Определение группы.

[tolstopuz]

gefest_md в сообщении #1640713 писал(а):

Я принял на веру определение из учебника Liret, Martinais, Algèbre, 1re année. Начинается так: Говорят, что $G$ группа...

Что интересно, определение векторного пространства (стр. 99) у них нормальное - множество, снабженное двумя операциями:

Цитата:

Un $K$-espace vectoriel, ou un espace vectoriel sur $K$, est un ensemble non vide $E$ dont les éléments s'appellent des vecteurs et qui est muni de deux opérations

В общем, книга неграмотная, и во избежание путаницы не применяйте факт существования этой книги в своих дальнейших рассуждениях :)

[мат-ламер]

gefest_md в сообщении #1640718 писал(а):

Пусть $G$ непустое множество. Говорят, что $G$ группа если существует операция на $G$, обозначенная *, имеющая следующие свойства:...

Не нравится мне всё это. Я бы примерно так написал: "Множество вместе с бинарной операцией на нём называется группой, если ...". И тут без разницы, существует ли множество или конкретно задано. Существует ли операция или конкретно задана.

[gefest_md]

В книге Balac, Sturm, Algèbre et analyse, том I, на стр. 63, после определения группы есть такое предложение:

Цитата:

Par abus de langage, on dit souvent “le groupe $G$” au lieu de “le groupe $(G,\top)$” lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur la loi $\top.$

Допуская вольность речи, часто говорят «группа $G$» вместо «группа $(G,\top)$», когда нет двусмысленности в законе $\top.$

[gefest_md]

tolstopuz в сообщении #1640722 писал(а):

В общем, книга неграмотная, и во избежание путаницы не применяйте факт существования этой книги в своих дальнейших рассуждениях :)

Когда кто-то впервые читает определение группы, запись группы в виде упорядоченной пары может казаться ему непривычной, если он ещё не знает, что упорядоченная пара это тоже множество. Мне кажется авторы учебника учитывают эту возможность и также не хотели давать введение в теорию множеств. А в учебнике Balac, Sturm перед определением группы такое введение даётся.

-- Чт май 30, 2024 17:06:12 --

Все-таки у Balac, Sturm тоже не сказано, что упорядоченная пара это множество. Тогда упущение, сказал бы, у них.

[tolstopuz]

gefest_md в сообщении #1640756 писал(а):

Когда кто-то впервые читает определение группы, запись группы в виде упорядоченной пары может казаться ему непривычной, если он ещё не знает, что упорядоченная пара это тоже множество.

Что вы имеете в виду под словами "упорядоченная пара это тоже множество"? Определение упорядоченной пары по Куратовскому ($(a,b)=\{a,\{a,b\}\}$), Хаусдорфу ($(a,b)=\{\{a,1\},\{b,2\}\}$), Винеру ($(a,b)=\{\{\{a\},\emptyset\},\{\{b\}\}\}$) или вообще что-то свое? Лично мне не кажется, что любое из этих определений как-то облегчит жизнь новичку при изучении понятия группы, скорее, наоборот, запутает.

[gefest_md]

tolstopuz в сообщении #1640760 писал(а):

Что вы имеете в виду под словами "упорядоченная пара это тоже множество"?

То, что упорядоченная пара это не новое, вдруг появившееся, понятие, к которому тоже нужно привыкнуть. Привыкнуть к нему оказалось бы сложнее, раз выясняется, что упорядоченная пара определимо через понятие множества.

[dgwuqtj]

tolstopuz в сообщении #1640760 писал(а):

по Куратовскому ($(a,b)=\{a,\{a,b\}\}$)

Всё-таки по Куратовскому $(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}$, так ещё и удобнее.

[tolstopuz]

dgwuqtj в сообщении #1640764 писал(а):

Всё-таки по Куратовскому $(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}$, так ещё и удобнее.

Да, конечно, опечатка.

-- Чт май 30, 2024 19:53:30 --

gefest_md в сообщении #1640762 писал(а):

То, что упорядоченная пара это не новое, вдруг появившееся, понятие, к которому тоже нужно привыкнуть. Привыкнуть к нему оказалось бы сложнее, раз выясняется, что упорядоченная пара определимо через понятие множества.

У студентов обычно параллельно с алгеброй идет какой-нибудь питон или плюсы, большинство со школы знает хотя бы паскаль. В питоне есть кортежи, в паскале записи, в сях структуры, массивы вообще везде. Упорядоченная пара отлично ложится на это знание. А понимать новичку упорядоченную пару как $(A,+)=\{\{A\},\{A,+\}\}$ (не забывая, что $+: A\times A\to A$, а функция из $A\times A$ в $A$ - это удовлетворяющее определенным условиям подмножество декартова произведения $(A\times A)\times A$, а декартово произведение $(A\times A)\times A$ - это множество упорядоченных пар элементов из $A\times A$ и элементов из $A$, а упорядоченная пара - это см. выше, а $A\times A$ - это множество упорядоченных пар элементов из $A$, а упорядоченная пара - это см. выше) - это примерно как заставлять его копаться в исходниках питона и смотреть, как именно там реализованы кортежи.

[Anton_Peplov]

С понятием упорядоченной пары школьники знакомятся через декартовы координаты на плоскости, когда их приучают, что первое число в скобках - абсцисса, второе - ордината. К моменту поступления в вуз это понятие не должно вызывать никаких затруднений. А вот определение упорядоченной пары по Куратовскому, Винеру и прочим - это практически никому не нужная эзотерика. Как справедливо заметил уважаемый tolstopuz, она только запутает новичка.

[gefest_md]

Всё-таки элементы пары $(G, \circ)$ происходят из разнородных множеств. В школе скорее изучаются числовые упорядоченные $n$-ки. Поэтому объединяющее слово «множество» на каком-то этапе обучения кажется не будет лишним.

[tolstopuz]

gefest_md в сообщении #1640773 писал(а):

Поэтому объединяющее слово «множество» на каком-то этапе обучения кажется не будет лишним.

То есть на первой лекции по алгебре объяснение должно выглядеть примерно так:

Группа - это множество, состоящее из множества элементов группы и закона композиции. Элементы множества неупорядочены (если вы забудете это, вам поставят неуд по теории множеств), но мы как-то умеем вытаскивать из этого множества отдельно множество элементов группы и отдельно закон композиции, как именно, мы не расскажем, чтобы вас не путать, но запомните, что группа - это все-таки множество, так вам будет понятнее, мы гарантируем это.

-- Чт май 30, 2024 22:30:46 --

Кстати, о том, что число - это тоже множество, на каком этапе обучения лучше говорить? А о том, что функция - это тоже множество?

И вообще при таком подходе нет никаких "разнородных множеств", в теории множеств без атомов все множества строятся в виде непомеченных деревьев.

И что делать, если какой-то пытливый студент задаст вопрос: "Вы говорите, что группа - это множество. Возьмем, например, группу из одного элемента. Что это за множество?"

[gefest_md]

tolstopuz в сообщении #1640790 писал(а):

Группа - это множество, состоящее из множества элементов группы и закона композиции. Элементы множества неупорядочены (если вы забудете это, вам поставят неуд по теории множеств), но мы как-то умеем вытаскивать из этого множества отдельно множество элементов группы и отдельно закон композиции, как именно, мы не расскажем, чтобы вас не путать, но запомните, что группа - это все-таки множество, так вам будет понятнее, мы гарантируем это.

Можно и так. Пусть хотя бы один раз увидели «$(x,y)$ это $\{\,\{x\},\{x,y\}\,\}$».

tolstopuz в сообщении #1640790 писал(а):

Кстати, о том, что число - это тоже множество, на каком этапе обучения лучше говорить? А о том, что функция - это тоже множество?

Если учителя знают, пусть рассказывают когда они посчитают нужным. Моя учительница математики как-то упомянула среди прочего об отрицании аксиомы о параллельных. Я это до сих пор благодарно вспоминаю.

[dgwuqtj]

А ещё можно строить математику не в чистой теории множеств, а с атомами, упорядоченными парами, кортежами, встроенными натуральными числами и т.д. Там пары могут и не быть множествами.

[Vasily2024]

Mikhail_K в сообщении #1640692 писал(а):

Нет, непонятна. Для меня тут нет никакого внятного вопроса. А вот из какого источника Вы это всё взяли - пожалуйста, напишите. Скорее всего, Вам после этого просто порекомендуют почитать другую книжку.

Определение гомоморфизма однотипных алгебраических систем из книги «Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика. – 2021.»

-- 31.05.2024, 04:58 --

Mikhail_K в сообщении #1640692 писал(а):

Если мы говорим про группу $(A,+)$, то для каждой пары элементов $a,b\in A$ однозначно определена их сумма $a+b$. При этом неважно, есть ли у нас формула или алгоритм для нахождения $a+b$ или нет. Не нужна никакая классификация групп на "абстрактные" и "конкретные".

Тогда можно говорить про две алгебраические системы $(A, +)$ - группа, в которой алгоритм для нахождения суммы элементов не определен.
И про алгебраическую систему $(B, +)$ - группа, в которой алгоритм для нахождения суммы элементов задан.
Это две алгебраические системы разного типа?

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1640816 писал(а):

И про алгебраическую систему $(B, +)$ - группа, в которой алгоритм для нахождения суммы элементов задан.
Это две алгебраические системы разного типа?

В определении алгебраической системы есть что-то про алгоритм?

Вы все время пытаетесь сказать абсурдную фразу типа «самурай с мечом, у которого нет меча».