Звание "царицы наук"

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1641768 писал(а):

Нет, не знаю. Не было такого ни в курсе линала, ни в курсе функана, извините. Где посмотреть определения и примеры теорем с использованием этих понятий?

В первом случае они изоморфны просто потому что они одной размерности. Никакого канонического (= выделенного = не зависящего от базиса) изоморфизма между ними нету. А во втором случае есть (самый обычный, который Вы точно знаете, где вектор $w$ переходит в функционал $W \in V^{**}$ такой, что $W(f) = f(w)$ для любого $f$ из $V^{*}$). В первом случае они просто изоморфны, а во втором случае они естественно изоморфны. Строгое определение - это естественность из теорката, но по сути тут и без неё все понятно. Отсюда и названия акцидентальный (случайный, ситуативный) для первого случая и субстанциальный (существенный, "базированный") для второго.

(Оффтоп)

Извините, что отвечаю односложно и не сразу.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1641790 писал(а):

Строгое определение - это естественность из теорката

Естественность из теорката полезна (возможна, я плохо знаю теоркат, и у меня все еще создается впечатление что в основном он занимается сложной формулировкой известных результатов, пряча всю настояющую работу за доказательством того, что нужные объекты правда имеют нужное категориальное описание), но не требует непонятных "ситуативных" и "существенных" случаев.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1641796 писал(а):

Естественность из теорката полезна

Я тоже так считаю. Но это хорошо говорить, когда она придумана и вокруг неё построена теория. А если бы её не было?

Я просто прикидываю, как бы я, не зная про естественность, относился к изоморфным объектам. Раз $A$ и $B$ изоморфны, то интуитивно кажется, что всё, конец. Как будто доказали последний итоговый факт, который говорит, что $A$ и $B$ по сути неотличимы и с точки зрения алгебры как будто дальше ничего интересного нету. Но это ведь не так. Мне бы и в голову не пришло, что можно усилить понятие изоморфизма, причем не просто как-то искусственно, а очень даже содержательно.

mihaild в сообщении #1641796 писал(а):

но не требует непонятных "ситуативных" и "существенных" случаев.

Так это не математические понятия, а философские. Я понимаю, тут напрашивается вопрос - зачем они нужны. Идея в том, что эти изоморфизмы - это иллюстрация философской концепции на примере математических объектов. По сути, это в каком-то смысле "представление математики философией". Казалось бы, что к математике это никакого отношения не имеет и никак с ней не связано. Но мне так не кажется. Я считаю, что математика - это больше, чем определения, теоремы и доказательства. На мой взгляд, математика глубоко психологична, в том смысле, что выбор определений и теорем далеко не случайный, а сильно завязан на человеческую психологию. Поэтому, разные аналогии, мнемоники, метафоры - это всё такая же часть математики, как теоремы и доказательства.

В общем, если говорить простым языком. Представим, что теории категорий нету. Человек смотрит на векторное пространство, его первое сопряженное и второе сопряженное. Видит, что они все изоморфны. Но что-то свербит в глубине головы, что изоморфны они по-разному. Но это же бред какой-то, как это можно быть изоморфными по-разному. И как раз в такой психологической (а не математической) ситуации подключается философия и говорит: ̶к̶о̶г̶о̶м̶о̶л̶о̶г̶и̶и̶ ̶н̶у̶л̶е̶в̶ы̶е̶ "ищи субстанциальность, а не акцидентальность." А потом, если повезет, рождается строгое определение.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1641797 писал(а):

Раз $A$ и $B$ изоморфны, то интуитивно кажется, что всё, конец. Как будто доказали последний итоговый факт, который говорит, что $A$ и $B$ по сути неотличимы и с точки зрения алгебры как будто дальше ничего интересного нету

Так ведь и нету же. Про $V^*$ само по себе ничего интересного сказать нельзя, чего нельзя сказать про $V$.
Интересно, когда $V^*$ рассматривается вместе с $V$.

EminentVictorians в сообщении #1641797 писал(а):

Но что-то свербит в глубине головы, что изоморфны они по-разному.

Канонический изоморфизм (каноничность - это просто название) со вторым сопряженным - есть, и про него есть всякие интересные теоремы.
Про изоморфизмы просто с сопряженным никаких интересных теорем нет. Но это не математическое утверждение. И не особо нужное.

EminentVictorians в сообщении #1641797 писал(а):

подключается философия и говорит

По-моему, раньше подключается функциональный анализ, который слегка меняет понятие сопряженного и дает содержательный результат, что пространство изоморфно подпростанству второго сопряженного, а вот первого - не обязательно.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1641799 писал(а):

Так ведь и нету же.

Ну не знаю, я бы ни за что не догадался, что можно содержательно усилить понятие изоморфизма. Для меня это очень контринтуитивная мысль.

Могу еще такой пример привести. Пусть есть 2 каких-то алгебры $A$ и $B$, причем они изоморфны: $A \cong B$. Часто ведь говорят, что, мол, конкретная реализация неважна. Но если начать руками копать сами конструкции этих алгебр $A$ и $B$, то может оказаться, что это не просто алгебры, а групповые алгебры $R(X) \cong R(Y)$, где $X$ и $Y$ - группы. Т.е. эту информацию мы получили не из класса изоморфизма этих алгебр, а непосредственно из самих их конструкций. Далее можно задаться вопросом: раз $R(X) \cong R(Y)$, следует ли из этого, что $X \cong Y$. Оказывается, что в общем случае нет. Разумно спросить, когда да. И оказывается, что если немного обогатить $R(X)$ и $R(Y)$ до биалгебр (т.е. добавить копроизведение, коединицу, кообращение), то $R(X)$ и $R(Y)$ превратятся в алгебры Хопфа, и теперь уже из их изоморфизма как алгебр Хопфа будет следовать изоморфизм подлежащих групп $X$ и $Y$. По сути, здесь пример целой ветки, которая была бы проигнорирована, если бы мы рассуждали в стиле "конкретная реализация неважна". Важна, оказывается.

-- 08.06.2024, 12:42 --

mihaild в сообщении #1641799 писал(а):

Канонический изоморфизм (каноничность - это просто название) со вторым сопряженным - есть, и про него есть всякие интересные теоремы.
Про изоморфизмы просто с сопряженным никаких интересных теорем нет.

И оказывается, что это не просто так вышло, а есть конкретная причина почему это так. По-моему, очень интересно разобраться в такой причине.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1641820 писал(а):

Ну не знаю, я бы ни за что не догадался, что можно содержательно усилить понятие изоморфизма

Нельзя. Просто мы рассматриваем другие структуры. Как и в Вашем примере с алгебрами Хопфа. Конкретная реализация все еще неважна, важен набор операций.
Когда мы говорим о сопряженном пространстве, мы обычно говорим по сути о структуре $(V, V^*)$.