2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 04:03 


05/08/18
149
Москва
Здравствуйте, уважаемые участники.

Наткнулся на один момент, который мне не понятен.
Момент силы равен векторному произведению радиус-вектора $\vec{OM}$ на вектор силы $\vec{F}$ (см. картинку). При этом в математике для рассмотрения векторного произведения перемножаемые вектора выходят из одной точки. Ну там понятно - вектора свободные и их можно перенести.
А здесь (см. картинку) вектора вообще-то несвободные, следовательно, переносить их нельзя: сила только по линии движется, а радиус-вектор вообще привязан к точке.
На основании чего тогда речь про векторное произведение?
Как, например, определять направление векторного произведения, если вектора не из одной точки? Непонятно - какой вектор и к какому поворачивать против часовой стрелки.
Этот момент я в литературе не нашел, авторы как-то обходят стороной это место.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 06:34 
Заслуженный участник


12/08/10
1676
Andrey from Mos в сообщении #1635631 писал(а):
их можно перенести.
Тут тоже самое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 13:05 
Заслуженный участник


02/08/11
7002
В современной литературе (и даже не очень современной) все вектора - "свободные". "Несвободные" векторы - это очень устаревшая концепция, которая давно не используется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 13:38 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Andrey from Mos в сообщении #1635631 писал(а):
сила только по линии движется, а радиус-вектор вообще привязан к точке
Сила тоже имеет точку приложения.
Вот для этой силы в этой точке и рассчитывают момент силы относительного какого-то центра.
Далее, момент силы относительного этого центра суммируется по всем точкам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
Andrey from Mos в сообщении #1635631 писал(а):
сила только по линии движется, а радиус-вектор вообще привязан к точке.
С современной точки зрения, и сила, и радиус-вектор - это свободные векторы (точнее, просто векторы - потому что никаких других векторов нет), и их можно переносить в любую точку, если это зачем-нибудь нужно.
Наряду с вектором силы, отдельно рассматривается точка приложения этой силы. Таким образом, сила характеризуется парой математических объектов: вектором и точкой (а не одним "несвободным" вектором).

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Вообще, это физический вопрос. Для математиков вопроса нет: Векторное произведение определено для векторов, у которых никакой "точки приложения" нет. А вот почему силу можно переносить - это интересный вопрос, который в искривлённых пространствах становится нетривиальным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 14:33 


27/10/23
78
Mikhail_K в сообщении #1635669 писал(а):
С современной точки зрения, и сила, и радиус-вектор - это свободные векторы (точнее, просто векторы - потому что никаких других векторов нет)

Я совсем уж superannuated но вроде вот svv достаточно современен и он мне рассказывал что если некий тензор (а вектор он вроде как тензор первого ранга) равен 0 в одной системе координат то он равен 0 в любой другой. Но если я транслирую в систему координат с центром в точке в которой мы измеряем силу, то радиус-вектор в этой точке получается равным 0, а в исходной он вполне себе ненулевой.

Выходит радиус-вектор вовсе не вектор относительно трансляций и этим он таки отличается от вектора силы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 15:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
lazarius в сообщении #1635674 писал(а):
Выходит радиус-вектор вовсе не вектор относительно трансляций и этим он таки отличается от вектора силы.
Ну да, радиус-вектор точки зависит от системы координат. В разных системах координат у одной и той же точки - разные радиус-векторы. Все они, однако, "свободные". Вектор силы же не меняется при изменении системы координат (меняются только его компоненты).

Говорить про векторы (или тензоры) можно вне парадигмы, что это "наборы чисел, таким-то образом изменяющиеся при изменении системы координат". Эта парадигма не то чтобы совсем устаревшая, но скорее распространённая в физике и приложениях математики, чем в самой математике. Вместо неё векторы и тензоры можно определять на языке линейных пространств, линейных функционалов, сопряжённых пространств и тензорных произведений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 17:21 


05/08/18
149
Москва
epros в сообщении #1635670 писал(а):
Вообще, это физический вопрос. Для математиков вопроса нет: Векторное произведение определено для векторов, у которых никакой "точки приложения" нет. А вот почему силу можно переносить - это интересный вопрос, который в искривлённых пространствах становится нетривиальным.


Да, с точки зрения математики векторы свободные и могут переносится параллельно себе. С точки зрения механики сила действует в данном случае по линии и может быть по этой линии перенесена в другую точку (но только по линии). Это доказывается в учебнике.
Тем, кто считает, что можно произвольно перенести вектор силы (не по линии) напомню, что в этом случае изменится плечо и, соотвественно, момент силы. Так что произвольно силу переносить нельзя. Принцип механики!

Про то, что кто-то отменил определенные и передвижные векторы слышу в первй раз. В точки зрения механики (например, течение жидкости) векторы скорости нельзя переносить: каждый из них привязан к определенной точке. Это какое-то "ноу-хау" из современного российского "образования"

-- 08.04.2024, 18:31 --

Mikhail_K в сообщении #1635669 писал(а):
Andrey from Mos в сообщении #1635631 писал(а):
сила только по линии движется, а радиус-вектор вообще привязан к точке.
С современной точки зрения, и сила, и радиус-вектор - это свободные векторы (точнее, просто векторы - потому что никаких других векторов нет), и их можно переносить в любую точку, если это зачем-нибудь нужно.
Наряду с вектором силы, отдельно рассматривается точка приложения этой силы. Таким образом, сила характеризуется парой математических объектов: вектором и точкой (а не одним "несвободным" вектором).


Свободные векторы переносить можно, но какое отношение они тогда будут иметь к физической задачке, где сила действует по определенной линии, а радиус-вектор соединяет две конкретные точки (а не какие нам захочется) ??
И какое отношение при таком перенесении будет иметь, векторное произведение, построенное на перенесенных (как нам удобно векторах) к конкретному случаю с физическими телами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 17:44 


17/10/16
4759
Andrey from Mos
Вектор описывается тремя числами. Где координаты его начала? Математически они все из начала идут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
Andrey from Mos в сообщении #1635699 писал(а):
Тем, кто считает, что можно произвольно перенести вектор силы (не по линии) напомню, что в этом случае изменится плечо и, соотвественно, момент силы. Так что произвольно силу переносить нельзя. Принцип механики!
Ещё раз: сила характеризуется не одним только вектором силы, а ещё точкой приложения этой силы. Вектор - свободный, точку же никуда переносить нельзя. Благодаря этому момент силы точно определён.
Andrey from Mos в сообщении #1635699 писал(а):
Это какое-то "ноу-хау" из современного российского "образования"
Причём тут российское образование? Никаких векторов, кроме свободных, в современной математике нет. И вообще нет понятия, что векторы можно (или нельзя) куда-то "переносить". Просто нет такой операции. Вектор можно отложить от любой точки и получить точку - такая операция есть.
Andrey from Mos в сообщении #1635699 писал(а):
какое отношение они тогда будут иметь к физической задачке
Ну просто вся физика излагается без этих представлений, что векторы можно или нельзя куда-то "переносить". Векторы можно складывать, умножать на число, находить их скалярное или векторное произведение, откладывать от точки - и этого для физики достаточно.
Хотя про "перенос" векторов теперь тоже не говорят, но равные векторы (т.е. имеющие одинаковые длину и направление) - это просто один и тот же вектор (так же, как равные числа - это одно и то же число). С этой точки зрения, все векторы - свободные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 18:05 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Andrey from Mos в сообщении #1635631 писал(а):
Момент силы равен векторному произведению радиус-вектора $\vec{OM}$ на вектор силы $\vec{F}$ (см. картинку).


Это настолько неточно, что уже и не верно.

Mikhail_K в сообщении #1635680 писал(а):
Ну да, радиус-вектор точки зависит от системы координат. В разных системах координат у одной и той же точки - разные радиус-векторы.


И опять это неверно! Момент силы - величина инвариантная относительно преобразований Галилея, от системы координат не зависит.

(хинт)

в определении момента силы никаких радиус-векторов нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
EUgeneUS в сообщении #1635705 писал(а):
в определении момента силы никаких радиус-векторов нет

Гм...
Википедия писал(а):
Моме́нт си́лы (момент силы относительно точки) — векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы $\vec{r}$ и вектора силы $\vec{F}$

Разве здесь что-то не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 21:11 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Mihr в сообщении #1635730 писал(а):
Разве здесь что-то не так?


Конечно, не так.
Точка, относительно которой считается момент силы, и начало координат совсем не обязательно должны совпадать. А приведенное определение справедливо, только если они совпадают. То есть в такой формулировке неявно предполагается, что точка, относительно которой считается момент силы и начало координат - это одна и та же точка.

А теперь в более общем виде. Пусть есть точка $O$ - начало координат, точка $A$ - точка относительно, которой считается момент силы, и точка $B$ - точка приложения силы $\vec{F}$. При этом точки $O$ и $A$ могут не совпадать.
Тогда
а) радиус-вектор точки $B$ равен $\vec{r_B} = \vec{OB}$, и он зависит от выбора начала координат.
б) момент силы относительно точки $A$ равен $\vec{M_A} = [ \vec{AB} \times \vec{F} ]$ и он не зависит от выбора начала координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное произведение и момент силы
Сообщение08.04.2024, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
EUgeneUS в сообщении #1635736 писал(а):
То есть в такой формулировке неявно предполагается, что точка, относительно которой считается момент силы и начало координат - это одна и та же точка.
Тут же возникает вопрос: С какого бодуна читатель вдруг должен решить, что это разные точки?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group