Естественность из теорката полезна
Я тоже так считаю. Но это хорошо говорить, когда она придумана и вокруг неё построена теория. А если бы её не было?
Я просто прикидываю, как бы я, не зная про естественность, относился к изоморфным объектам. Раз
и
изоморфны, то интуитивно кажется, что всё, конец. Как будто доказали последний итоговый факт, который говорит, что
и
по сути неотличимы и с точки зрения алгебры как будто дальше ничего интересного нету. Но это ведь не так. Мне бы и в голову не пришло, что можно усилить понятие изоморфизма, причем не просто как-то искусственно, а очень даже содержательно.
но не требует непонятных "ситуативных" и "существенных" случаев.
Так это не математические понятия, а философские. Я понимаю, тут напрашивается вопрос - зачем они нужны. Идея в том, что эти изоморфизмы - это иллюстрация философской концепции на примере математических объектов. По сути, это в каком-то смысле "представление математики философией". Казалось бы, что к математике это никакого отношения не имеет и никак с ней не связано. Но мне так не кажется. Я считаю, что математика - это больше, чем определения, теоремы и доказательства. На мой взгляд, математика глубоко психологична, в том смысле, что выбор определений и теорем далеко не случайный, а сильно завязан на человеческую психологию. Поэтому, разные аналогии, мнемоники, метафоры - это всё такая же часть математики, как теоремы и доказательства.
В общем, если говорить простым языком. Представим, что теории категорий нету. Человек смотрит на векторное пространство, его первое сопряженное и второе сопряженное. Видит, что они все изоморфны. Но что-то свербит в глубине головы, что изоморфны они по-разному. Но это же бред какой-то, как это можно быть изоморфными по-разному. И как раз в такой психологической (а не математической) ситуации подключается философия и говорит:
̶к̶о̶г̶о̶м̶о̶л̶о̶г̶и̶и̶ ̶н̶у̶л̶е̶в̶ы̶е̶ "ищи субстанциальность, а не акцидентальность." А потом, если повезет, рождается строгое определение.