Но по-сути расширение импликативной логики конъюнкцией и дизъюнкцией является консервативным.
В интуиционистской логике не является (то есть там конъюнкция и дизъюнкция не выражаются через импликацию).
Спасибо, это ценное замечание. Собственно, я не рискну утверждать, что определение конъюнкции и дизъюнкции консервативно расширяет
любую логику. В частности, в интуиционистской логике есть много чего такого, что не содержит символов конъюнкции и дизъюнкции, например,
.
Но вот интересно, если мы рассмотрим некое "минимальное" исчисление высказываний, содержащее только две аксиомы:
1)
,
2)
,
т.е. нет не только конъюнкции и дизъюнкции, но и символа отрицания, но есть символ абсурда
, что позволяет использовать выражение
как синоним отрицания
.
Так вот, будет ли консервативным расширение этой системы определением конъюнкции аксиомами:
3)
,
4)
,
5)
,
а также определением дизъюнкции аксиомами:
6)
,
7)
,
8)
?
Если нет, то можно ли привести пример тавтологии, записанной с использованием только символов импликации и абсурда, которая доказуема в расширенной аксиоматике, но недоказуема в аксиоматике 1-2?
Можно вообще рассматривать логики без импликации, но, скажем, с естественным выводом с правилом сечения.
Честно говоря, я не уверен, что системы естественного вывода вообще правомерно относить к "логике". Дело в том, что символ выводимости (
или что-то его заменяющее) - метатеоретический, т.е. его нельзя использовать в языке прикладной теории (в отличии от импликации, конъюнкции, дизъюнкции и всего прочего). Фактически мы на метаязыке формулируем какие-то правила вывода, и при этом сталкиваемся с кучей проблем типа необходимости согласования "порядка применимости" этих правил.
Если интерпретировать импликацию (т.е. логическое следование) как выводимость, то это означает, что если из аксиоматики
выводится дизъюнкция
, то из этой аксиоматики выводится либо
, либо
.
А в классической логике её не интерпретируют как выводимость.
Да, это я и считаю дефектом.
Утверждение
истинно, если в предположении
заключение
обязательно является истинным. Если мы предположим, что
, то при условии
у нас хотя бы одно из
,
будет истинным, что и требуется.
Угу, "хотя бы одно из них будет истинным", но какое именно - установить невозможно. Из закона исключённого третьего следует, что гипотеза континуума либо истинна, либо ложна. Это как бы подразумевает, что есть некая неизвестная нам "объективная" истина. И это означает, что если я приму гипотезу континуума за аксиому, то могу "угадать" или "ошибиться".
А я вот предпочитаю считать, что множества - это продукт нашего воображения, так что как мы вообразим, так и будет "на самом деле". Т.е. если мы примем гипотезу континуума за аксиому, то уже никто не будет вправе нам сказать, что мы "ошиблись": так мы определили для себя понятие множества и всё тут, и не бывает у них промежуточных кардинальностей "по определению".
Вся классическая логика основана на том, что у нас есть некая математическая действительность и про неё все утверждения истинны или ложны.
Да, я был в шоке, когда классические логики мне прояснили свою позицию в отношении гипотезы континуума ссылкой на эту самую неизвестную никому "математическую действительность".