Определение группы.

[Vasily2024]

Предлагается уточнить определение группы, используя аксиоматику Вейля, сформулированную для аффинных пространств.

Определение. Аддитивной абелевой группой называется множество $A$ с операцией сложения, обладающей следующими свойствами:
1) $a + b = b + a$ (коммутативность);
2) $(a + b) + c = a + (b + c)$ (ассоциативность);
3) в A существует такой элемент $0$ (нуль), что определена сумма $a + 0 = a$;
4) для любого элемента $a$ существует такой элемент $ - a$ (противоположный элемент), так что определена сумма

$a+(-a) = 0$.

В общем случае элементы группы и сумма элементов группы $a + b$ является неопределяемым понятием.
В тех случаях, когда для заданных элементов группы $a$ и $b$ сумма элементов $a + b$ определена, то говорят о конкретной группе, например, об аддитивной абелевой группе целых чисел $(Z, +)$.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[dgwuqtj]

Что значит "определена сумма"? Операция и так уже есть, это отображение вида $A \times A \to A$.

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1640190 писал(а):

Определение. Аддитивной абелевой группой называется множество $A$ с операцией сложения

Вот в этот момент и множество, и операция сложения, уже, как вы выражаетесь, "определены". То есть известно, из каких элементов состоит множество $A$, и известно, какой элемент множества $A$ получается при применении операции к каждой упорядоченной паре элементов множества $A$. Если это неизвестно, то и группы нет.

Vasily2024 в сообщении #1640190 писал(а):

обладающей следующими свойствами:

А это условия, которым должна удовлетворять операция. Если не удовлетворяет, то группы тоже нет.

Vasily2024 в сообщении #1640190 писал(а):

3) в A существует такой элемент $0$ (нуль), что определена сумма $a + 0 = a$;

Сумма произвольной упорядоченной пары элементов определена выше, в первой строке. Здесь написано, что на нее накладывается дополнительное условие. То есть если элемент $0\in A$ и операция $+$ определены так, что $a+0\ne a$ хоть для какого-то $a\in A$, то группа не получится.

Vasily2024 в сообщении #1640190 писал(а):

В общем случае элементы группы и сумма элементов группы $a + b$ является неопределяемым понятием.

Где вы нахватались этой лексики? У Вейля? Так он давно умер и не успел рассказать вам о ее смысле. Если вы хотите, чтобы другие люди понимали вас, говорите на общем с ними языке.

[Vasily2024]

tolstopuz в сообщении #1640237 писал(а):

есть известно, из каких элементов состоит множество $A$, и известно, какой элемент множества $A$ получается при применении операции к каждой упорядоченной паре элементов множества $A$. Если это неизвестно, то и группы нет.

В современной алгебре такое расширенное определение операции уже давно не применяют.

"В дальнейшем бинарная алгебраическая операция будет пониматься, как правило, в более узком смысле: произведение должно быть определено для любой упорядоченной пары элементов и должно быть однозначным."
А. Г. Курош

Определение. Пусть $A$ – некоторое множество. Тогда бинарной операцией на этом множестве будет называться правило, согласно которому каждой упорядоченной паре $(x, y)$ ставится в соответствие некоторый элемент $c$.

Это означает, что сумма элементов - неопределяемое понятие (как говорил еще Вейль).

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1640532 писал(а):

В современной алгебре такое расширенное определение операции уже давно не применяют.

У вас какое-то патологическое непонимание печатного текста.

У Куроша "широкий смысл" выглядит так:

Курош писал(а):

В самом широком понимании это будет закон, по которому некоторым упорядоченным парам элементов данного множества $M$ (т. е. некоторым элементам из квадрата множества $M$, см I.2.1) ставятся в соответствие элементы из $M$, один или много.

"Узкий смысл":

Курош писал(а):

В дальнейшем бинарная алгебраическая операция будет пониматься, как правило, в более узком смысле: произведение должно быть определено для любой упорядоченной пары элементов и должно быть однозначным.

То есть ровно то, что написал я:

tolstopuz в сообщении #1640237 писал(а):

известно, какой элемент множества $A$ получается при применении операции к каждой упорядоченной паре элементов множества $A$.

Vasily2024 в сообщении #1640532 писал(а):

Это означает, что сумма элементов - неопределяемое понятие (как говорил еще Вейль).

Как это вообще связано со всем предыдущим текстом? Это просто ваши фантазии. Более того, у Куроша русским языком написано: произведение должно быть определено.

Если вы хотите убедить кого-то в правильности своей точки зрения, то правильное место этой темы не в ПРР, а в Дискуссионных. И есть подозрение, что чуть позже - в Пургатории.

[Vasily2024]

tolstopuz в сообщении #1640237 писал(а):

известно, из каких элементов состоит множество $A$, и известно, какой элемент множества $A$ получается при применении операции к каждой упорядоченной паре элементов множества $A$. Если это неизвестно, то и группы нет.

.

В это трудно поверить.

Непонятно: какой элемент получается при применении операции сложения $a + b =?$.

[tolstopuz]

Vasily2024 в сообщении #1640537 писал(а):

Непонятно: какой элемент получается при применении операции сложения $a + b =?$.

Посмотрите примеры групп. Слышали когда-нибудь про циклические группы, группы перестановок, линейные группы? В каждой группе свое множество элементов и свой однозначно определенный закон композиции, но все эти законы удовлетворяют аксиомам группы.

[worm2]

Возможно, смущают понятия "сложение" и "аддитивная".
Это всё не имеет никакого значения для группы, пока мы рассматриваем только её.
Мы можем в той же самой группе "сложение" обозвать "умножением", "нуль" — "единицей", "противоположный элемент" — "обратным элементом". Ну и группа, соответственно, будет называться "мультипликативной", а не "аддитивной".
Можно вообще отказаться и от сложения и от умножения, ограничиваясь абстрактными терминами: "групповая операция" (обозначаемая круглешком: $a\circ b=c$), "нейтральный элемент" и т.п.
Во всех случаях это будет ровно та же группа, все математически содержательные утверждения относительно неё сохранят свою силу.
Смысл для терминов "сложение" или "умножение" появляется снаружи группы. Банальный пример: в поле есть две разные групповые операции, которые определены на немного разных его подмножествах (умножение является группой на множестве ненулевых элементов) и связаны законом дистрибутивности. Могут быть какие-то физические соображения, например, если мы говорим о "законе сложения скоростей", естественной является аддитивная терминология. Но если мы изучаем группу саму по себе, то полезной будет абстрактная терминология, чтобы мы случайно не перепутали, с чем работаем. А так, абсолютно любая бинарная операция на элементах группы может быть названа "сложением" или "умножением", лишь бы она удовлетворяла аксиомам группы.

[vpb]

Можно рекомендовать товарищу почитать самые-самые простые книжки, как-то:

Виленкин, Рассказы о множествах
П.С.Александров, Введение в теорию групп
Калужнин, Введение в общую алгебру
Гроссман, Магнус, Группы и их графы

Но это всё исходя из предположения, что у товарища "добросовестный" заскок в голове, вероятность чего
процентов 10. Так что, скорее всего, единственным эффективным средством терапии в этой ситуации является бан за троллинг.

[tolstopuz]

Я еще на днях прочитал Carter, Visual group theory. Типа Гроссмана, но еще более наглядная и с цветными картинками.

[Mikhail_K]

Vasily2024 в сообщении #1640537 писал(а):

какой элемент получается при применении операции сложения $a + b =?$.

В каждой группе - по-своему.
У нас может даже не быть никакого алгоритма для нахождения $a+b$.
Важно, что если мы работаем с группой (и если обозначаем групповую операцию знаком "+"), то мы предполагаем, что для любых $a$ и $b$ их сумма точно определена. Неважно при этом, можем ли мы её реально найти и выписать.

Кроме того, мы можем просто работать с произвольной группой. Тогда мы понимаем, что для разных групп $a+b$ означает разное, и нам не важно, чему конкретно равно $a+b$. Наши рассуждения тогда годятся сразу для многих разных групп, сразу для многих разных правил определения $a+b$. Но $a+b$ всё равно точно определено для любых элементов $a$ и $b$ в каждой группе, иначе и группы нет.

Вся эта муть с "конкретными" и "абстрактными" группами, с "неопределяемыми понятиями" относится к устаревшей парадигме, устаревшему способу математического мышления. Но я понимаю, что при определённом способе мышления эти понятия кажутся естественными и необходимыми, и перестроить мышление может быть сложно. Скорее, тогда просто с опытом придёт понимание, что эти понятия нигде не нужны и только всё запутывают.

-- 28.05.2024, 20:07 --

Там, где Вы говорите про "абстрактную группу" с "неопределяемой операцией", современные математики говорят просто про произвольную группу.

Точно так же, как мы можем произвольное число обозначить через $x$ и совершать с ним разные арифметические выкладки, не интересуясь, чему это $x$ равно. При этом нам не нужно делить числа на "конкретные" и "абстрактные". $x$ - это самое обычное число, просто мы не знаем, чему оно равно.

Работая с произвольной группой, мы предполагаем, что там есть точно определённая групповая операция, просто нам может быть неважно, какая именно.

-- 28.05.2024, 20:19 --

Или ещё в принципе можно рассматривать теорию групп как формальную аксиоматическую теорию, а разные конкретные группы - как модели этой теории. Это получается что-то похожее на "абстрактную группу и конкретные группы". Но такой подход вовсе не обязателен.

[svv]

Mikhail_K в сообщении #1640564 писал(а):

Точно так же, как мы можем произвольное число обозначить через $x$ и совершать с ним разные арифметические выкладки, не интересуясь, чему это $x$ равно. При этом нам не нужно делить числа на "конкретные" и "абстрактные". $x$ - это самое обычное число, просто мы не знаем, чему оно равно.

Да, в самом деле, такое деление объектов на "конкретные" и "абстрактные" у Вас (Vasily2024) возникло именно в применении к группам? А числа Вы тоже делите на конкретные и абстрактные? Когда я говорю, что решением уравнения $a+x=b$ является $x=b-a$, тут я использую абстрактные числа? А вдруг какое-то из них всё-таки конкретное? А Вы даже не знаете, которое?

[Vasily2024]

Уважаемый Mikhail_K!
Позвольте выразить восхищение Вашей эрудицией. Вы удивительно точно и ясно сформулировали ответы на заданные вопросы. Огромное Вам спасибо!

Разрешите задать один дополнительный вопрос - гомоморфизм групп.
Пусть $(A, +)$ некоторая аддитивная группа, $(R, +)$ - аддитивная группа действительных чисел.
В группе $(A, +)$ способ нахождения суммы элементов не определен. В группе $(R, +)$ способ суммирования задан. Тогда в группе $(A, +)$ нет отношений, которые есть в группе $(R, +)$. Эти группы являются различными алгебраическими системами.
Следовательно, гомоморфизм группа $(A, +)$ в группу $(R, +)$ не является гомоморфизмом алгебраических систем. Такой гомоморфизм называют нестрогим.
Будет ли такая постановка задачи понятна?

-- 29.05.2024, 07:16 --

svv в сообщении #1640571 писал(а):

А числа Вы тоже делите на конкретные и абстрактные? Когда я говорю, что решением уравнения $a+x=b$ является $x=b-a$

Если способ сложения чисел не определен - числа абстрактные. Определен - конкретные.