все формулы и рассуждения описывают общий случай. Просто случаю падения с нулевой скоростью из конечной точки соответствует
.
Верно.
Сохраняющаяся на времениподобной геодезической величина
имеет смысл энергии, делённой на массу
(или на
если писать
явно) свободно падающего пробного тела. Если
то тело может падать из бесконечности, и (если не проваливается под горизонт) может улететь на бесконечность; тогда
выражается через реальную скорость на бесконечности. При
это не так, но мы и не обязаны пользоваться параметром
в любом случае достаточно задавать
То, что случай
совсем не интересует ТС, я не заметил и выбрал для пояснения этот случай, чтобы смысл постоянной
был понятнее.
именно общий случай радиального падения рассматривается.
Не только радиального. Наряду с
сохраняется
это момент импульса, делённый на массу
пробного тела (или на
если пишем
явно, так что
имеет размерность длины). При
движение не радиальное. В зависимости от заданных
и начального
возможны разные типы траекторий пробного тела (в том числе и без падения под горизонт).
Допустим, какой-то космонавт где-то кинул камень прочь от горизонта не строго радиально, а под углом. Камень удаляется от горизонта, долетает до некоторой "точки поворота"
в которой его радиальная скорость обращается в ноль (а угловая - не равна нулю), и затем прилетает в точку
вблизи горизонта, где мы вычисляем его скорость
в системе отсчёта наблюдателя, покоящегося в точке
Длина пути
камня в окрестности точки наблюдения
в случае c
содержит вклад не только от радиальной координаты, но и от угловой. Интересный вопрос: как друг с другом соотносятся эти вклады в
(или в
при
Приведённое выше вычисление показало, что
И ещё можно показать, что при этом угловой вклад стремится к нулю. Т.е. даже при не радиальной траектории камень "воткнётся" в горизонт радиально.
lazariusПроизводная равна ровно единице в точке где мы из состояния покоя отпускаем астронавта в его последнее путешествие. А
стремится к единице только на бесконечности.
Да, эта формула верна при
и условие
означает, что на бесконечности скорость пробного тела равна нулю. Все свои обозначения я пояснял: пробное тело проходит путь
(в окрестности точки
в которой покоится наблюдатель) за время
по часам пробного тела и за время
по часам этого наблюдателя;
есть компонента метрического тензора в точке
Точку
можно выбирать в любом месте над горизонтом, в том числе вблизи горизонта (такой предельный случай и был рассмотрен в моём сообщении).
Если Вы полагаете в этой формуле
то, разумеется, в такой далёкой точке
и
-- часы пробного тела и наблюдателя там идут одинаково, так как они покоятся. Но если точка
выбрана вблизи горизонта, то
Там
потому что наблюдатель покоится, а пробное тело мчится к горизонту со скоростью уже близкой к скорости света, так что ход часов пробного тела выглядит замедленным. Указанная Вами формула об этом и говорит. Она верная.
Вы используете непривычную мне сигнатуру но даже я увидел что у вас в последнем члене знак не совпадает с тем что у меня в двух книжках с такой сигнатурой. Мы понимаем что последние два не имеют отношения к тому что мы обсуждаем и замнем этот вопрос.
Приведите, пожалуйста, точную цитату того места, в котором "знак не совпадает"; тогда смогу написать об исправлении. (У меня проблема со зрением, поэтому бывает много опечаток; в течение часа, доступного для редактирования, пытаюсь их исправить, но остаются и не замеченные. В данном случае после многократного редактирования уже не вижу ошибок в том своём сообщении.)
Вы используете факты (сохранение некоторых величин) которые мне неизвестны.
Различаю два варианта форумного обсуждения физической задачи:
1) ТС задаёт вопрос, чтобы разобраться в физике. Тогда участники отвечают в той форме, которая им более знакома (сами выбирают нужные детали - обозначения, сигнатуру метрики и т.п.) или/и которая им представляется более полезной в образовательном плане (сами выбирают, что и как рассказывать - методы решения задач, характер пояснений). А задающий вопросы ТС старается в ответы вникнуть, "мотает на ус" всё то, что оказывается для него новым.
Вариант 2) - это когда ТС просит "проверьте вот эти конкретные расчёты" или "прокомментируйте вот эту конкретную книгу". В этом варианте ему предстоит ждать добровольца, который возьмёт на себя труд проделать точно такие же расчёты, найти и прочитать указанную книгу и выдать оценку.
В варианте (1), т.е. если Вас интересует не только вопрос в вашем исходном сообщении о скорости радиального падения тел на горизонт в частном случае, обсуждение могло бы быть очень интересным - речь могла бы идти о всех возможных картинах движения пробных тел.
А именно, интересно вот что. Оказывается, вследствие высокой симметрии метрики Шварцшильда, здесь выполняются законы сохранения, аналогичные законам сохранения энергии и момента импульса в обычной ньютоновской механике при движении частицы в статическом сферически симметричном силовом поле. Как и в ньютоновской механике, из этих законов легко предвидеть характер траекторий пробных тел, не решая явно уравнения движения. (Там есть очень полезное понятие - "эффективный потенциал", зависящий от
и здесь тоже легко прийти к аналогичному понятию, полезному для выяснения возможных типов траекторий свободных пробных тел.)
Одно из следствий закона сохранения момента импульса - двумерность траектории: любая траектория лежит в плоскости. Можно считать, что это экваториальная координатная плоскость:
так что всё время
и
При не радиальном движении переменной угловой координатой является только
с ней связана сохраняющаяся величина момента импульса
(на единицу массы пробного тела).
Можно показать, что если радиальная скорость обращается в ноль при конечном значении
радиальной координаты,
то сохраняющаяся энергия
(на единицу массы пробного тела) даётся формулой
Для искомой
как уже говорилось, верна формула
то есть
где, напомню,
-- точка вблизи горизонта, в которой вычислен квадрат скорости пробного тела,
-- точка, из которой тело начинает движение к горизонту с нулевой радиальной скоростью.
Если, следуя такой нумерации точек, ввести обозначения
и рассматривать только частный случай - радиальное движение, т.е. положить
- то приведённый мной результат запишется в виде
Такой же результат и у Вас, отличие лишь в обозначениях: у Вас обозначено как
и
то, что у меня здесь
и
а с индексом "0" у Вас обозначено то, что у меня с индексом "1".
Основой рассмотрения (о котором я попытался рассказать, оно подробно изложено в томе 2 МТУ), служат три довольно простых равенства - нормировка 4-скорости пробного тела и два "закона сохранения":
По варианту (2) я пас. Если Вам нужен только он, то приношу извинения за вмешательство в вашу тему; постараюсь больше Вас не "доставать".