2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 19, 20, 21, 22, 23, 24  След.
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение04.04.2024, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4845
Vladimir Pliassov в сообщении #1635321 писал(а):
для логики не имеет значения, на каком основании исключаются конъюнкции, она начинается тогда, когда они уже исключены
Вся суть в том, что можно доказать импликацию, не зная ничего про истинность или ложность её посылки или заключения.
Этим импликация и ценна.
Доказать $A\to B$ можно, сделав логический вывод утверждения $B$ из утверждения $A$ (не зная при этом, верно $A$ или нет).

Конечно, если мы знаем, истинны или ложны утверждения $A$ и $B$, мы можем установить истинность импликации по таблице истинности. Но можем и не знать ничего про истинность $A$ и $B$, но всё равно доказать истинность импликации $A\to B$. Эта истинность нам пригодится, если мы потом всё-таки докажем истинность $A$ - потому что тогда мы сможем сразу сделать вывод, что $B$ тоже истинно. Если же мы опровергнем $A$, то доказательство импликации $A\to B$ окажется бесполезным (но оттого всё равно не перестанет быть верным).

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение05.04.2024, 02:28 
Заслуженный участник


31/12/05
1517
Vladimir Pliassov в сообщении #1635321 писал(а):
Я полагаю (как я уже говорил), что для логики не имеет значения, на каком основании исключаются конъюнкции, она начинается тогда, когда они уже исключены.
Я вообще не понял эту фразу.

1. Верна ли обобщенная гипотеза Римана, сейчас никто не знает (подозревают, что верна, но может оказаться и неверной).
2. Корректен ли детерминированный тест Миллера, в данный момент не доказано (подозревают, что корректен, но может оказаться и некорректным).
3. А вот импликация "если верна обобщенная гипотеза Римана, то детерминированный тест Миллера корректен" доказана (G. L. Miller, “Riemann’s Hypothesis and tests for primality,” J. Computer and System Sciences 13 (1976), 300–317.)

И в принципе может оказаться, что обобщенная гипотеза Римана неверна, а детерминированный тест Миллера все же корректен. Эта ситуация совершенно аналогична истинности импликации $(500 < 10) \to (500 > 100)$, которую я не так давно доказывал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение05.04.2024, 08:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10855
tolstopuz в сообщении #1635357 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1635321 писал(а):
Я полагаю (как я уже говорил), что для логики не имеет значения, на каком основании исключаются конъюнкции, она начинается тогда, когда они уже исключены.
Я вообще не понял эту фразу.

Может быть я ошибаюсь, но я понял словосочетание "исключается конъюнкция" таким образом, что:
epros в сообщении #1635322 писал(а):
из $GRH \land \neg A$ выводится $\bot$

что с моей точки зрения равносильно тому, что:
epros в сообщении #1635322 писал(а):
из $GRH$ выводится $A$

Это было пояснение для Vladimir Pliassov к моему предыдущему комментарию.

-- Пт апр 05, 2024 10:10:01 --

Vladimir Pliassov, вот Вам пример юридического казуса. Представьте, что Вас в средние века схватила инквизиция и говорит: "Признай, что если ты применял колдовство, то по нашим законам ты должен быть подвергнут аутодафе". С точки зрения логики, каков должен быть Ваш ответ в своё оправдание?

(ответ)

Ex falso quodlibet

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение07.04.2024, 15:26 


21/04/19
1232
1.

tolstopuz в сообщении #1635357 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1635321 писал(а):
Я полагаю (как я уже говорил), что для логики не имеет значения, на каком основании исключаются конъюнкции, она начинается тогда, когда они уже исключены.
Я вообще не понял эту фразу.

Здесь я имел в виду, что когда мы имеем дело с бинарными логическими операциями, то берем два высказывания $p$ и $q$ и к ним контрвысказывания $\neg p$ и $\neg q$, составляем из них четыре конъюнкции

$$\begin {matrix}
1.&\neg p\wedge \neg q,\\
\\
2.&\neg p\wedge q,\\
\\
3.&p\wedge \neg q,\\
\\
4.&p\wedge q,
\end {matrix} \eqno (1)$$
и пока не исключены некоторые конъюнкции из этого списка -- числом от $0$ до $4$ -- логическая структура не определяется, а как только они исключены, она определяется (об этом подробнее ниже). На каком же основании они исключаются, для логики безразлично.

Например, ситуация с выбрасыванием вазы из окна.

Имеем четыре утверждения:

$p=\text {, $\neg p=\text {, $q=\text {, $\neg q=\text {, --

и список (1) конъюнкций.

Любую из них можно исключить на каком-то житейском основании, например, первую: "Да ничего ее не выбросят, и она не разобьется, что вы мне тут!.." Здесь возникает вопрос: тот, кто это говорит, правда думает, что вазу не выбросят, или у него коварный замысел?

Но логика этим вопросом не задается, она ждет, когда решат, исключить эту конъюнкцию или нет, и когда решат, что исключить -- и только ее одну, -- логика ее исключит, то есть проведет операцию "дизъюнкция".

Тут, правда, можно сказать, что да, логическая структура определяется после исключения конъюнкций, но логика начинается уже с их исключения, а не после, потому что их исключение это логическая операция, в результате которой определяется логическая структура, и с этим я согласен, можно и так смотреть, и это будет правильнее, теперь я это вижу (за эти несколько дней мои представления развились).

В данном случае в результате логической операции "дизъюнкция" мы получили логическую структуру, которая тоже называется "дизъюнкция". То есть логическая операция и структура, которая получается в результате ее проведения, называются одинаково.

Тут встает еще один вопрос: всегда ли мы можем произвольно решать, какие конъюнкции исключать? Нет, не всегда. В случае с вазой можем, потому что вазы бывают разные: крепкие и некрепкие, -- так что если ваза упадет, то, может быть, не разобьется, а, может быть, разобьется.

Или из множества $\mathbb N$ натуральных чисел мы можем по произволу исключить все числа, которые делятся на $2$, но не делятся на $3$ -- и при этом исключить соответствующую конъюнкцию, -- и тогда из оставшихся любое число, которое делится на $2$, будет делиться и на $3$. А можем их не исключать, и тогда не будет такого, что если число делится на $2$, то оно делится и на $3$. То есть можем исключать, а можем не исключать.

Но вот если мы возьмем деление чисел на $4$ и на $2$, то соответствующую конъюнкцию нам придется исключить не по нашему произволу, а по объективной необходимости: если число делится на $4$, то оно не может не делиться на $2$.

Почему я так много говорю об исключении конъюнкций, попытаюсь объяснить ниже. При этом попробую увязать логику, теорию множеств и булевы функции.

2.

Цитата:
Говорят, что объект $a$ удовлетворяет высказывательной функции $\Phi (x)$, если высказывание, полученное из $\Phi (x)$ подстановкой вместо аргумента $x$ названия предмета $a$, т. е. высказывание $\Phi (a)$, истинно.

https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 55

При подстановке в $\Phi (x)$ вместо $x$ всевозможных значений $x$ получим множество $A$ высказываний, оно разбито на два непересекающихся подмножества: $A_1$, которому принадлежат все истинные высказывания, и $A_2$, которому принадлежат все ложные высказывания. Обозначим через $p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_1 (A_2),$ и через $\neg p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_2$ ($A_1$).

Цитата:
Высказывание не $p$ называем отрицанием $p$ и записываем в виде $\neg p$. Оно истинно, если $p$ ложно, и ложно, если $p$ истинно. Таким образом, отрицание $p$ имеет логическое значение, противоположное логическому значению $p$.

https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 12

3.

Снова возьмем следующий пример.

Пусть мы имеем множество $\mathbb N$ натуральных чисел (включая $0$). Каждый элемент этого множества либо делится на $2$, либо нет, а также либо делится на $3$, либо нет. При этом $\mathbb N$ разбивается на четыре непересекающихся подмножества:

1) $N_1$, элементами которого являются все числа, которые не делятся ни на $2$, ни на $3$,

2) $N_2$, элементами которого являются все числа, которые не делятся на $2$ и при этом делятся на $3$,

3) $N_3$, элементами которого являются все числа, которые делятся на $2$, но не делятся на $3$,

4) $N_4$, элементами которого являются все числа, которые делятся на $2$ и на $3$.

Множества $N_1, N_2, N_3, N_4$ представляют собой конституенты.

(О конституентах можно посмотреть здесь https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 29 и здесь topic146418.html)

Возьмем две высказывательные (пропозициональные) функции: $\mathcal P(x)= и $\mathcal Q(x)=, $x\in \mathbb N$.

Обозначим через $p$ произвольное истинное и через $\neg p$ произвольное ложное высказывание, в которое превращается функция $\mathcal P(x)$ при подстановке вместо $x$ конкретного значения.

Обозначим через $q$ произвольное истинное и через $\neg q$ произвольное ложное высказывание, в которое превращается функция $\mathcal Q(x)$ при подстановке вместо $x$ конкретного значения.

Тогда

для каждого $x\in N_1$ обе функции $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ превратятся в ложные высказывания $\neg p$ и $\neg q$ соответственно;

для каждого $x\in N_2$ функция $\mathcal P(x)$ превратится в ложное высказывание $\neg p$, а функция $\mathcal Q(x)$ -- в истинное высказывание $q$;

для каждого $x\in N_3$ функция $\mathcal P(x)$ превратится в истинное высказывание $p$, а функция $\mathcal Q(x)$ -- в ложное высказывание $\neg q$;

для каждого $x\in N_4$ обе функции $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ превратятся в истинные высказывания $p$ и $q$ соответственно.

Таким образом, имеем конъюнкции высказываний: $(\neg p\wedge \neg q)$, $(\neg p\wedge  q)$, $(p\wedge  \neg q)$, $(p\wedge  q)$. Эти конъюнкции соответствуют конституентам $N_1, N_2, N_3, N_4$.

Обозначим через $P(x)$ и $Q(x)$ истинности высказываний, в которые при подстановке вместо $x$ конкретных значений превращаются функции $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ соответственно. Пусть функции $P(x)$ и $Q(x)$ принимают значение $1$, когда функции $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ превращаются в истинные высказывания $p$ и $q$ соответственно, и пусть функции $P(x)$ и $Q(x)$ принимают значение $0$, когда функции $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ превращаются в ложные высказывания $\neg p$ и $\neg q$ соответственно.

Обозначим $P(x)$ просто как $P$, а $Q(x)$ просто как $Q$.

Используем $P$ и $Q$ в качестве переменных булевых функций. Схема для записи любой бинарной булевой функции выглядит так:

$$\begin {matrix}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| } 
 \hline
 P&Q& f_i(P, Q)\\ 
 \hline
 0& 0& \\ 
 \hline
 0& 1&  \\ 
 \hline
 1& 0&  \\ 
 \hline
 1& 1&  \\ 
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end {matrix} \eqno (2)$$
только в ней нужно в третьем столбце указать, в какой элемент множества $\{0, 1\}$ отображается каждая из пар $(0, 0),(0, 1),(1, 0),(1, 1)$, и в верхней клетке этого столбца вместо $i$ подставить при $f$ конкретный индекс (от $0$ до $15$, если пользоваться системой, представленной в статье "Булева функция" в Википедии), например, вот запись функции "прямая импликация":

$$\begin {matrix}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |c|c|c| } 
 \hline
 P&Q&f_{13}(P, Q)\\ 
 \hline
 0& 0& 1\\ 
 \hline
 0& 1& 1 \\ 
 \hline
 1& 0& 0 \\ 
 \hline
 1& 1& 1 \\ 
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end {matrix} \eqno (3)$$
Парам $(0, 0),(0, 1),(1, 0),(1, 1)$ соответствуют конъюнкции $(\neg p\wedge \neg q)$, $(\neg p\wedge  q)$, $(p\wedge  \neg q)$, $(p\wedge  q)$ и конституенты $N_1, N_2, N_3, N_4$:

$(0, 0)\sim (\neg p\wedge \neg q)\sim N_1$,

$(0, 1)\sim (\neg p\wedge  q)\sim N_2$,

$(1, 0)\sim (p\wedge  \neg q)\sim N_3$,

$(1, 1)\sim (p\wedge  q)\sim N_4$.

Когда пара отображается в $0$, соответствующая ей конституента исключаются из множества $\mathbb N$, и соответствующая конъюнкция исключаются из списка:

$$\begin {matrix}
1.&\neg p\wedge \neg q,\\
\\
2.&\neg p\wedge q,\\
\\
3.&p\wedge \neg q,\\
\\
4.&p\wedge q.
\end {matrix} \eqno (1)$$

При исключении некоторых конъюнкций из этого списка -- числом от $0$ до $4$ -- получим набор конъюнкций, соответствующий одной из 16 бинарных булевых функций и набору конституент (которые при этом объединяются). То есть получим логическую структуру, соответствующую теоретико-множественной структуре и структуре, представляющей собой одну из бинарных булевых функций. Например,

если исключим первые три конъюнкции (обведем их траурными рамками):

1) $\boxed {\neg p\wedge \neg q}$,

2) $\boxed {\neg p\wedge q}$,

3) $\boxed {p\wedge \neg q}$,

4) $p\wedge q$, --

получим набор из одной конъюнкции $p\wedge q$, соответствующий булевой функции "конъюнкция" и набору из одной конституенты $N_4$ -- то есть проведем логическую операцию $\mathcal P(x)\wedge \mathcal Q(x)$ ("конъюнкция")

(здесь, конечно, может быть недоразумение, поскольку имеем дело и с конъюнкциями из упомянутого списка и с операцией "конъюнкция"), --

если исключим вторую и третью:

1) $\neg p\wedge \neg q$,

2) $\boxed {\neg p\wedge q}$,

3) $\boxed {p\wedge \neg q}$,

4) $p\wedge q$, --

получим набор из двух конъюнкций $\neg p\wedge \neg q$ и $p\wedge q$, соответствующий булевой функции "эквиваленция" и набору из двух конституент $N_1$ и $N_4$ (которые при этом объединяются) -- то есть проведем операцию $\mathcal P(x)\equiv \mathcal Q(x)$ ("эквиваленция"),

если исключим все:

1) $\boxed {\neg p\wedge \neg q}$,

2) $\boxed {\neg p\wedge q}$,

3) $\boxed {p\wedge \neg q}$,

4) $\boxed {p\wedge q}$, --

то тем самым проведем операцию $\mathcal P(x) 0 \mathcal Q(x)$ ("$\textbf 0$"),

если не исключим ни одной:

1) $\neg p\wedge \neg q$,

2) $\neg p\wedge q$,

3) $p\wedge \neg q$,

4) $p\wedge q$, --

проведем операцию $\mathcal P(x) 1 \mathcal Q(x)$ ("$\textbf 1$").

Таким образом

логическая операция $\mathcal P(x)\circ \mathcal Q(x)$ -- где $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ это высказывательные функции, -- состоит в исключении некоторого числа конъюнкций из списка (1), и результатом этой операции является логическая структура, которая представляет собой набор оставшихся конъюнкций.

(Хотя, конечно, можно сказать, что эта операция состоит в выборе некоторых конъюнкций из этого списка.)

Логическая операция $\mathcal P(x)\circ \mathcal Q(x)$ и соответствующая ей булева функция называются одинаково.

Логическая операция и получающиеся в результате ее проведения структуры -- логическая, теоретико-множественная и структура "булева функция" -- называются одинаково.

Здесь

a) логическая структура это набор конъюнкций из списка (1),

b) теоретико-множественная структура это набор конституент из списка "$N_1, N_2, N_3, N_4$ ",

c) структура "булева функция" это булева функция.

Эти три структуры эквивалентны друг другу.

А

a) логическая операция это исключение конъюнкций из списка (1),

b) теоретико-множественная операция это исключение конституент из списка "$N_1, N_2, N_3, N_4$ ",

c) булева операция это отображение пар $(0, 0),(0, 1),(1, 0),(1, 1)$ в элементы множества $\{0, 1\}$.

Эти три операции эквивалентны друг другу.

Логическая операция это и логическая функция, ее функциональность проявляется в том, что, когда конъюнкция исключается, то это можно представить так, что она отображается в $0$, а когда не исключается то -- в $1$.

Таким образом, здесь логические операции между высказывательными функциями $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ определены только через конъюнкции и отрицание.

Правильно ли я понимаю?

........................

О гипотезе Римана и о юридическом казусе надеюсь написать позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение08.04.2024, 08:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10855
Vladimir Pliassov, не надоело Вам постить длинные простыни ни о чём?

Vladimir Pliassov в сообщении #1635592 писал(а):
и пока не исключены некоторые конъюнкции из этого списка -- числом от $0$ до $4$ -- логическая структура не определяется

Логическая структура чего?

-- Пн апр 08, 2024 09:35:28 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1635592 писал(а):
Обозначим через $p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_1 (A_2),$ и через $\neg p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_2$ ($A_1$).

Кстати, это обозначения, вводящие в заблуждение. Потому что $\neg p$ - это не произвольное ложное высказывание, а именно отрицание высказывания $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение08.04.2024, 20:06 


21/04/19
1232
1.

epros в сообщении #1635638 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1635592 писал(а):
и пока не исключены некоторые конъюнкции из этого списка -- числом от $0$ до $4$ -- логическая структура не определяется

Логическая структура чего?

Логическая структура не чего-то, а просто логическая структура. Имеется логическая структура (логическая конструкция), состоящая из нескольких конъюнкций -- числом от $0$ до $4$ -- из списка

$$\begin {matrix}
1.&\neg p\wedge \neg q,\\
\\
2.&\neg p\wedge q,\\
\\
3.&p\wedge \neg q,\\
\\
4.&p\wedge q,
\end {matrix} \eqno (1)$$
Пусть это будет структура

$$\begin {matrix}
1.&\neg p\wedge \neg q,\\
\\
2.&\neg p\wedge q,\\
\\
3.&\boxed {p\wedge \neg q},\\
\\
4.&p\wedge q,
\end {matrix} \eqno (2)$$
из которой исключена третья конъюнкция, она называется "прямая импликация". Ее можно изучать, в ней можно обнаружить

прямую однозначную импликацию $p\to q$,

обратную однозначную импликацию $\neg q\to \neg p$,

прямую двузначную импликацию $\neg p\to (\neg q\oplus q)$,

обратную двузначную импликацию $q\to (\neg p\oplus p)$,

дизъюнкцию $\neg p\vee q$ (а дизъюнкций $(\neg p\vee \neg q)$, $(p\vee \neg q)$ и $(p\vee q)$ в ней нет).

Интересно, что если мы возьмем структуру

$$\begin {matrix}
1.&\boxed {\neg p\wedge \neg q},\\
\\
2.&\neg p\wedge q,\\
\\
3.&p\wedge \neg q,\\
\\
4.&p\wedge q,
\end {matrix} \eqno (3)$$
из которой исключена первая конъюнкция и которая называется "дизъюнкция", то в ней можно обнаружить те же связки (то есть в принципе те же, но в общем случае на других операндах):

прямую однозначную импликацию $\neg p\to q$,

обратную однозначную импликацию $\neg q\to p$,

прямую двузначную импликацию $p\to (\neg q\oplus q)$,

обратную двузначную импликацию $q\to (\neg p\oplus p)$,

дизъюнкцию $p\vee q$ (а дизъюнкций $(\neg p\vee \neg q)$, $(\neg p\vee q)$ и $(p\vee \neg q)$ в ней нет).

И те же связки обнаруживаются в структурах

$$\begin {matrix}
1.&\neg p\wedge \neg q,\\
\\
2.&\boxed {\neg p\wedge q},\\
\\
3.&p\wedge \neg q,\\
\\
4.&p\wedge q,
\end {matrix} \eqno (4)$$
-- "обратная импликация", и

$$\begin {matrix}
1.&\neg p\wedge \neg q,\\
\\
2.&\neg p\wedge q,\\
\\
3.&p\wedge \neg q,\\
\\
4.&\boxed {p\wedge q},
\end {matrix} \eqno (5)$$
-- "штрих Шеффера".

2.

epros в сообщении #1635638 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1635592 писал(а):
Обозначим через $p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_1 (A_2),$ и через $\neg p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_2$ ($A_1$).

Кстати, это обозначения, вводящие в заблуждение. Потому что $\neg p$ - это не произвольное ложное высказывание, а именно отрицание высказывания $p$.

По-моему, заблуждения быть не должно, потому что я написал: "Обозначим через $p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_1 (A_2)$", -- то есть рассматривается два варианта: $p\in A_1$ и $p\in A_2$. Аналогично и соответственно с $\neg p$.

3.

Mikhail_K в сообщении #1635324 писал(а):
Вся суть в том, что можно доказать импликацию, не зная ничего про истинность или ложность её посылки или заключения.
Этим импликация и ценна.
Доказать $A\to B$ можно, сделав логический вывод утверждения $B$ из утверждения $A$ (не зная при этом, верно $A$ или нет).

Конечно, если мы знаем, истинны или ложны утверждения $A$ и $B$, мы можем установить истинность импликации по таблице истинности. Но можем и не знать ничего про истинность $A$ и $B$, но всё равно доказать истинность импликации $A\to B$. Эта истинность нам пригодится, если мы потом всё-таки докажем истинность $A$ - потому что тогда мы сможем сразу сделать вывод, что $B$ тоже истинно. Если же мы опровергнем $A$, то доказательство импликации $A\to B$ окажется бесполезным (но оттого всё равно не перестанет быть верным).

Спасибо! Попробую это проиллюстрировать на примере

tolstopuz в сообщении #1635249 писал(а):
1. $GRH$ верна и $A$ тоже верна. Ожидаемый с нетерпением вариант.
2. $GRH$ неверна и $A$ тоже неверна. Обидно, но не исключено.
3. $GRH$ неверна, а $A$ тем не менее верна. Вполне возможно. Более того, для некоторых таких $A$ уже есть альтернативные доказательства, не требующие $GRH$, и они перестали быть гипотезами и стали теоремами.
4. $GRH$ верна, а $A$ неверно. Это невозможно, потому что импликация $GRH\to A$ доказана. Даже опубликована в журнале и проверена рецензентами.

Пусть $GRH$ утверждает, что число $\lambda$ делится на $4$, а $A$ утверждает, что число $\lambda$ делится на $2$ (число $\lambda$ пока не найдено).

Возьмем высказывания $p= и $q= и к ним контрвысказывания $\neg p= и $\neg q=. Составим из них четыре конъюнкции:

$$\begin {matrix}
1.&\neg p\wedge \neg q,\\
\\
2.&\neg p\wedge q,\\
\\
3.&p\wedge \neg q,\\
\\
4.&p\wedge q,
\end {matrix} \eqno (1)$$
Мы не знаем, какие из этих четырех высказываний истинны, а какие ложны. Но знаем, что

tolstopuz в сообщении #1635249 писал(а):
импликация $GRH\to A$ доказана

так как доказано, что если число делится на $4$, то оно делится и на $2$.

Отсюда следует, что третья конъюнкция должна быть исключена (правда, это надо доказать):

$$\begin {matrix}
1.&\neg p\wedge \neg q,\\
\\
2.&\neg p\wedge q,\\
\\
3.&\boxed {p\wedge \neg q},\\
\\
4.&p\wedge q.
\end {matrix} \eqno (2)$$

(Исключается она как невозможная, а не как ложная: если выяснится, какие высказывания являются истинными, а какие ложными, то, например, либо первая, либо третья конъюнкция окажется ложной, однако мы не исключаем ни ту, ни другую.

Но, разумеется, конъюнкция $p\wedge \neg q$ является не только невозможной, но и ложной.)

Поскольку третья конъюнкция исключена, имеем не только прямую однозначную импликацию $p\to q$, но и прямую двузначную импликацию $\neg p\to (\neg q\oplus q)$.

То есть из того, что $GRH$ верна, следует, что и $A$ верна, а из того, что $GRH$ неверна, следует, что либо $A$ верна, либо $A$ неверна.

Другими словами, из того, что $\lambda$ делится на $4$, следует, что $\lambda$ делится и на $2$, а из того, что $\lambda$ не делится на $4$, следует, что $\lambda$ либо делится на $2$, либо нет.

Тут мне хотелось бы сказать, что, по-моему, выражение "двузначная импликация " может иметь применение, и что здесь выражение $\neg p\to (\neg q\oplus q)$ является верным, а выражения $\neg p\to (\neg q\wedge q)$ и $\neg p\to (\neg q\vee q)$ были бы неверными.

Что же касается выражений $(\neg p\to \neg q)$ и $(\neg p\to q)$, то, по-моему, они здесь тоже неверны, потому что из того, что число не делится на $4$, следует не то, что оно делится на $2$, или то, что оно не делится на $2$, а то, что оно либо делится на $2$, либо нет.

То есть (когда определено, какие высказывания истинны, а какие ложны) вместо двух истинных импликаций "из лжи следует ложь" и "из лжи следует истина" должна быть одна двузначная истинная импликация "из лжи следует либо ложь, либо истина".

................

Над ответом инквизиции думаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение08.04.2024, 21:47 
Заслуженный участник


31/12/05
1517
Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):
То есть из того, что $GRH$ верна, следует, что и $A$ верна
Это и доказано в статье.
Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):
а из того, что $GRH$ неверна, следует, что либо $A$ верна, либо $A$ неверна.
Высказывание "либо $A$ верна, либо $A$ неверна" тождественно истинно, поэтому высказывание "из того, что $GRH$ неверна, следует, что либо $A$ верна, либо $A$ неверна" также тождественно истинно. Вы считаете, что для вящей убедительности к статье стоит добавить тождественно истинное высказывание?
Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):
То есть (когда определено, какие высказывания истинны, а какие ложны) вместо двух истинных импликаций "из лжи следует ложь" и "из лжи следует истина" должна быть одна двузначная истинная импликация "из лжи следует либо ложь, либо истина".
Это высказывание тождественно истинно. Вы предлагаете добавлять к импликации ритуальное истинное высказывание? Типа японского "дэсу"?

-- Пн апр 08, 2024 22:23:06 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1635592 писал(а):
Таким образом, здесь логические операции между высказывательными функциями $\mathcal P(x)$ и $\mathcal Q(x)$ определены только через конъюнкции и отрицание.
Вся эта многостраничная графомания заменяется одним словом: СДНФ (по-английски два слова - full DNF).

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение09.04.2024, 08:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10855
Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):
Логическая структура не чего-то, а просто логическая структура.

Продолжаем сочинять собственные бредовые понятия и пытаемся втащить их в логику.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):
По-моему, заблуждения быть не должно, потому что я написал: "Обозначим через $p$ произвольное высказывание, принадлежащее $A_1 (A_2)$", -- то есть рассматривается два варианта: $p\in A_1$ и $p\in A_2$. Аналогично и соответственно с $\neg p$.

Попытка введения в заблуждение, очевидно, является злостной, ибо автор настаивает на нетрадиционном использовании стандартных обозначений.

Вот у нас импликация $x<10 \to x>100$. Приведите для неё пример "произвольного" высказывания $p$ и к нему в пару - $\neg p$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):
Исключается она как невозможная, а не как ложная:

Очередная попытка втащить в логику собственные понятия.

Никакого другого смысла "исключения высказывания" в классической логике нет, кроме доказательства его ложности. "Невозможность" в классической логике означает в точности то же самое, что ложность. Давайте не будем пытаться изобретать модальную логику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение09.04.2024, 14:09 


21/04/19
1232
Я говорю, что из трех конъюнкций $(\neg p\wedge \neg q)$, $(\neg p\wedge q)$ и $(p\wedge q)$ (взятых вместе)

следуют импликации $(p\to q)$ и $(\neg q\to \neg p)$,

и не следуют импликации $(\neg p\to \neg q)$, $(\neg p\to q)$, $(q\to \neg p)$ и $(q\to p)$.

[По-моему, это хорошо видно из списка

$$\begin {matrix}
1.&\neg p\wedge \neg q,\\
\\
2.&\neg p\wedge q,\\
\\
3.&\boxed {p\wedge \neg q},\\
\\
4.&p\wedge q,
\end {matrix} \eqno (2)$$
(Здесь исключена третья конъюнкция.)]

Разве это не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение09.04.2024, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9152
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1635819 писал(а):
Я говорю, что из трех конъюнкций $(\neg p\wedge \neg q)$, $(\neg p\wedge q)$ и $(p\wedge q)$ (взятых вместе)
Что такое "взятых вместе"?
Из $(\neg p\wedge \neg q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge q)$ - да, выводится $p \rightarrow q$ и не выводится $p \rigtharrow \neg q$.
Из $(\neg p\wedge \neg q) \wedge (\neg p\wedge q) \wedge (p\wedge q)$ выводится что угодно

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение09.04.2024, 15:25 


27/02/24

286
Vladimir Pliassov в сообщении #1635819 писал(а):
Я говорю, что из трех конъюнкций $(\neg p\wedge \neg q)$, $(\neg p\wedge q)$ и $(p\wedge q)$ (взятых вместе)

следуют импликации $(p\to q)$ и $(\neg q\to \neg p)$,

и не следуют импликации $(\neg p\to \neg q)$, $(\neg p\to q)$, $(q\to \neg p)$ и $(q\to p)$.

[По-моему, это хорошо видно из списка

$$\begin {matrix}
1.&\neg p\wedge \neg q,\\
\\
2.&\neg p\wedge q,\\
\\
3.&\boxed {p\wedge \neg q},\\
\\
4.&p\wedge q,
\end {matrix} \eqno (2)$$
(Здесь исключена третья конъюнкция.)]

Разве это не так?



Да, исключена, если ее добавить: $(\neg p\wedge \neg q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$ , то никакого вывода $p \rightarrow q$
уже не получится, но если заменить на вторую: $(\neg p\wedge \neg q)  \vee (p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$, то получится $q \rightarrow p$

Какова Ваша мысль, что Вы хотели сказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение09.04.2024, 18:01 


21/04/19
1232
Alpha AXP в сообщении #1635825 писал(а):
Да, исключена <третья конъюнкция>, если ее добавить: $(\neg p\wedge \neg q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$ , то никакого вывода $p \rightarrow q$
уже не получится, но если заменить на вторую: $(\neg p\wedge \neg q)  \vee (p\wedge q) \vee (p\wedge \neg q)$, то получится $q \rightarrow p$

Именно это я имел в виду!

mihaild в сообщении #1635820 писал(а):
Что такое "взятых вместе"?

Да, что такое "взятых вместе"? Я задал этот вопрос сам себе, потому что не очень хорошо представлял, что это такое. Но подумав, решил, что это дизъюнкция $(\neg p\wedge \neg q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge q)$, которая соответствует объединению конституент $(\bar{p} \cap \bar{q}) \cup (\bar{p} \cap q) \cup (p \cap q)$:

Изображение
mihaild в сообщении #1635820 писал(а):
Из $(\neg p\wedge \neg q) \vee (\neg p\wedge q) \vee (p\wedge q)$ - да, выводится $p \rightarrow q$ и не выводится $p \rightarrow \neg q$.

Для полноты картины скажу, что

выводятся импликации $(p\to q)$ и $(\neg q\to \neg p)$,

и не выводятся импликации $(\neg p\to \neg q)$, $(\neg p\to q)$, $(q\to \neg p)$ и $(q\to p)$.

Но ограничимся импликацией $(p\to q)$, которая выводится, и импликациями $(\neg p\to \neg q)$ и $(\neg p\to q)$, которые не выводятся.

Alpha AXP в сообщении #1635825 писал(а):
Какова Ваша мысль, что Вы хотели сказать?

Приведу пример.

Пусть $\lambda$ это некоторое фиксированное натуральное число.

Возьмем высказывания $p= и $q= и к ним контрвысказывания $\neg p= и $\neg q=.

Конъюнкция $p\wedge \neg q$ исключается, потому что если натуральное число делится на $4$, то оно не может не делиться на $2$. Поэтому

из того, что $\lambda$ делится на $4$, следует, что $\lambda$ делится на $2$.

При этом

из того, что $\lambda$ не делится на $4$, не следует, что $\lambda$ не делится на $2$,

и

из того, что $\lambda$ не делится на $4$, не следует, что $\lambda$ делится на $2$.

Итак, вопрос:

если импликации $(\neg p\to \neg q)$ и $(\neg p\to q)$ не выводятся, то почему о них говорят (так, как если бы они выводились)?

Пусть $p$ и $q$ -- истинные высказывания, тогда $(\neg p\to \neg q)$ это импликация типа "из лжи следует ложь", а $(\neg p\to q)$ это импликация типа "из лжи следует правда".

Но почему говорят, что ложь и правда "следуют", если эти импликации не выводятся?

tolstopuz в сообщении #1635746 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1635722 писал(а):
То есть (когда определено, какие высказывания истинны, а какие ложны) вместо двух истинных импликаций "из лжи следует ложь" и "из лжи следует истина" должна быть одна двузначная истинная импликация "из лжи следует либо ложь, либо истина".
Это высказывание тождественно истинно. Вы предлагаете добавлять к импликации ритуальное истинное высказывание? Типа японского "дэсу"?

Нет, я просто не вижу, к чему добавлять это ритуальное истинное высказывание: импликации ведь нет (ни той, ни другой -- они не выводятся).

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение09.04.2024, 18:08 
Заслуженный участник


31/12/05
1517
Vladimir Pliassov в сообщении #1635843 писал(а):
Нет, я просто не вижу, к чему добавлять это ритуальное истинное высказывание: импликации ведь нет (ни той, ни другой -- они не выводятся).
Например, к импликации $GRH\to A$, доказанной в статье. Или вам наконец-то без дополнительных заклинаний, подпрыгиваний и подмигиваний понятно, что она эквивалентна $GRH\wedge A\vee\neg GRH\wedge\neg A\vee\neg GRH\wedge A$ и дальнейшие пояснения к ней не требуются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение09.04.2024, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9152
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1635843 писал(а):
$(\neg p\cap \neg q) \vee (\neg p\cap q) \vee (p\cap q)$:
Тогда уж $(\bar{p} \cap \bar{q}) \cup (\bar{p} \cap q) \cup (p \cap q)$.
Vladimir Pliassov в сообщении #1635843 писал(а):
если импликации $(\neg p\to \neg q)$ и $(\neg p\to q)$ не выводятся, то почему о них говорят (так, как если бы они выводились)?
Кто говорит так, как если бы они выводились? О них просто говорят. Можно говорить и о формулах, которые не выводятся.
Vladimir Pliassov в сообщении #1635843 писал(а):
Но почему говорят, что ложь и правда "следуют", если эти импликации не выводятся?
Потому что формулы $\bot \rightarrow \top$ и $(\lambda \equiv 0 \pmod 2) \rightarrow (\lambda \equiv 0 \pmod 4)$ - это разные формулы.
Vladimir Pliassov в сообщении #1635843 писал(а):
Нет, я просто не вижу, к чему добавлять это ритуальное истинное высказывание: импликации ведь нет
Нет понятия "импликации нет". Есть понятия "импликация истинна", "импликация ложна", "импликация общезначима" (в немного разных контекстах).

(Оффтоп)

Понятие "импликация есть" на самом деле есть в модальной логике, но оно там имеет строгий смысл, и Вам это не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Импликация и другие логические связки
Сообщение09.04.2024, 23:03 


27/02/24

286
Vladimir Pliassov
Не это ли совпадение вводило Вас в заблуждение из-за которого Вы исключали именно третью конъюнкцию?
$$\begin {matrix}
1.&(\neg p\wedge \neg q ) \rightarrow (\bot \rightarrow \bot) \\
\\
2.&(\neg p\wedge q) \rightarrow (\bot \rightarrow \top)\\
\\
3.&\boxed {(p\wedge \neg q) \rightarrow (\top \rightarrow \bot)}\\
\\
4.&(p\wedge q) \rightarrow (\top \rightarrow \top)
\end {matrix} $$

Правая сторона получается из левой путем замены конъюнкции на импликацию.

1. Ложь и ложь влекут ложь, влекущую ложь.
2. Ложь и истина влекут ложь, влекущую истину.
3. Истина и ложь влекут истину, влекущую ложь.
4. Истина и истина влекут истину, влекущую истину.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 356 ]  На страницу Пред.  1 ... 19, 20, 21, 22, 23, 24  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group