2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Я предполагаю, что это учебная задача и в задании указан метод: метод характеристик, частным случаем которого является метод продолжения (если задача сводится к задаче с однородными граничными условиями, Дирихле или Неймана -- или на одном конце Д., на втором Н.), или метод Фурье.

Какой лучше? Если интересует решение при небольших $t$ то метод характеристик, если при больших--то метод Фурье.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение06.04.2024, 10:31 


10/06/13
101
svv
Правильно я понимаю, задача неразрешима т.к. возникает противоречие в условиях?

-- 06.04.2024, 11:58 --

Red_Herring
Интересует метод Фурье конкретно для этой задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение06.04.2024, 11:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Antichny в сообщении #1635487 писал(а):
svv
Правильно я понимаю, задача неразрешима т.к. возникает противоречие в условиях?

Решение не будет иметь непрерывных первых производных (противоречие в условиях возникает только если предполагать непрерывность первых производных), и разрывы будут там, куда указывает метод характеристик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение06.04.2024, 11:14 


10/06/13
101
Red_Herring
Тогда как решить эту задачу методом Фурье?

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение06.04.2024, 11:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Antichny в сообщении #1635491 писал(а):
Тогда как решить эту задачу методом Фурье?
Ну вам же GAA указал на ваши ошибки, а вы упорствуете в ереси. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение06.04.2024, 14:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Antichny
Red_Herring объяснил, а я повторю:
svv в сообщении #1635454 писал(а):
Но всё равно производная $U_t$ будет разрывной.
Это не страшно для гиперболического уравнения, нужно только расширить класс допустимых решений. Но про гладкие решения придётся забыть.
Решение непрерывное, кусочно гладкое.


Red_Herring в сообщении #1635468 писал(а):
Если интересует решение при небольших $t$ то метод характеристик
Конкретно в данной задаче легко получается простой вид для решения во всей области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение06.04.2024, 15:32 


10/06/13
101
У меня получилось такое $U(x,t)=cost+t+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{\sqrt{\lambda_{n}}}cos(\sqrt{\lambda_{n}}x)sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение07.04.2024, 00:42 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Antichny в сообщении #1635443 писал(а):
$V(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}T_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}-\frac{1}{\sqrt{\lambda_n}}cos(\sqrt{\lambda_{n}}x)sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$
Тогда $V_t(x, 0)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} -\cos \sqrt{\lambda_n}x$. Будет ли ряд сходится к $-1$?

У меня (на скорую руку) разложение $-1$ по собственным функциям имеет вид
$-1 = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2 \frac {(-1)^n \cos\sqrt{\lambda_n} x} {\sqrt{\lambda_n}}.$ (1)
Приравнивая производную $V_t(x, 0)$ (с неизвестными коэффициентами $B_n$) этому разложению в ряд
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \sqrt{\lambda_n} B_n \cos \sqrt{\lambda_n} x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2 \frac {(-1)^n \cos\sqrt{\lambda_n} x} {\sqrt{\lambda_n}},$
получаем $B_n = 2 \frac {(-1)^n} {\lambda_n}$.

Как быстро сходится ряд (1) к своему значению? Если брать конечный верхний предел суммы $N$ равным 10, 100, 1000, то будем наблюдать колебания вблизи $x=1$ (даже при достаточно больших значениях $N$). С ходу кажется, что для больших значений $x$ (т.е. $x$ близких к единице) как-то не очень перспективно использовать метод Фурье для практических вычислений.
Вложение:
_neg1.PNG
_neg1.PNG [ 13.57 Кб | Просмотров: 0 ]

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение07.04.2024, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Да, пока что результат неправильный.
У меня получается
$V(x,t)=1-\left|2\left\{\frac{t-1-x}{4}\right\}-1\right|-\left|2\left\{\frac{t-1+x}{4}\right\}-1\right|,$
где фигурные скобки обозначают дробную часть:
$\{t\}=t-\lfloor t\rfloor = t-\operatorname{floor}(t)$
Формулы у нас, конечно, совпадать не должны, т.к. методы совсем разные, но численно должно быть хотя бы примерное равенство, а его нет.

Вот такая получается функция $V(x,t)$, простая и понятная. Переменная $x\in[-1;1]$, так красивее. Все участки, которые кажутся плоскими — плоские.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение07.04.2024, 15:58 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Нет, для $V(x,t)$ сходимость быстрая. Поэтому численно равенство вроде наблюдается. Для сравнения , мне кажется, проще строить "сечения". Ниже зависимости $V$ от $x$ для нескольких моментов времени.
Вложение:
V_ti.PNG
V_ti.PNG [ 15.19 Кб | Просмотров: 0 ]
А вот зависимость $V(0,t)$
Вложение:
V_0_t.PNG
V_0_t.PNG [ 14.94 Кб | Просмотров: 0 ]

Расхождения могут быть при вычислении производных. Для (верхнего предела вычисления суммы) $N=100$ зависимости $V_t(x, t_i)$:
Вложение:
V_t.PNG
V_t.PNG [ 18.77 Кб | Просмотров: 0 ]


P.S. Т.е. вместо разрывов для конечных $N$ наблюдаем колебания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение07.04.2024, 20:14 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
На всякий случай. Производная по $x$.
$V(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2\frac {(-1)^n} {\lambda_n}\cos\sqrt{\lambda_n} x \sin\sqrt{\lambda_n}t$, $V_x(x, t) = -\sum\limits_{n=1}^{\infty}2\frac {(-1)^n} {\sqrt{\lambda_n}}\sin\sqrt{\lambda_n} x \sin\sqrt{\lambda_n}t$.
Численно находится
$V_x(x, t) \approx -\sum\limits_{n=1}^N 2\frac {(-1)^n} {\sqrt{\lambda_n}}\sin\sqrt{\lambda_n} x \sin\sqrt{\lambda_n}t$. Графики $V_x(x, t_i)$ для $N=100$
Вложение:
V_xN100.PNG
V_xN100.PNG [ 24.33 Кб | Просмотров: 0 ]

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Padawan


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group