2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение15.07.2024, 13:30 


10/09/13
214
 i  Ende
Название темы изменено на более содержательное.


Можно ли утверждать, что тpeyгольники $ ABC $ и $ A'B'C' $ paвны, ecли $ AB = A'B' $, $ BC = B'C' $ и $ \angle BAC = \angle B'A'C' > 90^\circ $?

Если бы был угол $ \angle BAC$ был бы острым, тогда утверждать точно было бы нельзя. Для этого есть контрпример. А вот с тупым углом мне кажется, что всегда, что констуркция фиксирована, но как это можно доказать?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия. Можно ли?
Сообщение15.07.2024, 13:34 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Tosha в сообщении #1646363 писал(а):
Можно ли утверждать

Можно. По теореме синусов $\sin \angle A = \sin \angle A'$, ну и синус можно снять по тупоугольности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение15.07.2024, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
dgwuqtj в сообщении #1646365 писал(а):
По теореме синусов $\sin \angle A = \sin \angle A'$

Это не по теореме синусов, а по условию $\angle A = \angle A'$. По теореме синусов получим $\sin \angle C = \sin \angle C'$, отсюда $\angle C = \angle C'$ (оба эти угла - острые), тогда и оставшиеся углы тоже равны: $\angle B = \angle B'$. И наконец первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение15.07.2024, 14:17 


07/06/17
1124
dgwuqtj в сообщении #1646365 писал(а):
По теореме синусов $\sin \angle A = \sin \angle A'$

Mihr в сообщении #1646366 писал(а):
По теореме синусов получим $\sin \angle C = \sin \angle C'$

Что-то у меня с крышей от жары)))
А что это за теорема синусов такая, трактующая о разных треугольниках?

upd
Понял, теорема синусов обычная. Но из применения её к обоим треугольникам следует, что $\sin \angle C = \sin \angle C'$.
Сорри.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение15.07.2024, 14:18 


10/09/13
214
Спасибо, разобрался с задачей, немного затупил :D Просто можно достроить до параллелограмма и готово все фактически=)

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение15.07.2024, 14:41 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Mihr в сообщении #1646366 писал(а):
получим $\sin \angle C = \sin \angle C'$

Точно, буквы перепутал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение15.07.2024, 16:45 


05/09/16
12038
Tosha в сообщении #1646363 писал(а):
Можно ли утверждать, что тpeyгольники $ ABC $ и $ A'B'C' $ paвны, ecли $ AB = A'B' $, $ BC = B'C' $ и $ \angle BAC = \angle B'A'C' > 90^\circ $?

Да если $BC>AB$, т.к. в случае неострого угла против $BC$ это выполнено всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение16.07.2024, 01:00 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Тут теорема синусов не нужна. Вот решение.

Наложим плоскость на себя так, чтобы отрезок $A'B'$ наложился на $AB$, и точка $C'$ оказалась в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, что и $C$. Тогда, поскольку $\angle BAC=\angle BAC'$ и точки $C,C'$ лежат в одной полуплоскости, лучи $AC$ и $AC'$ совпадают. Т.е. $C$ и $C'$ лежат на одном луче из точки $A$. Нам остается доказать, что на самом деле $C'=C$.

Предположим противное, что $C'\ne C$, и придем к противоречию. Можно считать, без ограничения общности, что $AC'>AC$, т.е. $C'$ лежит на луче дальше от $A$, чем $C$. (В противном случае просто переобозначим $C'$ через $C$, а $C$ --- соответственно, через $C'$.) Поскольку $\angle BAC$ тупой, то $\angle ACB$, конечно, острый. Значит, дополнительный к нему $\angle ACC'$ тупой. Поэтому $AC'$ --- наибольшая сторона в треугольнике $ACC'$ (против бОльшего угла лежит бОльшая сторона), в частности, $AC'>AC$, что противоречит условию задачи.

Вообще, это следует из т.наз. пятого признака равенства треугольников. См., например, Атанасян, Геометрия Лобачевского (книга для учащихся), параграф 2, пункт 3.

-- 16.07.2024, 00:08 --

Tosha в сообщении #1646368 писал(а):
Просто можно достроить до параллелограмма и готово все фактически=
А это вы вообще что-то странное написать изволили...

-- 16.07.2024, 00:30 --

Кроме книжки про геометрию Лобачевского, уместно упомянуть самый первый вариант учебника Атанасяна, Геометрия 6--8, 1981 г. Это был "пробный учебник", в широкое употребление не пошел. Шибко ученый оказался. Существующий учебник Атанасяна отличается от этого, как я понимаю, рядом сокращений и мелких жульничеств.

-- 16.07.2024, 00:37 --

Короче, это задача для 6-го класса, причем еще до упоминания параллельных прямых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение16.07.2024, 08:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
vpb в сообщении #1646428 писал(а):
Значит, дополнительный к нему $\angle ACC'$ тупой

Дополнительным, как я понимаю, является угол $\angle BCC'$.
vpb в сообщении #1646428 писал(а):
Поэтому $AC'$ --- наибольшая сторона в треугольнике $ACC'$

Такого треугольника не существует, если, как Вы сами пишете,
vpb в сообщении #1646428 писал(а):
$C$ и $C'$ лежат на одном луче из точки $A$.

Неточности в доказательстве исправить можно, конечно. И всё же, тезис
vpb в сообщении #1646428 писал(а):
это задача для 6-го класса, причем еще до упоминания параллельных прямых

для меня выглядит по меньшей мере сомнительно. Я полагаю, что как минимум 90% шестиклассников совершенно не поймёт подобное доказательство. Несмотря на то, что оно использует лишь такие понятия, которые им должны быть известны.

-- 16.07.2024, 08:43 --

vpb в сообщении #1646428 писал(а):
Tosha в сообщении #1646368 писал(а):
Просто можно достроить до параллелограмма и готово все фактически=
А это вы вообще что-то странное написать изволили...

Фразу о параллелограмме я тоже не расшифровал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение16.07.2024, 11:38 


02/10/12
308
Попытка решения (интуитивного, не строгого).

Я нарисовал окружность радиуса $R=BC$ (см. рис.). Отрезок $ AB $ я расположил на горизонтальной оси. Точка $C$ треугольника должна быть где-то на окружности.

Изображение

Вариант-1 (Рис. 1).
$AB > BC$, угол при точке $A$ задан, луч $ AC $ должен иметь хотя бы одну общую точку с окружностью, на рисунке этот луч проведён из $A$ как касательная к окружности. Получается единственно-возможный треугольник. Если угол при $A$ чуть больше, то тругольника вообще не получится. Я назвал этот угол критическим для заданных отрезков.

Вариант-2 (Рис. 2).
$AB > BC$, угол при точке $A$ задан и меньше критического. Возможны два треугольника при заданных условиях задачи.

Вариант-3 (Рис. 3).
$AB < BC$. При любом угле при точке $A$ возможен один-единственный треугольник, т. к. есть только одно пересечение луча $АС$ с окружностью.

Вывод: если $AB < BC$, то треугольники равны при любом угле при точке $A$, в других случаях как получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение16.07.2024, 11:45 


05/09/16
12038
oleg_2 в сообщении #1646444 писал(а):
Вывод: если $AB < BC$, то треугольники равны при любом угле при точке $A$, в других случаях как получится.

Да, это называется признаком равенства треугольников по двум сторонам и углу:
1. Если равны две стороны и угол между ними
2. Если равны две стороны и угол, лежащий против бОльшей стороны.
То треугольники равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение16.07.2024, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
wrest в сообщении #1646445 писал(а):
2. Если равны две стороны и угол, лежащий против бОльшей стороны.
То треугольники равны.

Это явная ошибка. Такого признака нет. И само это утверждение неверно. Рассмотрите, например, два прямоугольных треугольника: один со сторонами $3, 4, 5$, другой со сторонами $4, 5, \sqrt{41}$. По Вашему признаку получается, что эти треугольники равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение16.07.2024, 12:15 


02/10/12
308
wrest в сообщении #1646445 писал(а):
2. Если равны две стороны и угол, лежащий против бОльшей стороны.
То треугольники равны.

Наверно нужно уточнить:
2. Если равны две стороны и угол, лежащий против бОльшей из этих двух сторон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение16.07.2024, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
oleg_2 в сообщении #1646451 писал(а):
Наверно нужно уточнить:
2. Если равны две стороны и угол, лежащий против бОльшей из этих двух сторон.

Да, так, конечно, будет верно. Но в число стандартных школьных признаков равенства треугольников такая теорема не входит. И, если уж всё делать как полагается, её нужно доказывать отдельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли утверждать, что тpeyгольники paвны?
Сообщение16.07.2024, 13:02 


05/09/16
12038
oleg_2 в сообщении #1646451 писал(а):
Наверно нужно уточнить:
2. Если равны две стороны и угол, лежащий против бОльшей из этих двух сторон.

Это лишнее уточнение, на мой взгляд. Даны две стороны одного треугольника и две другого. И угол, лежащий против бОльшей. Ну естественно, имеется в виду бОльшей из двух данных, ибо третья сторона не дана и значит сравнить мы не можем её. Но если и уточнять, то писать не "из этих двух сторон", а "из них".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group