Способы решения нестандартных школьных и научных задач

[Rasool]

Ранее я заводил две темы:
Нехитрый способ решения несложных нестандартных школьных задач.
Обсуждение книги "Как решают нестандартные задачи".
Здесь я решил привести более общие способы решения нестандартных школьных (и возможно научных) задач, исходя из опыта решения подобных задач в сборниках и Задачнике Кванта.
Вот более "частные" "эвристики":
- Метод мат. индукции;
- Метод инвариантов;
- Промежуточное вспомогательное конструирование;
- Делать подстановки;
- Целые числа - делимость;
- Принцип Дирихле;
- Решать от конца, от того, что требуется;
- Доказательство от противного.
Более общие "эвристики":
- Исходить из смысла, условия задачи, ее операций;
- Привлечение других областей математики;
- Свойства объектов ("Заметим, что..."), порассуждать о свойствах, взаимосвязь с другими свойствами;
- Установление промежуточных фактов, гипотез и их проверка, исходя из цели;
- Неожиданные гипотезы и попытка их доказательства, их проверка;
- Провести некоторые преобразования;
- Многошаговое, поэтапное решение, поиск в глубину;
- Перебор;
- Изобретательность;
- Конструирование решения;
- Рассмотрение альтернативных вариантов, поиск в ширину.
Один способ "привлечение других областей математики" легко проиллюстрировать на примере задачи из учебника Погорелова, которая была одной из вступительных задач в МФТИ:
Вписать в угол и точку B внутри угла окружность (т.е. окружность должна касаться сторон заданного угла и проходить через заданную точку).
Я долго мучился с решением этой задачи, пришлось обратиться к помощи форума. А решение довольно простое:

(Оффтоп)

Нужно использовать метод подобия фигур.

В принципе, можно еще обсудить разные способы решения научных задач, которые обычно стоят перед аспирантами и учеными.

[Mihaylo]

Напомню, было тут обсуждение, в котором я выразил недоумение понятием "нестандартные задачи". Вы тут перечислили методы стандартные, а задачи вдруг нестандартными стали.
Я бы назвал такие задачи сложными для среднего человека.

Вот вы посмотрели как методом динамического программирования создаются алгоритмы, значит для вас целый класс задач стал стандартным (типовым). Берёте и делаете.

[мат-ламер]

Rasool
Ваш стартовый пост меня не вдохновил, поскольку в качестве примера у вас взята задача по геометрии, которую я недолюбливаю. Давайте рассмотрим какой-нибудь пример из школьной алгебры. Вот задача 5 (стр.25) из книги "Математика в задачах (сборник материалов ...)". (Взял первую попавшуюся задачу из первой попавшейся книги).

Найдите все многочлены $P(x)$ с вещественными коэффициентами, удовлетворяющие тождеству $P(x^2+x+1)\equiv P(x)P(x+1)$ .

Давайте посмотрим, как тут работают перечисленные вами методы. Я пока чувствую, что эта задача про корни многочленов. То есть надо посмотреть, какие корни у многочлена $P(x)$ , какие корни у левой и правой части тождества? Задачу специально не решал, надеясь на автоматическую помощь ваших методов.

[Rasool]

мат-ламер в сообщении #1624708 писал(а):

Rasool
Ваш стартовый пост меня не вдохновил, поскольку в качестве примера у вас взята задача по геометрии, которую я недолюбливаю. Давайте рассмотрим какой-нибудь пример из школьной алгебры. Вот задача 5 (стр.25) из книги "Математика в задачах (сборник материалов ...)". (Взял первую попавшуюся задачу из первой попавшейся книги).

Найдите все многочлены $P(x)$ с вещественными коэффициентами, удовлетворяющие тождеству $P(x^2+x+1)\equiv P(x)P(x+1)$ .

Давайте посмотрим, как тут работают перечисленные вами методы. Я пока чувствую, что эта задача про корни многочленов. То есть надо посмотреть, какие корни у многочлена $P(x)$ , какие корни у левой и правой части тождества? Задачу специально не решал, надеясь на автоматическую помощь ваших методов.

Наверное, имеются в виду комплексные корни? Потому что если многочлен можно представить в виде произведения других многочленов, то в общем случае у него может и не быть действительных корней (мой метод "Установление промежуточных фактов, гипотез и их проверка, исходя из цели"). Часто в задачах, которые попадались мне, можно было использовать метод "Свойства объектов ("Заметим, что..."), порассуждать о свойствах, взаимосвязь с другими свойствами".

[Rasool]

В принципе, в треде, посвященном решению этой задачи, были предложены следующие варианты решения:

TOTAL в сообщении #1633670 писал(а):

Действительных корней нет (иначе их бесконечно много)
Все корни равны $1$ по модулю, т.к. $P(1) =P(0)P(1)$
Корни только $z=\pm i$, т.к. $|z^2+z+1|=|z|=1$

TOTAL в сообщении #1633700 писал(а):

alisa-lebovski в сообщении #1633693 писал(а):

TOTAL в сообщении #1633670 писал(а):

Все корни равны $1$ по модулю, т.к.

Уточните. пожалуйста, почему.

Произведение корней равно $1$.
Пусть корень $|z|>1$ максимальный по модулю.
Разность корней $z^2+z+1$ и $z^2-z+1$ по модулю равна $|2z|$, поэтому каждый из них по модулю равен $|z|$, т.е. они равны $z$ и $-z$, т.е. $z^2+1=0$, что противоречит предположению $|z|>1$.

Это по моей классификации можно отнести к пункту "Привлечение других областей математики".
Но я сам предложил другое решение, пошел более прямолинейным путем ("Многошаговое, поэтапное решение, поиск в глубину"):

Rasool в сообщении #1639264 писал(а):

TOTAL в сообщении #1633670 писал(а):

Действительных корней нет (иначе их бесконечно много)

Наверное, есть только мнимые корни вида $bi$, где $b\neq 0$?
Пусть $z=a+bi$, a\neq 0, b\neq 0 - корень. Тогда $z^2+z+1=(a+bi)^2+a+bi+1=a^2-b^2+a+1+(2a+1)bi$ - тоже корень. Отсюда, чтобы не порождалось бесконечное множество корней, нужно, чтобы было $a=0, b=\pm 1$. Правильно?

[Батороев]

Rasool в сообщении #1623985 писал(а):

В принципе, можно еще обсудить разные способы решения научных задач, которые обычно стоят перед аспирантами и учеными.

Будучи всего лишь любителем математики (поэтому моим видением можно пренебречь), я бы отметил еще один подход: "критическое отношение к известному".

(Оффтоп)

Когда на уроке математики учительница знакомила нас с понятием "комплексные числа", она привела простой пример: "Рассмотреть функцию $y=x^2+4x+5$" (за точность условия за давностью лет не ручаюсь). А затем показала, что т.к. дискриминант уравнения $y=f(x)=0$ отрицательный, то для нахождения корней вводится понятие "комплексные числа" и одним из корней является $x_{1,2}=-2\pm i$. На мой резонный вопрос, почему нельзя было решить способом, который изучали незадолго до этого, т.е. преобазовать уравнение к виду $y=(x+2)^2+1$, из которого получается обычная квадратичная функция $y=x^2$, сдвинутая по оси $X$ на $2$ влево, по оси $Y$ на $1$ вниз и решив уравнение $y=f(x)=0$ в новых осях $X' =X-2$ , $Y'=Y-1$, затем пересчитать полученные корни для прежних осей, получив $(x;y)=(-2;-1)$, которые "вполне себе обычные", учительница замешкалась и пообещала ответить на следующем уроке... но видать забыла. И до сих пор меня "терзают смутные сомнения".

[Sender]

Батороев в сообщении #1645923 писал(а):

затем пересчитать полученные корни для прежних осей, получив $(x;y)=(-2;-1)$, которые "вполне себе обычные"

Но ведь у вас $y$ получается равным $-1$, а для нахождения корней исходного уравнения надо, чтобы был $0$.

[Батороев]

Sender в сообщении #1645934 писал(а):

Батороев в сообщении #1645923 писал(а):

затем пересчитать полученные корни для прежних осей, получив $(x;y)=(-2;-1)$, которые "вполне себе обычные"

Но ведь у вас $y$ получается равным $-1$, а для нахождения корней исходного уравнения надо, чтобы был $0$.

Это получены не корни исходного уравнения, а пересчитанные в старую систему корни уравнения из новой системы $y'=x'^2$.
Чтобы получить корни исходного, необходимо пересчитать прямую $y=0$ в новую систему, получив $y'=1$, найти точки пересечения этой прямой с параболой $y'=x'^2$, а затем пересчитать эти точки в старую систему.

[miflin]

Батороев
Вы прям таки софизм соорудили на ровном месте.

[Батороев]

miflin в сообщении #1645945 писал(а):

Батороев
Вы прям таки софизм соорудили на ровном месте.

Красиво изъясняетесь! Еще какая-нибудь содержательность при этом присутствовала бы.

-- 10 июл 2024 19:48 --

p.s. Во избежание обвинений во флуде, отвечать на свой оффтоп (на который и ответы писать то не принято) больше не буду.

[miflin]

Батороев в сообщении #1645952 писал(а):

Еще какая-нибудь содержательность при этом присутствовала бы.

В данном случае лучше не использовать понятие "корни уравнения" (какого?), а говорить "корни квадратного трехчлена".
И не двигать при этом оси координат.

[мат-ламер]

Rasool в сообщении #1645858 писал(а):

Это по моей классификации можно отнести к пункту "Привлечение других областей математики".
Но я сам предложил другое решение, пошел более прямолинейным путем ("Многошаговое, поэтапное решение, поиск в глубину"):

На первом шаге - просто осмысливание задачи - это вообще про что? Это для того, чтобы поиск в глубину шёл в нужном направлении.

[Rasool]

мат-ламер в сообщении #1645965 писал(а):

Rasool в сообщении #1645858 писал(а):

Это по моей классификации можно отнести к пункту "Привлечение других областей математики".
Но я сам предложил другое решение, пошел более прямолинейным путем ("Многошаговое, поэтапное решение, поиск в глубину"):

На первом шаге - просто осмысливание задачи - это вообще про что? Это для того, чтобы поиск в глубину шёл в нужном направлении.

Один из основных этапов решения задачи - это проверка факта, что может порождаться бесконечное множество корней. Потом довольно просто выводятся нужные формулы.