Синус 10 градусов

[Mihr]

B@R5uk в сообщении #1646084 писал(а):

Но, может, для школы как раз пойдёт. С оговоркой.

Такой подход используется в учебниках матанализа при выводе первого замечательного предела. Без каких-либо оговорок, кстати.

-- 12.07.2024, 10:15 --

dgwuqtj в сообщении #1646089 писал(а):

Конечно, возьмём сегмент круга, его основание (хорду), а также треугольник, образованных хордой и касательными в её концах. Это даст неравенства $\sin \alpha < \alpha < 2 \tg \frac \alpha 2$ при $0 < \alpha < \pi$.

Да, довольно убедительно. Второе неравенство (между суммой длин отрезков касательных и дугой окружности) несколько менее очевидно, но, пожалуй, годится.

dgwuqtj в сообщении #1646089 писал(а):

Если периметр отрезка считать не хочется

Что такое "периметр отрезка", я не понял. Наверно, оговорка, и должно быть "длина отрезка"?

[dgwuqtj]

Mihr в сообщении #1646090 писал(а):

Что такое "периметр отрезка", я не понял.

Ну как это, у любого выпуклого компакта в плоскости есть периметр, это инфимум периметров описанных выпуклых многогранников. Периметр отрезка - это его удвоенная длина, а периметр точки - 0.

[Mihr]

dgwuqtj в сообщении #1646092 писал(а):

Ну как это, у любого выпуклого компакта в плоскости есть периметр, это инфимум периметров описанных выпуклых многогранников.

Так речь, вроде, шла о школьном доказательстве

[dgwuqtj]

Mihr в сообщении #1646093 писал(а):

Так речь, вроде, шла о школьном доказательстве

Вот я и указал, что в школе даже определить длину дуги окружности сложно. Я этого, во всяком случае, не умею.

[Евгений Машеров]

Сугубое ИМХО.
Книжка предназначена для "первоначального знакомства с тригонометрией". Но у школьника, который её читает, уже есть калькулятор с клавишей sin. Которую он даже нажимал, не понимая, что это и зачем. И ему поясняют, что это. И как это связано с углом. Никаких "вычислений" не предусматривается, кроме ввода угла и нажатия. Потому как далее говорится о формулах переменных углов, но сильно далее. Воспользоваться ими читатель первой главы не может (вернее, читатель, для которого написана первая глава - вообще же читатель может всё это знать и полагать, что он него ждут решения задачи, используя его знания, но это "неправильный читатель", такой читатель и "мама мыла раму" раскритикует, из-за недораскрытия сюжета и примитивности синтаксической структуры). Тем более разложением по Тейлору. От него, читателя, ожидается лишь "пощупать руками" что есть синус, а потом уже разбираться с теорией. И таблицы там не предполагаются, Брадиса или какие иные, хотя фрагмент таблицы приводится с пояснением: "Вот так предки охотились на мамонта синусы считали"
Поэтому читателю, который уже с тригонометрией знаком, читать её не стоит, разве что он педагог, готовящийся читать этот курс младшим школьникам, следуя данной книге.

[TOTAL]

Евгений Машеров в сообщении #1646099 писал(а):

Книжка предназначена для "первоначального знакомства с тригонометрией". Но у школьника, который её читает, уже есть калькулятор с клавишей sin. Которую он даже нажимал, не понимая, что это и зачем. И ему поясняют, что это. И как это связано с углом. Никаких "вычислений" не предусматривается, кроме ввода угла и нажатия.

Согласен про книжку, в книжке подразумевается как-нибудь найти (с помощью калькулятора и т.д.)

Но вопрос здесь задан не книжкой, а читателем книжки, который хочет именно оценить без калькулятора:

alex_kuk в сообщении #1646031 писал(а):

Пробовал искать через треугольники, но не вышло. В сети пишут про синус тройного угла, разложение в ряд Тейлора.

[мат-ламер]

Евгений Машеров в сообщении #1646099 писал(а):

Книжка предназначена для "первоначального знакомства с тригонометрией"

Как уже тут писалось, книжка допущена в качестве учебного пособия для школьников 10-х классов. То есть, какие-то представления о синусах и косинусах у школьника уже есть. А раз "пособие", а не учебник, то эта книга для дополнительного чтения и учебник не заменяет. В предисловии на первой странице написано "Читателю предлагается взглянуть на знакомый предмет по-новому".

[Евгений Машеров]

Допущена как пособие. Но автор может рассматривать книгу и шире, включая и "первое знакомство" для школьников ранее 10 класса. Так что продолжаю думать, что требуется "посчитать на калькуляторе".

А читатель, который взялся читать, уже располагая знаниями существенно большими, и желает из чисто спортивного интереса "посчитать без таблиц и калькулятора" - помимо уже названных через формулу тройного угла и кубическое уравнение, а также через ряд Тейлора, может записать угол-аргумент, переведенный в радианы, в двоичной форме и, начав со столь малого угла, что $\sin x=x$ и $\cos x=1$ с рабочей точностью, постепенно удваивать его синус и косинус, а там, где двоичный разряд единица, считать синус и косинус суммы углов (искомого и соответствуюющего данному разряду), ещё интереснее представить угол в троично-симметричной форме, так что где сумма, а где разность углов используется. Но в любом случае это не учебная задача и не прикладная, а "научный спорт".

[maxmatem]

Цитата:

В первой главе, где вводится понятие синуса через прямоугольный треугольник предлагается задача, в которой требуется найти приближенное (до двух знаков после запятой) значение синуса угла 10 градусов.

$$\sin\alpha \approx \alpha - \frac{\alpha^3}{6}$$

где $\alpha$ -радианная мера угла. Это в первой главе вашей книжки написано.
Формула работает для $\alpha < 50 ^{\circ}$

[wrest]

maxmatem в сообщении #1646207 писал(а):

где $\alpha$ -радианная мера угла. Это в первой главе вашей книжки написано.

Именно. Причем для 10 градусов второе слагаемое меньше чем $0,001$ (легко считается без калькулятора) а значит два верных знака даёт радианная мера этого угла.

[TOTAL]

wrest в сообщении #1646208 писал(а):

maxmatem в сообщении #1646207 писал(а):

где $\alpha$ -радианная мера угла. Это в первой главе вашей книжки написано.

Именно.

Не совсем "именно". Это написано в первой главе, но намного после задачи.

[miflin]

Кавер-версия пособия по тригонометрии.

[maxmatem]

TOTAL
согласен, раз задача относится к первому параграфу и книга из разряда "С нуля", то и решаться должна в рамках первого параграфа.

(Оффтоп)

Мне никогда эта книга не нравилась.....

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп)

Прошу меня извинить за то, что встреваю в тему, не читая эту книгу (и не знаю, может быть там уже где-то дано решение; а может быть я прозевал или не понял, что предлагаемое ниже наглядное приближённое вычисление синуса десяти градусов уже есть в сообщениях выше. Это мой дурацкий никнейм тянет меня за язык :)

Предположим, школьник знает, что длина половины окружности радиуса $R$ равна $\pi R.$ И, допустим, школьник понял, что если разделить половину окружности на $9$ равных частей и вписать $9$ равнобедренных треугольников, как показано ниже на рисунке, то сумма длин оснований треугольников будет приближённо равна длине половины окружности:



Если школьник понимает, что длина основания одного такого треугольника равна $2R\sin(10^{\circ}),$ то из приближённого равенства $9\cdot 2R\sin(10^{\circ})\approx\pi R $ получит: $\sin(10^{\circ})\approx \frac{\pi}{18}\approx 0.17$ (как и по формуле $\sin (\alpha) \approx \alpha).$

[wrest]

Cos(x-pi/2)
Ну так вопрос же сколько десятичных знаков верные, или показать что "не меньше двух знаков верны" ;)