Векторное произведение и момент силы

[Andrey from Mos]

Здравствуйте, уважаемые участники.

Наткнулся на один момент, который мне не понятен.
Момент силы равен векторному произведению радиус-вектора $\vec{OM}$ на вектор силы $\vec{F}$ (см. картинку). При этом в математике для рассмотрения векторного произведения перемножаемые вектора выходят из одной точки. Ну там понятно - вектора свободные и их можно перенести.
А здесь (см. картинку) вектора вообще-то несвободные, следовательно, переносить их нельзя: сила только по линии движется, а радиус-вектор вообще привязан к точке.
На основании чего тогда речь про векторное произведение?
Как, например, определять направление векторного произведения, если вектора не из одной точки? Непонятно - какой вектор и к какому поворачивать против часовой стрелки.
Этот момент я в литературе не нашел, авторы как-то обходят стороной это место.

[Null]

Andrey from Mos в сообщении #1635631 писал(а):

их можно перенести.

Тут тоже самое.

[warlock66613]

В современной литературе (и даже не очень современной) все вектора - "свободные". "Несвободные" векторы - это очень устаревшая концепция, которая давно не используется.

[zykov]

Andrey from Mos в сообщении #1635631 писал(а):

сила только по линии движется, а радиус-вектор вообще привязан к точке

Сила тоже имеет точку приложения.
Вот для этой силы в этой точке и рассчитывают момент силы относительного какого-то центра.
Далее, момент силы относительного этого центра суммируется по всем точкам.

[Mikhail_K]

Andrey from Mos в сообщении #1635631 писал(а):

сила только по линии движется, а радиус-вектор вообще привязан к точке.

С современной точки зрения, и сила, и радиус-вектор - это свободные векторы (точнее, просто векторы - потому что никаких других векторов нет), и их можно переносить в любую точку, если это зачем-нибудь нужно.
Наряду с вектором силы, отдельно рассматривается точка приложения этой силы. Таким образом, сила характеризуется парой математических объектов: вектором и точкой (а не одним "несвободным" вектором).

[epros]

Вообще, это физический вопрос. Для математиков вопроса нет: Векторное произведение определено для векторов, у которых никакой "точки приложения" нет. А вот почему силу можно переносить - это интересный вопрос, который в искривлённых пространствах становится нетривиальным.

[lazarius]

Mikhail_K в сообщении #1635669 писал(а):

С современной точки зрения, и сила, и радиус-вектор - это свободные векторы (точнее, просто векторы - потому что никаких других векторов нет)

Я совсем уж superannuated но вроде вот svv достаточно современен и он мне рассказывал что если некий тензор (а вектор он вроде как тензор первого ранга) равен 0 в одной системе координат то он равен 0 в любой другой. Но если я транслирую в систему координат с центром в точке в которой мы измеряем силу, то радиус-вектор в этой точке получается равным 0, а в исходной он вполне себе ненулевой.

Выходит радиус-вектор вовсе не вектор относительно трансляций и этим он таки отличается от вектора силы.

[Mikhail_K]

lazarius в сообщении #1635674 писал(а):

Выходит радиус-вектор вовсе не вектор относительно трансляций и этим он таки отличается от вектора силы.

Ну да, радиус-вектор точки зависит от системы координат. В разных системах координат у одной и той же точки - разные радиус-векторы. Все они, однако, "свободные". Вектор силы же не меняется при изменении системы координат (меняются только его компоненты).

Говорить про векторы (или тензоры) можно вне парадигмы, что это "наборы чисел, таким-то образом изменяющиеся при изменении системы координат". Эта парадигма не то чтобы совсем устаревшая, но скорее распространённая в физике и приложениях математики, чем в самой математике. Вместо неё векторы и тензоры можно определять на языке линейных пространств, линейных функционалов, сопряжённых пространств и тензорных произведений.

[Andrey from Mos]

epros в сообщении #1635670 писал(а):

Вообще, это физический вопрос. Для математиков вопроса нет: Векторное произведение определено для векторов, у которых никакой "точки приложения" нет. А вот почему силу можно переносить - это интересный вопрос, который в искривлённых пространствах становится нетривиальным.

Да, с точки зрения математики векторы свободные и могут переносится параллельно себе. С точки зрения механики сила действует в данном случае по линии и может быть по этой линии перенесена в другую точку (но только по линии). Это доказывается в учебнике.
Тем, кто считает, что можно произвольно перенести вектор силы (не по линии) напомню, что в этом случае изменится плечо и, соотвественно, момент силы. Так что произвольно силу переносить нельзя. Принцип механики!

Про то, что кто-то отменил определенные и передвижные векторы слышу в первй раз. В точки зрения механики (например, течение жидкости) векторы скорости нельзя переносить: каждый из них привязан к определенной точке. Это какое-то "ноу-хау" из современного российского "образования"

-- 08.04.2024, 18:31 --

Mikhail_K в сообщении #1635669 писал(а):

Andrey from Mos в сообщении #1635631 писал(а):

сила только по линии движется, а радиус-вектор вообще привязан к точке.

С современной точки зрения, и сила, и радиус-вектор - это свободные векторы (точнее, просто векторы - потому что никаких других векторов нет), и их можно переносить в любую точку, если это зачем-нибудь нужно.
Наряду с вектором силы, отдельно рассматривается точка приложения этой силы. Таким образом, сила характеризуется парой математических объектов: вектором и точкой (а не одним "несвободным" вектором).

Свободные векторы переносить можно, но какое отношение они тогда будут иметь к физической задачке, где сила действует по определенной линии, а радиус-вектор соединяет две конкретные точки (а не какие нам захочется) ??
И какое отношение при таком перенесении будет иметь, векторное произведение, построенное на перенесенных (как нам удобно векторах) к конкретному случаю с физическими телами?

[sergey zhukov]

Andrey from Mos
Вектор описывается тремя числами. Где координаты его начала? Математически они все из начала идут.

[Mikhail_K]

Andrey from Mos в сообщении #1635699 писал(а):

Тем, кто считает, что можно произвольно перенести вектор силы (не по линии) напомню, что в этом случае изменится плечо и, соотвественно, момент силы. Так что произвольно силу переносить нельзя. Принцип механики!

Ещё раз: сила характеризуется не одним только вектором силы, а ещё точкой приложения этой силы. Вектор - свободный, точку же никуда переносить нельзя. Благодаря этому момент силы точно определён.

Andrey from Mos в сообщении #1635699 писал(а):

Это какое-то "ноу-хау" из современного российского "образования"

Причём тут российское образование? Никаких векторов, кроме свободных, в современной математике нет. И вообще нет понятия, что векторы можно (или нельзя) куда-то "переносить". Просто нет такой операции. Вектор можно отложить от любой точки и получить точку - такая операция есть.

Andrey from Mos в сообщении #1635699 писал(а):

какое отношение они тогда будут иметь к физической задачке

Ну просто вся физика излагается без этих представлений, что векторы можно или нельзя куда-то "переносить". Векторы можно складывать, умножать на число, находить их скалярное или векторное произведение, откладывать от точки - и этого для физики достаточно.
Хотя про "перенос" векторов теперь тоже не говорят, но равные векторы (т.е. имеющие одинаковые длину и направление) - это просто один и тот же вектор (так же, как равные числа - это одно и то же число). С этой точки зрения, все векторы - свободные.

[EUgeneUS]

Andrey from Mos в сообщении #1635631 писал(а):

Момент силы равен векторному произведению радиус-вектора $\vec{OM}$ на вектор силы $\vec{F}$ (см. картинку).

Это настолько неточно, что уже и не верно.

Mikhail_K в сообщении #1635680 писал(а):

Ну да, радиус-вектор точки зависит от системы координат. В разных системах координат у одной и той же точки - разные радиус-векторы.

И опять это неверно! Момент силы - величина инвариантная относительно преобразований Галилея, от системы координат не зависит.

(хинт)

в определении момента силы никаких радиус-векторов нет

[Mihr]

EUgeneUS в сообщении #1635705 писал(а):

в определении момента силы никаких радиус-векторов нет

Гм...

Википедия писал(а):

Моме́нт си́лы (момент силы относительно точки) — векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы $\vec{r}$ и вектора силы $\vec{F}$

Разве здесь что-то не так?

[EUgeneUS]

Mihr в сообщении #1635730 писал(а):

Разве здесь что-то не так?

Конечно, не так.
Точка, относительно которой считается момент силы, и начало координат совсем не обязательно должны совпадать. А приведенное определение справедливо, только если они совпадают. То есть в такой формулировке неявно предполагается, что точка, относительно которой считается момент силы и начало координат - это одна и та же точка.

А теперь в более общем виде. Пусть есть точка $O$ - начало координат, точка $A$ - точка относительно, которой считается момент силы, и точка $B$ - точка приложения силы $\vec{F}$. При этом точки $O$ и $A$ могут не совпадать.
Тогда
а) радиус-вектор точки $B$ равен $\vec{r_B} = \vec{OB}$, и он зависит от выбора начала координат.
б) момент силы относительно точки $A$ равен $\vec{M_A} = [ \vec{AB} \times \vec{F} ]$ и он не зависит от выбора начала координат.

[Утундрий]

EUgeneUS в сообщении #1635736 писал(а):

То есть в такой формулировке неявно предполагается, что точка, относительно которой считается момент силы и начало координат - это одна и та же точка.

Тут же возникает вопрос: С какого бодуна читатель вдруг должен решить, что это разные точки?