Определение группы.

[iifat]

Vasily2024 в сообщении #1640936 писал(а):

Пусть $R$ – группа действительных чисел, для которых определен способ суммирования. А в группе $G$ – способ суммирования неизвестен. В настоящее время алгебраисты считают, что это различие не является существенным

Скажем так: теория групп изучает аспекты алгебры, в которых это различие является несущественным. Кстати говоря, как вам уже сказали, способ суммирования действительных чисел — он не вполне определён. То бишь, конечно же, определён, но все определения имеют дело с бесконечными множествами, так что алгоритмы, вообще говоря, никогда не заканчиваются.

[gefest_md]

Vasily2024 в сообщении #1640190 писал(а):

3) в A существует такой элемент $0$ (нуль), что определена сумма $a + 0 = a$;
4) для любого элемента $a$ существует такой элемент $ - a$ (противоположный элемент), так что определена сумма


$a+(-a) = 0$.

Авторы не пишут в своих учебниках «определена» в этих местах. Вейль тоже.

[Vasily2024]

tolstopuz в сообщении #1640962 писал(а):

А у вас не пример, там какая-то непонятная буква $f$, смысл которой вы не пояснили.

Буква f означает, что задано бинарное отношение между двумя множествами.
Функцию (отношение) можно задать разными способами.
Можно считать, что функция задана, не указывая конкретный способ (алгоритм).
Например, в теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на отрезке, ничего не говорится о том, каким именно способом задана функция.

-- 02.06.2024, 05:33 --

gefest_md в сообщении #1640967 писал(а):

Авторы не пишут в своих учебниках «определена» в этих местах. Вейль тоже.

Да это так. Я уже отказался от идеи конкретной группы.

[gefest_md]

Vasily2024 в сообщении #1641003 писал(а):

Например, в теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на отрезке, ничего не говорится о том, каким именно способом задана функция.

Я понимаю теорему Вейерштрасса об ограниченности так: любая функция непрерывная на отрезке, ограничена на нём. Пишу «любая», потому что понимаю под функцией - математический объект, но не

Vasily2024 в сообщении #1641003 писал(а):

Буква f означает, что задано бинарное отношение между двумя множествами.

В учебниках авторы обычно включают вводные главы про логику и множества, чтобы сообщить читателю как надо. За счёт этого в остальных главах могут что-то пропустить.

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1641003 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1640962 писал(а):

А у вас не пример, там какая-то непонятная буква $f$, смысл которой вы не пояснили.

Буква f означает, что задано бинарное отношение между двумя множествами.
Функцию (отношение) можно задать разными способами.
Можно считать, что функция задана, не указывая конкретный способ (алгоритм).
Например, в теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на отрезке, ничего не говорится о том, каким именно способом задана функция.

Вы опять все перепутали.

Теорема Вейерштрасса имеет вид: для любой непрерывной функции $f$ на отрезке $[a,b]$ выполняется некоторое свойство. Там вообще не задается функция, она дается на вход теоремы. Задает функцию тот, кто эту теорему использует.

Теорема "у каждого радужного единорога есть зеленая полоска" ничего не говорит о существовании радужных единорогов, возможно, их вообще не существует.

У вас совсем другой случай - от вас требуется привести пример хотя бы одного объекта, удовлетворяющего вашему определению "группа, у которой не задана операция". В аналогичных случаях математики явно строят пример. Неважно, каким именно способом, конструктивным или нет, но его существование должно быть предъявлено, чтобы показать, что определение не относится к классу радужных единорогов.

Например, Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке. Витали построил пример неизмеримого подмножества числовой прямой. Никаких неопределенных букв $f$ у них нет. Вот и покажите нам хотя бы одну группу с неопределенной операцией, в существовании которой вы нас так упорно убеждаете.

[Vasily2024]

tolstopuz в сообщении #1641065 писал(а):

Вот и покажите нам хотя бы одну группу с неопределенной операцией, в существовании которой вы нас так упорно убеждаете.

Все наоборот. Операция в любой группе задана. Иначе это не группа. Но способ задания операции в группе может быть не указан.

Определение группы есть в любом учебнике. В определении группы способ задания операции не указан.

"Любая функция" в теореме Вейрштрасса - это функция которая задана и для которой не указан способ (алгоритм) нахождения значений функции.

tolstopuz в сообщении #1641065 писал(а):

Задает функцию тот, кто эту теорему использует.

Тот кто использует теорему задает не функцию (функция уже задана), а указывает способ (алгоритм) нахождения значений функции.

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1640949 писал(а):

Должна ли группа задаваться конкретным множество и операцией - нет не должна.

Vasily2024 в сообщении #1641188 писал(а):

Операция в любой группе задана. Иначе это не группа.

Вы уж определитесь. Совсем запутались.

Vasily2024 в сообщении #1641188 писал(а):

"Любая функция" в теореме Вейрштрасса - это функция которая задана и для которой не указан способ (алгоритм) нахождения значений функции.

Математика таких функций не знает. Если функция задана, то у нее есть ровно одно значение в каждой точке области определения. А буковка $f$ в формулировке и доказательстве теоремы - это так называемая свободная или немая переменная, вместо которой при использовании теоремы подставляется настоящая функция.

Vasily2024 в сообщении #1641188 писал(а):

Тот кто использует теорему задает не функцию (функция уже задана), а указывает способ (алгоритм) нахождения значений функции.

Петя применяет теорему Вейерштрасса на отрезке $[0,1]$ для функции $f(x)=x$, Маша для функции $g(x)=\sin x$, а Вовочка - для функции Ламберта. Они задают три разные функции. А без Пети, Маши или Вовочки функция не задана.