Синус 10 градусов

[alex_kuk]

Здравствуйте.

Прощу прощения, если такой вопрос уже поднимался на форуме. Пробовал искать, но не нашел.

Начал читать книгу «Тригонометрия» И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом (МЦНМО).
Ссылка: https://old.mccme.ru//free-books//lvovski/trig.pdf

В первой главе, где вводится понятие синуса через прямоугольный треугольник предлагается задача, в которой требуется найти приближенное (до двух знаков после запятой) значение синуса угла 10 градусов.
Пробовал искать через треугольники, но не вышло. В сети пишут про синус тройного угла, разложение в ряд Тейлора.
Но, насколько понимаю, в контексте первой главы книги использование таких приемом для решения задачи не требуется.
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении искать решение.

Спасибо.

[drzewo]

регулярный метод решения таких задач -- формула Тейлора

[alex_kuk]

drzewo в сообщении #1646033 писал(а):

регулярный метод решения таких задач -- формула Тейлора

Спасибо за ответ.

[мат-ламер]

Для малых углов верно приближённое равенство $\sin (\alpha /3 ) \approx (\sin \alpha) /3$ .

[TOTAL]

Из $\sin(30) = 1/2$ (геометрически) получаем $\sin(10) > 1/6$
Из $\sin(10) < \pi/18$ тоже что-то получаем

[Sinoid]

alex_kuk в сообщении #1646031 писал(а):

Пробовал искать через треугольники, но не вышло.

Что не вышло? Построить на компе, в той же пресловутой Геогебое прямоугольный треугольник с острым углом 10 градусов?
Какой Тейлор, какие малые углы, если

alex_kuk в сообщении #1646031 писал(а):

вводится понятие синуса через прямоугольный треугольник предлагается

Это и методически неверно сейчас направлять в эту сторону. Авторами-то предполагается, что читатель в результате выполнения даваемых ими заданий получит представлении о вычислении этого всего в своем первозданном, естественном, виде, а тут Тейлором по голове... Эх, мне бы имеющиеся сейчас возможности копания в этом во всем да в 7-ом классе

[vpb]

А вы просто бросьте читать эту книжку, ибо она плохая. Также как и Гельфанд, Шень, Алгебра. Читайте обычные школьные учебники, как то Мордковича (профильного !) и Атанасяна.

То, что в этой книжке дали задачу, которую, конечно, с теми средствами решить нельзя --- это и есть доказательство ее плохости. И дальше там таких много будет.

-- 11.07.2024, 18:16 --

Если же в принципе хочется чего-то более продвинутого, чем школьная математика --- это предмет отдельного разговора.

[Sinoid]

Цитата:

... для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений

[Евгений Машеров]

Насколько я понял смысл задачи, он не в вычислении синуса, а в сравнении его значения с радианной мерой угла. И значение синуса на этот момент достаточно взять из таблицы или из калькулятора.

[Geen]

На самом деле, для той точности что требуется, работает метод, предложенный TOTAL...

[mihaild]

TOTAL в сообщении #1646036 писал(а):

Из $\sin(10) < \pi/18$

Это следующая задача, так что пока что мы этого не знаем.

Вообще на этот момент мы не знаем о синусах почти ничего, так что видимо да, "найдите значение" означает "найдите в таблице".
(либо возьмите транспортир и линейку)

[lazarius]

Sinoid в сообщении #1646044 писал(а):

Цитата:

... для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений

Как я понимаю, учащиеся сегодня программировать умеют. По этому поводу я хотел бы предложить метод который мне иногда помогает при изучении физики - числовое решение. Формула синуса тройного угла дает уравнение третьей степени которое я решаю так:

#include <iomanip>
#include <iostream>

int main()
{
    double x = 0;
    while (8 * x * x * x - 6 * x + 1 > 0) x += 0.001;

    std::cout << "x = " << std::fixed << std::setprecision(2) << x << '\n';
}

Кстати, именно таким методом я решил задачу про посылку сообщений под горизонт - задачу, которая непонятно куда подевалась. :)

[drzewo]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1646043 писал(а):

А вы просто бросьте читать эту книжку, ибо она плохая. Также как и Гельфанд, Шень, Алгебра

Как таки вам не стыдно. МЦНМО и ВШЭ – это ж , можно сказать, самое лучшее, что было в российском образовании за всю его историю. А Шень и вовсе самый великий из всех самых ведиких математиков и педагогов.

[B@R5uk]

А по-моему шикарная задача на оценочные вычисления.

$$|OA|=|OA'|=1,\quad\angle AOB=10^\circ,\quad\sin10^\circ=|AB|<|_\smile AA'|=\frac{\pi}{180^\circ}\;\cdot\;10^\circ=\frac{\pi}{18}\approx 0,1745$$

$$|OB|=|OB'|=\cos10^\circ>\sqrt{1-\left(\frac{\pi}{18}\right)^2},\quad|_\smile BB'|=\frac{\pi}{18}\cos10^\circ>\frac{\pi}{18}\sqrt{1-\left(\frac{\pi}{18}\right)^2}\approx 0,1719$$

$$0,1719<|_\smile BB'|<|AB|=\sin10^\circ<|_\smile AA'|<0,1745$$

Две значащие цифры поймались. (Обратите внимание: для косинуса знак поменялся из-за минуса под корнем). Нужны только базовые школьные знания и магазинный калькулятор для удобства вычислений (корень вручную муторно считать, хотя хороший способ в столбик типа деления существует). Если что, то точное значение:

$$\sin10^\circ\approx0,17364817766693034885171662676931\ldots$$

Можно попытаться покрутить синус 5 градусов этим же методом, а потом через формулу двойного угла получить чуть более точную оценку синуса 10-и. Может даже 3-я цифра поймается.

Историческая справка. Если верить вики, первые таблицы синусов были у индийских математиков ещё в 5-6 веке в зависимости от величины шага. Я не знаю, как они их составляли, но ряд Тейлора и его аналоги появились только девять и более веков спустя.

[alex_kuk]

Благодарю за ответы! В сторону радианной меры думал, но не додумался, что ее можно использовать как границу сверху для поиска приблизительного значения.

vpb в сообщении #1646043 писал(а):

А вы просто бросьте читать эту книжку, ибо она плохая. Также как и Гельфанд, Шень, Алгебра. Читайте обычные школьные учебники, как то Мордковича (профильного !) и Атанасяна.

То, что в этой книжке дали задачу, которую, конечно, с теми средствами решить нельзя --- это и есть доказательство ее плохости. И дальше там таких много будет.

-- 11.07.2024, 18:16 --

Если же в принципе хочется чего-то более продвинутого, чем школьная математика --- это предмет отдельного разговора.

Хотел просто вспомнить школьный курс. Думал, что подобные книги оптимальны. Кстати, по алгебре как раз указанную книгу тоже читаю :).
Но видимо Вы правы и лучше учебники почитать, порешать задачи из них. Спасибо!