Начально-краевая задача

[Red_Herring]

Я предполагаю, что это учебная задача и в задании указан метод: метод характеристик, частным случаем которого является метод продолжения (если задача сводится к задаче с однородными граничными условиями, Дирихле или Неймана -- или на одном конце Д., на втором Н.), или метод Фурье.

Какой лучше? Если интересует решение при небольших $t$ то метод характеристик, если при больших--то метод Фурье.

[Antichny]

svv
Правильно я понимаю, задача неразрешима т.к. возникает противоречие в условиях?

-- 06.04.2024, 11:58 --

Red_Herring
Интересует метод Фурье конкретно для этой задачи.

[Red_Herring]

Antichny в сообщении #1635487 писал(а):

svv
Правильно я понимаю, задача неразрешима т.к. возникает противоречие в условиях?

Решение не будет иметь непрерывных первых производных (противоречие в условиях возникает только если предполагать непрерывность первых производных), и разрывы будут там, куда указывает метод характеристик.

[Antichny]

Red_Herring
Тогда как решить эту задачу методом Фурье?

[Red_Herring]

Antichny в сообщении #1635491 писал(а):

Тогда как решить эту задачу методом Фурье?

Ну вам же GAA указал на ваши ошибки, а вы упорствуете в ереси.

[svv]

Antichny
Red_Herring объяснил, а я повторю:

svv в сообщении #1635454 писал(а):

Но всё равно производная $U_t$ будет разрывной.
Это не страшно для гиперболического уравнения, нужно только расширить класс допустимых решений. Но про гладкие решения придётся забыть.

Решение непрерывное, кусочно гладкое.

Red_Herring в сообщении #1635468 писал(а):

Если интересует решение при небольших $t$ то метод характеристик

Конкретно в данной задаче легко получается простой вид для решения во всей области.

[Antichny]

У меня получилось такое $U(x,t)=cost+t+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{\sqrt{\lambda_{n}}}cos(\sqrt{\lambda_{n}}x)sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$

[GAA]

Antichny в сообщении #1635443 писал(а):

$V(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}T_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}-\frac{1}{\sqrt{\lambda_n}}cos(\sqrt{\lambda_{n}}x)sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$

Тогда $V_t(x, 0)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} -\cos \sqrt{\lambda_n}x$. Будет ли ряд сходится к $-1$?

У меня (на скорую руку) разложение $-1$ по собственным функциям имеет вид

$-1 = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2 \frac {(-1)^n \cos\sqrt{\lambda_n} x} {\sqrt{\lambda_n}}.$ (1)

Приравнивая производную $V_t(x, 0)$ (с неизвестными коэффициентами $B_n$) этому разложению в ряд

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \sqrt{\lambda_n} B_n \cos \sqrt{\lambda_n} x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2 \frac {(-1)^n \cos\sqrt{\lambda_n} x} {\sqrt{\lambda_n}},$

получаем $B_n = 2 \frac {(-1)^n} {\lambda_n}$.

Как быстро сходится ряд (1) к своему значению? Если брать конечный верхний предел суммы $N$ равным 10, 100, 1000, то будем наблюдать колебания вблизи $x=1$ (даже при достаточно больших значениях $N$). С ходу кажется, что для больших значений $x$ (т.е. $x$ близких к единице) как-то не очень перспективно использовать метод Фурье для практических вычислений.

Вложение:

_neg1.PNG [ 13.57 Кб | Просмотров: 0 ]

[svv]

Да, пока что результат неправильный.
У меня получается
$V(x,t)=1-\left|2\left\{\frac{t-1-x}{4}\right\}-1\right|-\left|2\left\{\frac{t-1+x}{4}\right\}-1\right|,$
где фигурные скобки обозначают дробную часть:
$\{t\}=t-\lfloor t\rfloor = t-\operatorname{floor}(t)$
Формулы у нас, конечно, совпадать не должны, т.к. методы совсем разные, но численно должно быть хотя бы примерное равенство, а его нет.

Вот такая получается функция $V(x,t)$, простая и понятная. Переменная $x\in[-1;1]$, так красивее. Все участки, которые кажутся плоскими — плоские.

[GAA]

Нет, для $V(x,t)$ сходимость быстрая. Поэтому численно равенство вроде наблюдается. Для сравнения , мне кажется, проще строить "сечения". Ниже зависимости $V$ от $x$ для нескольких моментов времени.

Вложение:

V_ti.PNG [ 15.19 Кб | Просмотров: 0 ]

А вот зависимость $V(0,t)$

Вложение:

V_0_t.PNG [ 14.94 Кб | Просмотров: 0 ]

Расхождения могут быть при вычислении производных. Для (верхнего предела вычисления суммы) $N=100$ зависимости $V_t(x, t_i)$:

Вложение:

V_t.PNG [ 18.77 Кб | Просмотров: 0 ]

P.S. Т.е. вместо разрывов для конечных $N$ наблюдаем колебания.

[GAA]

На всякий случай. Производная по $x$.
$V(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2\frac {(-1)^n} {\lambda_n}\cos\sqrt{\lambda_n} x \sin\sqrt{\lambda_n}t$, $V_x(x, t) = -\sum\limits_{n=1}^{\infty}2\frac {(-1)^n} {\sqrt{\lambda_n}}\sin\sqrt{\lambda_n} x \sin\sqrt{\lambda_n}t$.
Численно находится
$V_x(x, t) \approx -\sum\limits_{n=1}^N 2\frac {(-1)^n} {\sqrt{\lambda_n}}\sin\sqrt{\lambda_n} x \sin\sqrt{\lambda_n}t$. Графики $V_x(x, t_i)$ для $N=100$

Вложение:

V_xN100.PNG [ 24.33 Кб | Просмотров: 0 ]