какой элемент получается при применении операции сложения
![$a + b =?$ $a + b =?$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/6/a5678c57e53c10cbe712b8e807787d2282.png)
.
В каждой группе - по-своему.
У нас может даже не быть никакого алгоритма для нахождения
![$a+b$ $a+b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/b/f6b7e0cb55b5449abf64c8aa5f82b5d782.png)
.
Важно, что если мы работаем с группой (и если обозначаем групповую операцию знаком "+"), то мы предполагаем, что для любых
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
их сумма точно определена. Неважно при этом, можем ли мы её реально найти и выписать.
Кроме того, мы можем просто работать с произвольной группой. Тогда мы понимаем, что для разных групп
![$a+b$ $a+b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/b/f6b7e0cb55b5449abf64c8aa5f82b5d782.png)
означает разное, и нам не важно, чему конкретно равно
![$a+b$ $a+b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/b/f6b7e0cb55b5449abf64c8aa5f82b5d782.png)
. Наши рассуждения тогда годятся сразу для многих разных групп, сразу для многих разных правил определения
![$a+b$ $a+b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/b/f6b7e0cb55b5449abf64c8aa5f82b5d782.png)
. Но
![$a+b$ $a+b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/b/f6b7e0cb55b5449abf64c8aa5f82b5d782.png)
всё равно точно определено для любых элементов
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
в каждой группе, иначе и группы нет.
Вся эта муть с "конкретными" и "абстрактными" группами, с "неопределяемыми понятиями" относится к устаревшей парадигме, устаревшему способу математического мышления. Но я понимаю, что при определённом способе мышления эти понятия кажутся естественными и необходимыми, и перестроить мышление может быть сложно. Скорее, тогда просто с опытом придёт понимание, что эти понятия нигде не нужны и только всё запутывают.
-- 28.05.2024, 20:07 --Там, где Вы говорите про "абстрактную группу" с "неопределяемой операцией", современные математики говорят просто про произвольную группу.
Точно так же, как мы можем произвольное число обозначить через
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и совершать с ним разные арифметические выкладки, не интересуясь, чему это
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
равно. При этом нам не нужно делить числа на "конкретные" и "абстрактные".
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
- это самое обычное число, просто мы не знаем, чему оно равно.
Работая с произвольной группой, мы предполагаем, что там есть точно определённая групповая операция, просто нам может быть неважно, какая именно.
-- 28.05.2024, 20:19 --Или ещё в принципе можно рассматривать теорию групп как формальную аксиоматическую теорию, а разные конкретные группы - как модели этой теории. Это получается что-то похожее на "абстрактную группу и конкретные группы". Но такой подход вовсе не обязателен.