Векторное произведение и момент силы

[EUgeneUS]

Утундрий в сообщении #1635740 писал(а):

Тут же возникает вопрос: С какого бодуна читатель вдруг должен решить, что это разные точки?

Вопрос другой: с какого бодуна читатель или, например, писатель решил, что это одна и та же точка?
Ежели точки одни и те же, то и писать надо "момент силы относительно начала координат".

И вообще, момент силы относительно точки существует и определен, если есть
а) сила
б) точка приложения силы
в) точка, относительно которой считаем момент.
А системы координат с ейным началом может и не быть вообще.

[Утундрий]

EUgeneUS в сообщении #1635742 писал(а):

Вопрос другой: с какого бодуна читатель или, например, писатель решил, что это одна и та же точка?
Ежели точки одни и те же, то и писать надо "момент силы относительно начала координат".

Ну, хотя бы потому, что соответствующий раздел упомянутой статьи рукопедии называется "Момент силы относительно точки". И раз уж упоминается (неявно, через определение радиус-вектора, которое нужно к этому моменту знать) точка начала координат, то, наверное, это она и есть. С другой стороны, если чукча не читатель, то возможны и более заковыристые вопросы. А точки ли? А может не точки? А даже если и точки, то векторное ли? И точно произведение? Быть может лучше его называть"продукт" и отоваривать в человекограммах?

[Mihr]

EUgeneUS,
вот, посмотрите, пожалуйста, это фрагмент страницы из учебника Сивухина (том 1, с. 166). Здесь ровно та же терминология, что и в цитате из Википедии. Вы используете понятие радиус-вектора точки приложения силы иначе. Отсюда взаимное непонимание.

[Andrey from Mos]

Mikhail_K в сообщении #1635704 писал(а):

Причём тут российское образование? Никаких векторов, кроме свободных, в современной математике нет. И вообще нет понятия, что векторы можно (или нельзя) куда-то "переносить". Просто нет такой операции. Вектор можно отложить от любой точки и получить точку - такая операция есть.

На основании чего вы делаете такие заключения? Например, в Википедии сказано про свободные и связанные векторы. В книге по математике 2018 года также говорится про свободные, передвижные и определенные векторы. Кто определяет - есть в математике понятие "свободные" векторы или нет? Это какое-то высокое собрание решило?

или вот еще:
"Если точка приложения вектора может быть любой, то есть его можно
переносить, то вектор называется свободным.
Вектор называется скользящим, если его можно перемещать вдоль прямой,
проходящей через начало и конец вектора.
Векторы, для которых точка приложения имеет существенное значение,
называются связанными (например, радиус-вектор точки, который будет
определен ниже, или сила, действующая на тело)."
Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева. Основы векторной алгебры, 2009 год

[lazarius]

Mihr в сообщении #1635755 писал(а):

вот, посмотрите, пожалуйста, это фрагмент страницы из учебника Сивухина (том 1, с. 166).

Я понимаю что курс Сивухина это tour de force и переть против Сивухина это почти как против Ландафшица, но в этом конкретном вопросе я поддерживаю товарища из уездного города Н.

[Mihr]

lazarius в сообщении #1635773 писал(а):

в этом конкретном вопросе я поддерживаю

Ну, давайте образуем фракции сторонников того или иного использования термина. И станем решать большинством голосов, кто прав
Серьёзно, здесь есть о чём спорить?

[sergey zhukov]

Andrey from Mos
Если к исходному вопросу вернуться. Можете считать, что в каждой точке пространства есть свои локальные орты СК, и правило векторного произведения записано относительно локальных СК каждого вектора. Ничего никуда переносить не нужно. Это если СК не криволинейная.

[Mikhail_K]

Andrey from Mos в сообщении #1635771 писал(а):

Кто определяет - есть в математике понятие "свободные" векторы или нет? Это какое-то высокое собрание решило?

Именно потому что никакого высокого собрания не было, эти понятия могут оставаться в каких-то отдельных книгах. Просто так получается, что о них знают всё меньше человек, а кто знает - относятся к ним всё менее серьёзно.

Andrey from Mos в сообщении #1635771 писал(а):

Например, в Википедии сказано про свободные и связанные векторы.

В российской. А в английской - нет.

[wrest]

Andrey from Mos в сообщении #1635699 писал(а):

В точки зрения механики (например, течение жидкости) векторы скорости нельзя переносить: каждый из них привязан к определенной точке.

Мне в своё время помогало такое рассуждение. Эти точки и векторы -- из разных пространств. Координаты точек - метры, а векторов скоростей - метры в секунду. Эти
пространства вкладывают одно в другое... Но если вы возьмёте две точки, отрезок между ними и его ориентацию, то вектор который вы получите, не станет вектором скорости и все равно будет иметь длину метры (например, вектор перемещения) а не метры в секунду.

[EUgeneUS]

Mihr в сообщении #1635755 писал(а):

вот, посмотрите, пожалуйста, это фрагмент страницы из учебника Сивухина (том 1, с. 166). Здесь ровно та же терминология, что и в цитате из Википедии.

А с Сивухиным у меня нет разногласий
Сивухин последователен, у него даже параграф называется "Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала".
Он говорит, "вот есть точка $O$, назовем её началом или полюсом". С этого момента он ввел систему отсчета (систему координат ещё не ввел, но система отсчета уже есть). А коль скоро есть система отсчета, то можем говорить о радиус-векторе, который, по определению:
Ра́диус-ве́ктор — вектор, задающий положение точки в пространстве (например, евклидовом) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

В википедии этот шаг опущен, и совершенно непонятно откуда взялся радиус-вектор.

Mihr в сообщении #1635755 писал(а):

Отсюда взаимное непонимание.

Непонимание вот в чем (что меня и сподвигло на комментарии в этой теме)
0. $A$ - точка приложения силы.
1. Хорошо, пусть определили момент относительно точки $O$, согласно Сивухину - поместив начало в точку $O$.
2. Далее, перейдем в другую систему отсчета, с началом в точке $O'$. Изменился ли момент силы? Конечно изменился, если следовать определению с привлечением радиус-вектора. Так как радиус-вектор точки $A$ стал другим.
3. Тут важно не забывать, что мы просто считаем момент силы относительно разных точек. В первом случае - относительно $O$, во втором - относительно $O'$.
4. А теперь вопрос: что стало с моментом силы относительно точки $O$ при смене начала с $O$ на $O'$?
Он пропал? Он потерял смысл? Он как-то изменился?
Не пропал, не потерял смысл и не изменился. Но через радиус-вектор он уже не выражается, а выражается через вектор $\vec{OA}$.
5. При этом радиус-вектор $\vec{OA}$ определен только, если начало у нас в точке $O$. А вектор $\vec{OA}$ определен и существует вообще вне зависимости от системы отсчета, были бы определены две точки $O$ и $A$.

Вот на что хотел обратить внимание, всего лишь.

-- 09.04.2024, 07:53 --

Mihr в сообщении #1635778 писал(а):

Ну, давайте образуем фракции сторонников того или иного использования термина.

Термины нужно пользовать верно, понимая их смысл.
Термин радиус-вектор предполагает, что имеется система отсчета и её начало. Сивухин использует его корректно, вводя понятие начала или полюса. А в википедии вообще забывают про это, и термин радиус-вектор подвисает в пустоте, как и опирающийся на него термин момент силы относительно точки.

-- 09.04.2024, 07:56 --

И опять же: определение термина момент силы с использованием термина радиус-вектор имеет ограничение в том, что оно определяет момент силы только относительно начала (системы отсчета).
Если Сивухину для дальнейших выкладок этого достаточно, ну и ладно.
Но это ограничение искусственное - ничто не мешает определить момент силы относительно любой точки, не обязательно относительно начала.

[lazarius]

Mihr в сообщении #1635778 писал(а):

Серьёзно, здесь есть о чём спорить?

С Дмитрием Васильевичем не поспоришь - его дано уже нет с нами. А вы только страницу из его учебника и представили.

Я могу, конечно, развернуто представить свою точку зрения но она совпадает с точкой зрения товарища из уездного города Н и я подумал что достаточно предъявить этот факт.

Ok! Как я писал в своем первом сообщении в этой теме, радиус-вектор не является вектором относительно сдвигов (трансляций). Определять момент силы через радиус-вектор значит определять такой же недовектор. В отличие от радиус-вектора, разность двух радиус-векторов (displacement) - вектор относительно сдвигов и именно через него следует определять момент силы.

[EUgeneUS]

Утундрий в сообщении #1635750 писал(а):

Ну, хотя бы потому, что соответствующий раздел упомянутой статьи рукопедии называется "Момент силы относительно точки"

В том-то и дело, раздел называется "Момент силы относительно точки", а не "Момент силы <и момент импульса> относительно неподвижного начала", как у Сивухина.

[Mihr]

EUgeneUS в сообщении #1635783 писал(а):

Он говорит, "вот есть точка $O$, назовем её началом или полюсом". С этого момента он ввел систему отсчета

Не уверен. Я как-то привык к тому, что если уж вводится/изменяется система отсчёта, то её построение явно описывается. Можно, разумеется, допустить, что наличие (неизменной) системы отсчёта предполагалось изначально. Но ниоткуда не следует, что точка, относительно которой вычисляется момент силы, непременно совпадает с началом отсчёта.

EUgeneUS в сообщении #1635783 писал(а):

можем говорить о радиус-векторе, который, по определению:
Ра́диус-ве́ктор — вектор, задающий положение точки в пространстве (например, евклидовом) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Достаточно допустить, что здесь его начало совпадает с "полюсом" (с той точкой, относительно которой вычисляется момент силы), - и все неясности разом исчезают. Да, это несколько вольное употребление терминологии, но, по мне, совершенно понятное в данном контексте.

lazarius в сообщении #1635792 писал(а):

А вы только страницу из его учебника и представили.

Интересно, а вы что хотели? Вызвать дух умершего и спросить его? Я этого не умею. Попробуйте сами, если есть желание.
Если я хочу упомянуть мнение учёного, то могу лишь сослаться на написанное им. У вас есть лучшие варианты? Предложите.

[Andrey from Mos]

sergey zhukov в сообщении #1635779 писал(а):

Andrey from Mos
Если к исходному вопросу вернуться. Можете считать, что в каждой точке пространства есть свои локальные орты СК, и правило векторного произведения записано относительно локальных СК каждого вектора. Ничего никуда переносить не нужно. Это если СК не криволинейная.

Спасибо за объяснение. Я еще приметил, что нигде в определении векторного произведения не сказано, что вектора должны выходить из одной точки. Так что формально придраться не к чему