учебных четверти, учился по учебнику Атанасян-1981 (судя по учебнику, как раз к этому времени он и дойдет до соотношений между сторонами и углами треугольника). А значит, он уже проходил три признака равенства треугольников, а отсюда, в свою очередь, следует, что он уже много раз сталкивался с понятием наложения плоскости, и вполне его поймет. (Поначалу, конечно, объясняют с помощью кальки --- как же иначе ? ).

По этой же причине, корректное проведение предлагаемого эксперимента требовало бы шестиклассника систематически учить полгода --- какой же шестиклассник на это пойдет, учитывая, что Атанасян-1981 от современного значительно отличается ? Да и нет подходящего шестиклассника под рукой...

[vpb]

Собственно, а при чем тут этот пошляк, поручик Ржевский зачем я вспоминал про Атанасяна-1981 ? Ведь всё то же самое абсолютно применимо и к нынешнему Атанасяну. Единственная разница вот в чем. Мы пользуемся теоремой о том, что против большего угла лежит большая сторона. Доказательство этого опирается на тот факт, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего, не смежного с ним ("теорема о внешнем угле"). Так вот, в нынешнем Атанасяне (т.е, в евклидовой геометрии) это выводится из того, что сумма углов треугольника 180 градусов. А в старом, т.е. в абсолютной геометрии, это доказывается отдельно. А все остальные рассуждения те же самые. Так что вспомнил я про старого Атанасяна только лишь затем, чтобы обратить внимание, что утверждение задачи вернО и в абсолютной геометрии тоже.

[Mihr]

(vpb)

vpb, раз уж Вы вспомнили про Атанасяна про поручика...

Один из анекдотов о поручике писал(а):

— Давайте уже снимем этот вопрос...

Пожалуй, всё понятно, и спорить по сути не о чем.

[vpb]

Я, оказывается, тоже перемудрил, с наложениями плоскости на себя. Достаточно использовать первый признак равенства треугольников. Рассуждаем так.

На луче $AC$ возьмём точку $C''$ такую, что $AC''=A'C'$. Тогда треугольники $A'B'C'$ и $ABC''$ равны по первому признаку, поскольку $A'B'=AB$, $\angle BAC''=\angle BAC=\angle B'A'C'$ и $AC''=A'C'$. Далее, может быть три случая, как точки $A$, $C$ и $C''$ расположены: либо (1) $C=C''$, либо (2) $C''$ лежит между $A$ и $C$, либо (3) $C$ лежит между $A$ и $C''$. В случае (1) треугольники $ABC$ и $ABC''$ совпадают, значит $ABC$ и $A'B'C'$ равны. В случаях же (2) и (3) придем к противоречию. Рассмотрим, для примеру, случай (2).

В треугольнике $ABC''$ угол $\angle BAC''$ тупой, значит $\angle AC''B$ --- острый. Значит дополнительный к нему $\angle BC''C$ --- тупой. Поэтому это наибольший угол в треугольнике $BC''C$, а значит, $BC$ --- наибольшая сторона в нем. В частности, $BC>BC''$, но с другой стороны $BC''=B'C'=BC$, противоречие.

В случае (3) рассуждаем полностью аналогично, с заменой ролей точек $C$ и $C''$.