2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 15, 16, 17, 18, 19
 
 Re: Звание "царицы наук"
Сообщение07.06.2024, 22:08 


22/10/20
1194
mihaild в сообщении #1641768 писал(а):
Нет, не знаю. Не было такого ни в курсе линала, ни в курсе функана, извините. Где посмотреть определения и примеры теорем с использованием этих понятий?
В первом случае они изоморфны просто потому что они одной размерности. Никакого канонического (= выделенного = не зависящего от базиса) изоморфизма между ними нету. А во втором случае есть (самый обычный, который Вы точно знаете, где вектор $w$ переходит в функционал $W \in V^{**}$ такой, что $W(f) = f(w)$ для любого $f$ из $V^{*}$). В первом случае они просто изоморфны, а во втором случае они естественно изоморфны. Строгое определение - это естественность из теорката, но по сути тут и без неё все понятно. Отсюда и названия акцидентальный (случайный, ситуативный) для первого случая и субстанциальный (существенный, "базированный") для второго.

(Оффтоп)

Извините, что отвечаю односложно и не сразу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Звание "царицы наук"
Сообщение08.06.2024, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9143
Цюрих
EminentVictorians в сообщении #1641790 писал(а):
Строгое определение - это естественность из теорката
Естественность из теорката полезна (возможна, я плохо знаю теоркат, и у меня все еще создается впечатление что в основном он занимается сложной формулировкой известных результатов, пряча всю настояющую работу за доказательством того, что нужные объекты правда имеют нужное категориальное описание), но не требует непонятных "ситуативных" и "существенных" случаев.

 Профиль  
                  
 
 Re: Звание "царицы наук"
Сообщение08.06.2024, 01:14 


22/10/20
1194
mihaild в сообщении #1641796 писал(а):
Естественность из теорката полезна
Я тоже так считаю. Но это хорошо говорить, когда она придумана и вокруг неё построена теория. А если бы её не было?

Я просто прикидываю, как бы я, не зная про естественность, относился к изоморфным объектам. Раз $A$ и $B$ изоморфны, то интуитивно кажется, что всё, конец. Как будто доказали последний итоговый факт, который говорит, что $A$ и $B$ по сути неотличимы и с точки зрения алгебры как будто дальше ничего интересного нету. Но это ведь не так. Мне бы и в голову не пришло, что можно усилить понятие изоморфизма, причем не просто как-то искусственно, а очень даже содержательно.

mihaild в сообщении #1641796 писал(а):
но не требует непонятных "ситуативных" и "существенных" случаев.
Так это не математические понятия, а философские. Я понимаю, тут напрашивается вопрос - зачем они нужны. Идея в том, что эти изоморфизмы - это иллюстрация философской концепции на примере математических объектов. По сути, это в каком-то смысле "представление математики философией". Казалось бы, что к математике это никакого отношения не имеет и никак с ней не связано. Но мне так не кажется. Я считаю, что математика - это больше, чем определения, теоремы и доказательства. На мой взгляд, математика глубоко психологична, в том смысле, что выбор определений и теорем далеко не случайный, а сильно завязан на человеческую психологию. Поэтому, разные аналогии, мнемоники, метафоры - это всё такая же часть математики, как теоремы и доказательства.

В общем, если говорить простым языком. Представим, что теории категорий нету. Человек смотрит на векторное пространство, его первое сопряженное и второе сопряженное. Видит, что они все изоморфны. Но что-то свербит в глубине головы, что изоморфны они по-разному. Но это же бред какой-то, как это можно быть изоморфными по-разному. И как раз в такой психологической (а не математической) ситуации подключается философия и говорит: ̶к̶о̶г̶о̶м̶о̶л̶о̶г̶и̶и̶ ̶н̶у̶л̶е̶в̶ы̶е̶ "ищи субстанциальность, а не акцидентальность." А потом, если повезет, рождается строгое определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Звание "царицы наук"
Сообщение08.06.2024, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9143
Цюрих
EminentVictorians в сообщении #1641797 писал(а):
Раз $A$ и $B$ изоморфны, то интуитивно кажется, что всё, конец. Как будто доказали последний итоговый факт, который говорит, что $A$ и $B$ по сути неотличимы и с точки зрения алгебры как будто дальше ничего интересного нету
Так ведь и нету же. Про $V^*$ само по себе ничего интересного сказать нельзя, чего нельзя сказать про $V$.
Интересно, когда $V^*$ рассматривается вместе с $V$.
EminentVictorians в сообщении #1641797 писал(а):
Но что-то свербит в глубине головы, что изоморфны они по-разному.
Канонический изоморфизм (каноничность - это просто название) со вторым сопряженным - есть, и про него есть всякие интересные теоремы.
Про изоморфизмы просто с сопряженным никаких интересных теорем нет. Но это не математическое утверждение. И не особо нужное.
EminentVictorians в сообщении #1641797 писал(а):
подключается философия и говорит
По-моему, раньше подключается функциональный анализ, который слегка меняет понятие сопряженного и дает содержательный результат, что пространство изоморфно подпростанству второго сопряженного, а вот первого - не обязательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Звание "царицы наук"
Сообщение08.06.2024, 12:38 


22/10/20
1194
mihaild в сообщении #1641799 писал(а):
Так ведь и нету же.
Ну не знаю, я бы ни за что не догадался, что можно содержательно усилить понятие изоморфизма. Для меня это очень контринтуитивная мысль.

Могу еще такой пример привести. Пусть есть 2 каких-то алгебры $A$ и $B$, причем они изоморфны: $A \cong B$. Часто ведь говорят, что, мол, конкретная реализация неважна. Но если начать руками копать сами конструкции этих алгебр $A$ и $B$, то может оказаться, что это не просто алгебры, а групповые алгебры $R(X) \cong R(Y)$, где $X$ и $Y$ - группы. Т.е. эту информацию мы получили не из класса изоморфизма этих алгебр, а непосредственно из самих их конструкций. Далее можно задаться вопросом: раз $R(X) \cong R(Y)$, следует ли из этого, что $X \cong Y$. Оказывается, что в общем случае нет. Разумно спросить, когда да. И оказывается, что если немного обогатить $R(X)$ и $R(Y)$ до биалгебр (т.е. добавить копроизведение, коединицу, кообращение), то $R(X)$ и $R(Y)$ превратятся в алгебры Хопфа, и теперь уже из их изоморфизма как алгебр Хопфа будет следовать изоморфизм подлежащих групп $X$ и $Y$. По сути, здесь пример целой ветки, которая была бы проигнорирована, если бы мы рассуждали в стиле "конкретная реализация неважна". Важна, оказывается.

-- 08.06.2024, 12:42 --

mihaild в сообщении #1641799 писал(а):
Канонический изоморфизм (каноничность - это просто название) со вторым сопряженным - есть, и про него есть всякие интересные теоремы.
Про изоморфизмы просто с сопряженным никаких интересных теорем нет.
И оказывается, что это не просто так вышло, а есть конкретная причина почему это так. По-моему, очень интересно разобраться в такой причине.

 Профиль  
                  
 
 Re: Звание "царицы наук"
Сообщение08.06.2024, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9143
Цюрих
EminentVictorians в сообщении #1641820 писал(а):
Ну не знаю, я бы ни за что не догадался, что можно содержательно усилить понятие изоморфизма
Нельзя. Просто мы рассматриваем другие структуры. Как и в Вашем примере с алгебрами Хопфа. Конкретная реализация все еще неважна, важен набор операций.
Когда мы говорим о сопряженном пространстве, мы обычно говорим по сути о структуре $(V, V^*)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 276 ]  На страницу Пред.  1 ... 15, 16, 17, 18, 19

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group