все формулы и рассуждения описывают общий случай. Просто случаю падения с нулевой скоростью из конечной точки соответствует
![$v_\infty^2<0$ $v_\infty^2<0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/0/8203899fb2f34a6e726e72a0f18aa10982.png)
.
Верно.
![$1/(1-v_{\infty}^2)=E^2.$ $1/(1-v_{\infty}^2)=E^2.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/3/8c3cb2de92e524f172e25592a8fe64dd82.png)
Сохраняющаяся на времениподобной геодезической величина
![$E=\mathbf{u}\cdot\mathbf{e}_t$ $E=\mathbf{u}\cdot\mathbf{e}_t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/2/082dae07d82353fff02b132e7acf668582.png)
имеет смысл энергии, делённой на массу
![$\mu$ $\mu$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/6/07617f9d8fe48b4a7b3f523d6730eef082.png)
(или на
![$\mu c^2,$ $\mu c^2,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/9/b7966579c59ad4639b4a46848ba99af782.png)
если писать
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
явно) свободно падающего пробного тела. Если
![$E\ge 1,$ $E\ge 1,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/c/bbcc678c7fad78fe2be165be8d88aabb82.png)
то тело может падать из бесконечности, и (если не проваливается под горизонт) может улететь на бесконечность; тогда
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
выражается через реальную скорость на бесконечности. При
![$E<1$ $E<1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/8/d182ce243f7c71d32eee1a25b047cb9b82.png)
это не так, но мы и не обязаны пользоваться параметром
![$v_{\infty}^2,$ $v_{\infty}^2,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/3/973ba9aac21beafc2836edb003fe98bb82.png)
в любом случае достаточно задавать
![$E.$ $E.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/2/4d25e0b0e43d440c7619891f54dba48f82.png)
То, что случай
![$E\ge 1$ $E\ge 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/f/bafbaf327ee343a17b711b8b32427a0082.png)
совсем не интересует ТС, я не заметил и выбрал для пояснения этот случай, чтобы смысл постоянной
![$\mathbf{u}\cdot\mathbf{e}_t$ $\mathbf{u}\cdot\mathbf{e}_t$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/c/7dcf3031dc826ef1d045e688111a57cb82.png)
был понятнее.
именно общий случай радиального падения рассматривается.
Не только радиального. Наряду с
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
сохраняется
![$(-\mathbf{u}\cdot\mathbf{e}_{\varphi})=L,$ $(-\mathbf{u}\cdot\mathbf{e}_{\varphi})=L,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/5/345c23379980414f870250664c41f6bb82.png)
это момент импульса, делённый на массу
![$\mu$ $\mu$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/6/07617f9d8fe48b4a7b3f523d6730eef082.png)
пробного тела (или на
![$\mu c,$ $\mu c,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/2/c52c5d9d2363a4b13c843356095b692982.png)
если пишем
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
явно, так что
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
имеет размерность длины). При
![$L\neq 0$ $L\neq 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/d/6ed91b84328709b263c919a6e81a261082.png)
движение не радиальное. В зависимости от заданных
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
и начального
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
возможны разные типы траекторий пробного тела (в том числе и без падения под горизонт).
Допустим, какой-то космонавт где-то кинул камень прочь от горизонта не строго радиально, а под углом. Камень удаляется от горизонта, долетает до некоторой "точки поворота"
![$r=r_1,$ $r=r_1,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/1/63184d1bd7b223359bbf0087e172e55d82.png)
в которой его радиальная скорость обращается в ноль (а угловая - не равна нулю), и затем прилетает в точку
![$r_0$ $r_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/b/1db75c795ab2c794f72bbe79b8113be182.png)
вблизи горизонта, где мы вычисляем его скорость
![$v=dl/d\tau_0$ $v=dl/d\tau_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/7/2e7336081662410dd970a82c7515f55b82.png)
в системе отсчёта наблюдателя, покоящегося в точке
![$r_0.$ $r_0.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/1/cc1aea9a09788feab9b02c9160f5e59382.png)
Длина пути
![$dl$ $dl$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/d/82dddac32719e90af0d84b7b3278f54882.png)
камня в окрестности точки наблюдения
![$r_0$ $r_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/b/1db75c795ab2c794f72bbe79b8113be182.png)
в случае c
![$L\neq 0$ $L\neq 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/d/6ed91b84328709b263c919a6e81a261082.png)
содержит вклад не только от радиальной координаты, но и от угловой. Интересный вопрос: как друг с другом соотносятся эти вклады в
![$v$ $v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4adbc36120d62b98deef2a20d5d30382.png)
(или в
![$v^2)$ $v^2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/2/dc2aa5a7e86409412da09a6f43408a5282.png)
при
![$r_0\to r_s?$ $r_0\to r_s?$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/5/6c50a65bd66fd8ceb5945fc23a61332382.png)
Приведённое выше вычисление показало, что
![$v^2\to 1.$ $v^2\to 1.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/0/4f0384c686bb4c0066117b1d853591e582.png)
И ещё можно показать, что при этом угловой вклад стремится к нулю. Т.е. даже при не радиальной траектории камень "воткнётся" в горизонт радиально.
lazarius![$\displaystyle \left(\frac{d\tau}{d\tau_0}\right)^2=g_{tt}$ $\displaystyle \left(\frac{d\tau}{d\tau_0}\right)^2=g_{tt}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/d/34d53a571e97141a123e6a9b39715d5782.png)
Производная равна ровно единице в точке где мы из состояния покоя отпускаем астронавта в его последнее путешествие. А
![$g_{tt}$ $g_{tt}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/a/acabcb118d7c84d076b1661568d7b3c882.png)
стремится к единице только на бесконечности.
Да, эта формула верна при
![$E=1,$ $E=1,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/a/28a189fa184a1d8704412468a037c38a82.png)
и условие
![$E=1$ $E=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/4/1a4fb486f854c2b4efad46a2f5ed93c682.png)
означает, что на бесконечности скорость пробного тела равна нулю. Все свои обозначения я пояснял: пробное тело проходит путь
![$dl$ $dl$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/d/82dddac32719e90af0d84b7b3278f54882.png)
(в окрестности точки
![$r_0,$ $r_0,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/f/55ff79404208da9a3d7eed4c92c238cd82.png)
в которой покоится наблюдатель) за время
![$d\tau$ $d\tau$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/2/ec2ba191a1429dc83dc48765bfc4831982.png)
по часам пробного тела и за время
![$d\tau_0$ $d\tau_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/7/da7791f6d0091a5af3cd9e93808f690982.png)
по часам этого наблюдателя;
![$g_{tt}=1-r_s/r_0$ $g_{tt}=1-r_s/r_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/b/d0bd969d8400c6541d25bca5ec7fb22482.png)
есть компонента метрического тензора в точке
![$r=r_0.$ $r=r_0.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/6/136f03238549eac1819ef994a2a6c3dd82.png)
Точку
![$r_0$ $r_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/b/1db75c795ab2c794f72bbe79b8113be182.png)
можно выбирать в любом месте над горизонтом, в том числе вблизи горизонта (такой предельный случай и был рассмотрен в моём сообщении).
Если Вы полагаете в этой формуле
![$r_0\to \infty,$ $r_0\to \infty,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/7/9b7601008cfa5b4f27d0d35ea0065a4d82.png)
то, разумеется, в такой далёкой точке
![$g_{tt}=1$ $g_{tt}=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/b/1ebbf291d9b17f5d86d57a047e5a0eb582.png)
и
![$d\tau=d\tau_0$ $d\tau=d\tau_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/9/6898356d4741d8f55ffc4a3f7df156b582.png)
-- часы пробного тела и наблюдателя там идут одинаково, так как они покоятся. Но если точка
![$r_0$ $r_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/b/1db75c795ab2c794f72bbe79b8113be182.png)
выбрана вблизи горизонта, то
![$g_{tt}\ll 1.$ $g_{tt}\ll 1.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/9/409d1731e93635102ea87316f405e82582.png)
Там
![$d\tau\ll d\tau_0,$ $d\tau\ll d\tau_0,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/f/30f61e858e57bec807532c0bd6bc016382.png)
потому что наблюдатель покоится, а пробное тело мчится к горизонту со скоростью уже близкой к скорости света, так что ход часов пробного тела выглядит замедленным. Указанная Вами формула об этом и говорит. Она верная.
Вы используете непривычную мне сигнатуру но даже я увидел что у вас в последнем члене знак не совпадает с тем что у меня в двух книжках с такой сигнатурой. Мы понимаем что последние два не имеют отношения к тому что мы обсуждаем и замнем этот вопрос.
Приведите, пожалуйста, точную цитату того места, в котором "знак не совпадает"; тогда смогу написать об исправлении. (У меня проблема со зрением, поэтому бывает много опечаток; в течение часа, доступного для редактирования, пытаюсь их исправить, но остаются и не замеченные. В данном случае после многократного редактирования уже не вижу ошибок в том своём сообщении.)
Вы используете факты (сохранение некоторых величин) которые мне неизвестны.
Различаю два варианта форумного обсуждения физической задачи:
1) ТС задаёт вопрос, чтобы разобраться в физике. Тогда участники отвечают в той форме, которая им более знакома (сами выбирают нужные детали - обозначения, сигнатуру метрики и т.п.) или/и которая им представляется более полезной в образовательном плане (сами выбирают, что и как рассказывать - методы решения задач, характер пояснений). А задающий вопросы ТС старается в ответы вникнуть, "мотает на ус" всё то, что оказывается для него новым.
Вариант 2) - это когда ТС просит "проверьте вот эти конкретные расчёты" или "прокомментируйте вот эту конкретную книгу". В этом варианте ему предстоит ждать добровольца, который возьмёт на себя труд проделать точно такие же расчёты, найти и прочитать указанную книгу и выдать оценку.
В варианте (1), т.е. если Вас интересует не только вопрос в вашем исходном сообщении о скорости радиального падения тел на горизонт в частном случае, обсуждение могло бы быть очень интересным - речь могла бы идти о всех возможных картинах движения пробных тел.
А именно, интересно вот что. Оказывается, вследствие высокой симметрии метрики Шварцшильда, здесь выполняются законы сохранения, аналогичные законам сохранения энергии и момента импульса в обычной ньютоновской механике при движении частицы в статическом сферически симметричном силовом поле. Как и в ньютоновской механике, из этих законов легко предвидеть характер траекторий пробных тел, не решая явно уравнения движения. (Там есть очень полезное понятие - "эффективный потенциал", зависящий от
![$r,L,$ $r,L,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/4/c543e579f70d3c5f90cbff004878acc682.png)
и здесь тоже легко прийти к аналогичному понятию, полезному для выяснения возможных типов траекторий свободных пробных тел.)
Одно из следствий закона сохранения момента импульса - двумерность траектории: любая траектория лежит в плоскости. Можно считать, что это экваториальная координатная плоскость:
![$\theta = \pi/2,$ $\theta = \pi/2,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/8/8a84b5de9bf255f7a8e03ef54758cb4382.png)
так что всё время
![$\sin \theta = 1$ $\sin \theta = 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/1/a111f70c18f2c90e33f8070c70a5050382.png)
и
![$d\theta=0.$ $d\theta=0.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/4/934e151f492609a72d4c6efe68caf69182.png)
При не радиальном движении переменной угловой координатой является только
![$\varphi,$ $\varphi,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/5/af591db0cc72854e30b79bfebdd1cec882.png)
с ней связана сохраняющаяся величина момента импульса
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
(на единицу массы пробного тела).
Можно показать, что если радиальная скорость обращается в ноль при конечном значении
![$r_1$ $r_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/3/14330ec69840636094d5efd1aaa8497c82.png)
радиальной координаты,
![$r_s<r=r_1<\infty ,$ $r_s<r=r_1<\infty ,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/f/cef01a284df3daff06fb1078d8dc005182.png)
то сохраняющаяся энергия
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
(на единицу массы пробного тела) даётся формулой
![$$E^2=\left(1-\frac{r_s}{r_1}\right)\left(1+\frac{L^2}{r_1^2}\right)\,.$$ $$E^2=\left(1-\frac{r_s}{r_1}\right)\left(1+\frac{L^2}{r_1^2}\right)\,.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/6/416291aa4d91eaf63958bbb69853a17b82.png)
Для искомой
![$v^2,$ $v^2,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/d/d2d5f08c5e9921ad77a127244813c76282.png)
как уже говорилось, верна формула
![$$v^2=1-g_{tt}\,\frac{1}{E^2}\,,$$ $$v^2=1-g_{tt}\,\frac{1}{E^2}\,,$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/1/301d7c364aac29fe1cb1bc44b35856e682.png)
то есть
![$$v^2=1-\frac{1-r_s/r_0}{1-r_s/r_1}\, \left(1+\frac{L^2}{r_1^2}\right)^{-1}\,,$$ $$v^2=1-\frac{1-r_s/r_0}{1-r_s/r_1}\, \left(1+\frac{L^2}{r_1^2}\right)^{-1}\,,$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/9/2c961b90c7e80099857e8040cd18a31282.png)
где, напомню,
![$r_0$ $r_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/b/1db75c795ab2c794f72bbe79b8113be182.png)
-- точка вблизи горизонта, в которой вычислен квадрат скорости пробного тела,
![$r_1$ $r_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/3/14330ec69840636094d5efd1aaa8497c82.png)
-- точка, из которой тело начинает движение к горизонту с нулевой радиальной скоростью.
Если, следуя такой нумерации точек, ввести обозначения
и рассматривать только частный случай - радиальное движение, т.е. положить
![$L=0,$ $L=0,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/a/eba6d67b413047f02ea19482f6bb372882.png)
- то приведённый мной результат запишется в виде
![$v^2=1-e^{2(\Phi_0-\Phi_1)}$ $v^2=1-e^{2(\Phi_0-\Phi_1)}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/7/4276ed108702d568cb51d2bda94aab0682.png)
Такой же результат и у Вас, отличие лишь в обозначениях: у Вас обозначено как
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
и
![$\Phi$ $\Phi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/1/5e16cba094787c1a10e568c61c63a5fe82.png)
то, что у меня здесь
![$r_0$ $r_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/b/1db75c795ab2c794f72bbe79b8113be182.png)
и
![$\Phi_0,$ $\Phi_0,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/3/8e3f9a7da898222dbb850af62f5505e882.png)
а с индексом "0" у Вас обозначено то, что у меня с индексом "1".
Основой рассмотрения (о котором я попытался рассказать, оно подробно изложено в томе 2 МТУ), служат три довольно простых равенства - нормировка 4-скорости пробного тела и два "закона сохранения":
![$\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=1$ $\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/0/bd03d0498ab9f71e31e863a8c15ca05582.png)
![$\mathbf{u}\cdot\mathbf{e}_t=E$ $\mathbf{u}\cdot\mathbf{e}_t=E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/c/0bc464b9e06c09b561ed8ccd2cd2a71482.png)
![$\mathbf{u}\cdot\mathbf{e}_{\varphi}=-L$ $\mathbf{u}\cdot\mathbf{e}_{\varphi}=-L$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/5/8a59453ef04f7162c9892b066b588bd082.png)
По варианту (2) я пас. Если Вам нужен только он, то приношу извинения за вмешательство в вашу тему; постараюсь больше Вас не "доставать".