1.
Я полагаю (как я уже говорил), что для логики не имеет значения, на каком основании исключаются конъюнкции, она начинается тогда, когда они уже исключены.
Я вообще не понял эту фразу.
Здесь я имел в виду, что когда мы имеем дело с бинарными логическими операциями, то берем два высказывания
и
и к ним контрвысказывания
и
, составляем из них четыре конъюнкции
и пока не исключены некоторые конъюнкции из этого списка -- числом от
до
-- логическая структура не определяется, а как только они исключены, она определяется (об этом подробнее ниже). На каком же основании они исключаются, для логики безразлично.
Например, ситуация с выбрасыванием вазы из окна.
Имеем четыре утверждения:
,
,
,
, --
и список (1) конъюнкций.
Любую из них можно исключить на каком-то житейском основании, например, первую: "Да ничего ее не выбросят, и она не разобьется, что вы мне тут!.." Здесь возникает вопрос: тот, кто это говорит, правда думает, что вазу не выбросят, или у него коварный замысел?
Но логика этим вопросом не задается, она ждет, когда решат, исключить эту конъюнкцию или нет, и когда решат, что исключить -- и только ее одну, -- логика ее исключит, то есть проведет операцию "дизъюнкция".
Тут, правда, можно сказать, что да, логическая структура определяется после исключения конъюнкций, но логика начинается уже с их исключения, а не после, потому что их исключение это логическая операция, в результате которой определяется логическая структура, и с этим я согласен, можно и так смотреть, и это будет правильнее, теперь я это вижу (за эти несколько дней мои представления развились).
В данном случае в результате логической операции "дизъюнкция" мы получили логическую структуру, которая тоже называется "дизъюнкция". То есть логическая операция и структура, которая получается в результате ее проведения, называются одинаково.
Тут встает еще один вопрос: всегда ли мы можем произвольно решать, какие конъюнкции исключать? Нет, не всегда. В случае с вазой можем, потому что вазы бывают разные: крепкие и некрепкие, -- так что если ваза упадет, то, может быть, не разобьется, а, может быть, разобьется.
Или из множества
натуральных чисел мы можем по произволу исключить все числа, которые делятся на
, но не делятся на
-- и при этом исключить соответствующую конъюнкцию, -- и тогда из оставшихся любое число, которое делится на
, будет делиться и на
. А можем их не исключать, и тогда не будет такого, что если число делится на
, то оно делится и на
. То есть можем исключать, а можем не исключать.
Но вот если мы возьмем деление чисел на
и на
, то соответствующую конъюнкцию нам придется исключить не по нашему произволу, а по объективной необходимости: если число делится на
, то оно не может не делиться на
.
Почему я так много говорю об исключении конъюнкций, попытаюсь объяснить ниже. При этом попробую увязать логику, теорию множеств и булевы функции.
2.
Цитата:
Говорят, что объект
удовлетворяет высказывательной функции , если высказывание, полученное из
подстановкой вместо аргумента
названия предмета
, т. е. высказывание
, истинно.
https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 55
При подстановке в
вместо
всевозможных значений
получим множество
высказываний, оно разбито на два непересекающихся подмножества:
, которому принадлежат все истинные высказывания, и
, которому принадлежат все ложные высказывания. Обозначим через
произвольное высказывание, принадлежащее
и через
произвольное высказывание, принадлежащее
(
).
Цитата:
Высказывание
не называем
отрицанием и записываем в виде
. Оно истинно, если
ложно, и ложно, если
истинно. Таким образом, отрицание
имеет логическое значение, противоположное логическому значению
.
https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 12
3.
Снова возьмем следующий пример.
Пусть мы имеем множество
натуральных чисел (включая
). Каждый элемент этого множества либо делится на
, либо нет, а также либо делится на
, либо нет. При этом
разбивается на четыре непересекающихся подмножества:
1)
, элементами которого являются все числа, которые не делятся ни на
, ни на
,
2)
, элементами которого являются все числа, которые не делятся на
и при этом делятся на
,
3)
, элементами которого являются все числа, которые делятся на
, но не делятся на
,
4)
, элементами которого являются все числа, которые делятся на
и на
.
Множества
представляют собой конституенты.
(О конституентах можно посмотреть здесь
https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 29 и здесь
topic146418.html)
Возьмем две высказывательные (пропозициональные) функции:
и
,
.
Обозначим через
произвольное истинное и через
произвольное ложное высказывание, в которое превращается функция
при подстановке вместо
конкретного значения.
Обозначим через
произвольное истинное и через
произвольное ложное высказывание, в которое превращается функция
при подстановке вместо
конкретного значения.
Тогда
для каждого
обе функции
и
превратятся в ложные высказывания
и
соответственно;
для каждого
функция
превратится в ложное высказывание
, а функция
-- в истинное высказывание
;
для каждого
функция
превратится в истинное высказывание
, а функция
-- в ложное высказывание
;
для каждого
обе функции
и
превратятся в истинные высказывания
и
соответственно.
Таким образом, имеем конъюнкции высказываний:
,
,
,
. Эти конъюнкции соответствуют конституентам
.
Обозначим через
и
истинности высказываний, в которые при подстановке вместо
конкретных значений превращаются функции
и
соответственно. Пусть функции
и
принимают значение
, когда функции
и
превращаются в истинные высказывания
и
соответственно, и пусть функции
и
принимают значение
, когда функции
и
превращаются в ложные высказывания
и
соответственно.
Обозначим
просто как
, а
просто как
.
Используем
и
в качестве переменных булевых функций. Схема для записи любой бинарной булевой функции выглядит так:
только в ней нужно в третьем столбце указать, в какой элемент множества
отображается каждая из пар
, и в верхней клетке этого столбца вместо
подставить при
конкретный индекс (от
до
, если пользоваться системой, представленной в статье "Булева функция" в Википедии), например, вот запись функции "прямая импликация":
Парам
соответствуют конъюнкции
,
,
,
и конституенты
:
.
Когда пара отображается в
, соответствующая ей конституента исключаются из множества
, и соответствующая конъюнкция исключаются из списка:
При исключении некоторых конъюнкций из этого списка -- числом от
до
-- получим набор конъюнкций, соответствующий одной из 16 бинарных булевых функций и набору конституент (которые при этом объединяются). То есть получим логическую структуру, соответствующую теоретико-множественной структуре и структуре, представляющей собой одну из бинарных булевых функций. Например,
если исключим первые три конъюнкции (обведем их траурными рамками):
1)
,
2)
,
3)
,
4)
, --
получим набор из одной конъюнкции
, соответствующий булевой функции "конъюнкция" и набору из одной конституенты
-- то есть проведем логическую операцию
("
конъюнкция")
(здесь, конечно, может быть недоразумение, поскольку имеем дело и с конъюнкциями из упомянутого списка и с операцией "конъюнкция"), --
если исключим вторую и третью:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
, --
получим набор из двух конъюнкций
и
, соответствующий булевой функции "эквиваленция" и набору из двух конституент
и
(которые при этом объединяются) -- то есть проведем операцию
("
эквиваленция"),
если исключим все:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
, --
то тем самым проведем операцию
("
"),
если не исключим ни одной:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
, --
проведем операцию
("
").
Таким образом
логическая операция -- где и это высказывательные функции, -- состоит в исключении некоторого числа конъюнкций из списка (1), и результатом этой операции является логическая структура, которая представляет собой набор оставшихся конъюнкций.(Хотя, конечно, можно сказать, что эта операция состоит в выборе некоторых конъюнкций из этого списка.)
Логическая операция
и соответствующая ей булева функция называются одинаково.
Логическая операция и получающиеся в результате ее проведения структуры -- логическая, теоретико-множественная и структура "булева функция" -- называются одинаково.
Здесь
a) логическая структура это набор конъюнкций из списка (1),
b) теоретико-множественная структура это набор конституент из списка "
",
c) структура "булева функция" это булева функция.
Эти три структуры эквивалентны друг другу.
А
a) логическая операция это исключение конъюнкций из списка (1),
b) теоретико-множественная операция это исключение конституент из списка "
",
c) булева операция это отображение пар
в элементы множества
.
Эти три операции эквивалентны друг другу.
Логическая операция это и логическая функция, ее функциональность проявляется в том, что, когда конъюнкция исключается, то это можно представить так, что она отображается в
, а когда не исключается то -- в
.
Таким образом,
здесь логические операции между высказывательными функциями и определены только через конъюнкции и отрицание. Правильно ли я понимаю?
........................
О гипотезе Римана и о юридическом казусе надеюсь написать позже.