Определение группы.

[пианист]

(Оффтоп)

[iifat]

Vasily2024 в сообщении #1640600 писал(а):

в группе $(A, +)$ нет отношений, которые есть в группе $(R, +)$

В группе $(R, +)$ нет никаких отношений. Так же как в системе $(R, <)$ не определена операция сложения.

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1640600 писал(а):

В группе $(A, +)$ способ нахождения суммы элементов не определен.

Таких групп не бывает. В любой группе определено множество элементов и закон композиции.

[Vasily2024]

iifat в сообщении #1640614 писал(а):

В группе $(R, +)$ нет никаких отношений. Так же как в системе $(R, <)$ не определена операция сложения.

Операция - это тернарное отношение.

-- 30.05.2024, 05:15 --

Vasily2024 в сообщении #1640674 писал(а):

Таких групп не бывает. В любой группе определено множество элементов и закон композиции.

Конечно. Но в группе $(R, +)$ еще можно указать способ нахождения суммы элементов - по правилам сложения действительных чисел, а в группе $(A. +)$ такого способа нет.

[iifat]

Vasily2024 в сообщении #1640674 писал(а):

Операция - это тернарное отношение

Демонстрация эрудиции засчитана. Браво!

Vasily2024 в сообщении #1640674 писал(а):

можно указать способ нахождения суммы элементов

Для задания группы необходимо задать а) множество и б) операцию на ём. Тот факт, что некоторые множества и некоторые операции имеют имена собственные, ничего в предыдущем определении не меняет. И да, я сознательно даю вам возможность ещё раз продемонстрировать эрудицию, напомнив мне, что операция должна удовлетворять неким соотношениям.

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1640674 писал(а):

Но в группе $(R, +)$ еще можно указать способ нахождения суммы элементов - по правилам сложения действительных чисел, а в группе $(A. +)$ такого способа нет.

Как это нет? Вот вы сами пишете: группа $(A, +)$. Это означает, что на множестве $A$ задан закон композиции $+: A\times A\to A$, удовлетворяющий аксиомам группы. И в том же самом предложении вы говорите, что этот закон не задан. Абсурд!

[Mikhail_K]

Мне это всё напоминает дискуссию среди математиков, наверное, XVIII века (или около того), должна ли функция обязательно задаваться формулой. Сегодня хорошо известно - нет, не должна.

Если мы говорим про функцию $f$, то для каждого аргумента $x$ однозначно определено значение $f(x)$. При этом, есть ли у нас формула для вычисления $f(x)$ - просто неважно.

Если мы говорим про группу $(A,+)$, то для каждой пары элементов $a,b\in A$ однозначно определена их сумма $a+b$. При этом неважно, есть ли у нас формула или алгоритм для нахождения $a+b$ или нет. Не нужна никакая классификация групп на "абстрактные" и "конкретные".

-- 30.05.2024, 12:49 --

Vasily2024 в сообщении #1640600 писал(а):

Разрешите задать один дополнительный вопрос - гомоморфизм групп.
Пусть $(A, +)$ некоторая аддитивная группа, $(R, +)$ - аддитивная группа действительных чисел.
В группе $(A, +)$ способ нахождения суммы элементов не определен. В группе $(R, +)$ способ суммирования задан. Тогда в группе $(A, +)$ нет отношений, которые есть в группе $(R, +)$. Эти группы являются различными алгебраическими системами.
Следовательно, гомоморфизм группа $(A, +)$ в группу $(R, +)$ не является гомоморфизмом алгебраических систем. Такой гомоморфизм называют нестрогим.
Будет ли такая постановка задачи понятна?

Нет, непонятна. Для меня тут нет никакого внятного вопроса. А вот из какого источника Вы это всё взяли - пожалуйста, напишите. Скорее всего, Вам после этого просто порекомендуют почитать другую книжку.

[gefest_md]

Vasily2024 в сообщении #1640190 писал(а):

Аддитивной абелевой группой называется множество $A$ с операцией сложения, обладающей следующими свойствами:

Альтернативное определение. Множество $A$ называется группой если существует операция на $A$, обладающая следующими свойствами:...

[dgwuqtj]

gefest_md в сообщении #1640699 писал(а):

Множество $A$ называется группой если существует операция на $A$, обладающая следующими свойствами:...

По такому определению любое непустое множество является группой, причём на ней ещё и операции не фиксированы. Так что такое определение плохое.

[tolstopuz]

gefest_md в сообщении #1640699 писал(а):

Альтернативное определение. Множество $A$ называется группой если существует операция на $A$, обладающая следующими свойствами:...

Какой ужас. А если существуют две, то какой из них пользоваться?

[gefest_md]

tolstopuz в сообщении #1640703 писал(а):

Какой ужас.

Я принял на веру определение из учебника Liret, Martinais, Algèbre, 1re année. Начинается так: Говорят, что $G$ группа... Позже, правда, в примерах уточняется “множество $\mathbb{R}$ снабжённое сложением“. Но запись в виде пары не встречал в этом учебнике.

[мат-ламер]

gefest_md в сообщении #1640699 писал(а):

Множество $A$ называется группой если существует операция на $A$, обладающая следующими свойствами:...

Не понял - существует операция или задана операция (конкретно)?

Наверное следует отличать абстрактную и конкретную группу.

[tolstopuz]

мат-ламер в сообщении #1640715 писал(а):

Наверное следует отличать абстрактную и конкретную группу.

На колу мочало, начинай сначала :)

А как лично вы отличаете абстрактную группу от конкретной? Приведите по примеру и той, и другой.

[gefest_md]

мат-ламер в сообщении #1640715 писал(а):

Не понял - существует операция или задана операция (конкретно)?

Цитата:

Soit $G$ un ensemble non vide. On dit que $G$ est un groupe s’il existe une opération dans $G,$ notée *, ayant les propriétés suivantes:...

Пусть $G$ непустое множество. Говорят, что $G$ группа если существует операция на $G$, обозначенная *, имеющая следующие свойства:...
Это находится по знаком определения (Définition).

[мат-ламер]

gefest_md в сообщении #1640718 писал(а):

Пусть $G$ непустое множество. Говорят, что $G$ группа если существует операция на $G$

Ну, вы пишете "существует". А вот товарищ пишет про конкретную заданность:

tolstopuz в сообщении #1640237 писал(а):

Вот в этот момент и множество, и операция сложения, уже, как вы выражаетесь, "определены". То есть известно, из каких элементов состоит множество $A$, и известно, какой элемент множества $A$ получается при применении операции к каждой упорядоченной паре элементов множества $A$. Если это неизвестно, то и группы нет.

-- Чт май 30, 2024 15:14:34 --

gefest_md в сообщении #1640718 писал(а):

Пусть $G$ непустое множество. Говорят, что $G$ группа

В вашем определении группа это некое множество. А я так думаю, что это множество вместе с некоторой операцией на нём.