2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение12.07.2024, 10:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
B@R5uk в сообщении #1646084 писал(а):
Но, может, для школы как раз пойдёт. С оговоркой.

Такой подход используется в учебниках матанализа при выводе первого замечательного предела. Без каких-либо оговорок, кстати.

-- 12.07.2024, 10:15 --

dgwuqtj в сообщении #1646089 писал(а):
Конечно, возьмём сегмент круга, его основание (хорду), а также треугольник, образованных хордой и касательными в её концах. Это даст неравенства $\sin \alpha < \alpha < 2 \tg \frac \alpha 2$ при $0 < \alpha < \pi$.

Да, довольно убедительно. Второе неравенство (между суммой длин отрезков касательных и дугой окружности) несколько менее очевидно, но, пожалуй, годится.
dgwuqtj в сообщении #1646089 писал(а):
Если периметр отрезка считать не хочется

Что такое "периметр отрезка", я не понял. Наверно, оговорка, и должно быть "длина отрезка"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение12.07.2024, 10:21 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Mihr в сообщении #1646090 писал(а):
Что такое "периметр отрезка", я не понял.

Ну как это, у любого выпуклого компакта в плоскости есть периметр, это инфимум периметров описанных выпуклых многогранников. Периметр отрезка - это его удвоенная длина, а периметр точки - 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение12.07.2024, 10:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
dgwuqtj в сообщении #1646092 писал(а):
Ну как это, у любого выпуклого компакта в плоскости есть периметр, это инфимум периметров описанных выпуклых многогранников.

Так речь, вроде, шла о школьном доказательстве :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение12.07.2024, 10:30 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Mihr в сообщении #1646093 писал(а):
Так речь, вроде, шла о школьном доказательстве :-(

Вот я и указал, что в школе даже определить длину дуги окружности сложно. Я этого, во всяком случае, не умею.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение12.07.2024, 12:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Сугубое ИМХО.
Книжка предназначена для "первоначального знакомства с тригонометрией". Но у школьника, который её читает, уже есть калькулятор с клавишей sin. Которую он даже нажимал, не понимая, что это и зачем. И ему поясняют, что это. И как это связано с углом. Никаких "вычислений" не предусматривается, кроме ввода угла и нажатия. Потому как далее говорится о формулах переменных углов, но сильно далее. Воспользоваться ими читатель первой главы не может (вернее, читатель, для которого написана первая глава - вообще же читатель может всё это знать и полагать, что он него ждут решения задачи, используя его знания, но это "неправильный читатель", такой читатель и "мама мыла раму" раскритикует, из-за недораскрытия сюжета и примитивности синтаксической структуры). Тем более разложением по Тейлору. От него, читателя, ожидается лишь "пощупать руками" что есть синус, а потом уже разбираться с теорией. И таблицы там не предполагаются, Брадиса или какие иные, хотя фрагмент таблицы приводится с пояснением: "Вот так предки охотились на мамонта синусы считали"
Поэтому читателю, который уже с тригонометрией знаком, читать её не стоит, разве что он педагог, готовящийся читать этот курс младшим школьникам, следуя данной книге.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение12.07.2024, 12:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Евгений Машеров в сообщении #1646099 писал(а):
Книжка предназначена для "первоначального знакомства с тригонометрией". Но у школьника, который её читает, уже есть калькулятор с клавишей sin. Которую он даже нажимал, не понимая, что это и зачем. И ему поясняют, что это. И как это связано с углом. Никаких "вычислений" не предусматривается, кроме ввода угла и нажатия.
Согласен про книжку, в книжке подразумевается как-нибудь найти (с помощью калькулятора и т.д.)

Но вопрос здесь задан не книжкой, а читателем книжки, который хочет именно оценить без калькулятора:
alex_kuk в сообщении #1646031 писал(а):
Пробовал искать через треугольники, но не вышло. В сети пишут про синус тройного угла, разложение в ряд Тейлора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение12.07.2024, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Евгений Машеров в сообщении #1646099 писал(а):
Книжка предназначена для "первоначального знакомства с тригонометрией"

Как уже тут писалось, книжка допущена в качестве учебного пособия для школьников 10-х классов. То есть, какие-то представления о синусах и косинусах у школьника уже есть. А раз "пособие", а не учебник, то эта книга для дополнительного чтения и учебник не заменяет. В предисловии на первой странице написано "Читателю предлагается взглянуть на знакомый предмет по-новому".

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение13.07.2024, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Допущена как пособие. Но автор может рассматривать книгу и шире, включая и "первое знакомство" для школьников ранее 10 класса. Так что продолжаю думать, что требуется "посчитать на калькуляторе".

А читатель, который взялся читать, уже располагая знаниями существенно большими, и желает из чисто спортивного интереса "посчитать без таблиц и калькулятора" - помимо уже названных через формулу тройного угла и кубическое уравнение, а также через ряд Тейлора, может записать угол-аргумент, переведенный в радианы, в двоичной форме и, начав со столь малого угла, что $\sin x=x$ и $\cos x=1$ с рабочей точностью, постепенно удваивать его синус и косинус, а там, где двоичный разряд единица, считать синус и косинус суммы углов (искомого и соответствуюющего данному разряду), ещё интереснее представить угол в троично-симметричной форме, так что где сумма, а где разность углов используется. Но в любом случае это не учебная задача и не прикладная, а "научный спорт".

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение13.07.2024, 16:12 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
Цитата:
В первой главе, где вводится понятие синуса через прямоугольный треугольник предлагается задача, в которой требуется найти приближенное (до двух знаков после запятой) значение синуса угла 10 градусов.


$$\sin\alpha  \approx \alpha - \frac{\alpha^3}{6}$$

где $\alpha$ -радианная мера угла. Это в первой главе вашей книжки написано.
Формула работает для $\alpha < 50 ^{\circ}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение13.07.2024, 16:16 


05/09/16
12038
maxmatem в сообщении #1646207 писал(а):
где $\alpha$ -радианная мера угла. Это в первой главе вашей книжки написано.

Именно. Причем для 10 градусов второе слагаемое меньше чем $0,001$ (легко считается без калькулятора) а значит два верных знака даёт радианная мера этого угла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение13.07.2024, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
wrest в сообщении #1646208 писал(а):
maxmatem в сообщении #1646207 писал(а):
где $\alpha$ -радианная мера угла. Это в первой главе вашей книжки написано.

Именно.

Не совсем "именно". Это написано в первой главе, но намного после задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение13.07.2024, 17:18 
Аватара пользователя


27/02/12
3883
Кавер-версия пособия по тригонометрии. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение13.07.2024, 18:24 
Аватара пользователя


15/08/09
1465
МГУ
TOTAL
согласен, раз задача относится к первому параграфу и книга из разряда "С нуля", то и решаться должна в рамках первого параграфа.

(Оффтоп)

Мне никогда эта книга не нравилась.....

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение13.07.2024, 19:22 
Заслуженный участник


29/09/14
1239

(Оффтоп)

Прошу меня извинить за то, что встреваю в тему, не читая эту книгу (и не знаю, может быть там уже где-то дано решение; а может быть я прозевал или не понял, что предлагаемое ниже наглядное приближённое вычисление синуса десяти градусов уже есть в сообщениях выше. Это мой дурацкий никнейм тянет меня за язык :)

Предположим, школьник знает, что длина половины окружности радиуса $R$ равна $\pi R.$ И, допустим, школьник понял, что если разделить половину окружности на $9$ равных частей и вписать $9$ равнобедренных треугольников, как показано ниже на рисунке, то сумма длин оснований треугольников будет приближённо равна длине половины окружности:

Изображение

Если школьник понимает, что длина основания одного такого треугольника равна $2R\sin(10^{\circ}),$ то из приближённого равенства $9\cdot 2R\sin(10^{\circ})\approx\pi R $ получит: $\sin(10^{\circ})\approx \frac{\pi}{18}\approx 0.17$ (как и по формуле $\sin (\alpha) \approx \alpha).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Синус 10 градусов
Сообщение13.07.2024, 19:50 


05/09/16
12038
Cos(x-pi/2)
Ну так вопрос же сколько десятичных знаков верные, или показать что "не меньше двух знаков верны" ;)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group