2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение05.04.2024, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Я предполагаю, что это учебная задача и в задании указан метод: метод характеристик, частным случаем которого является метод продолжения (если задача сводится к задаче с однородными граничными условиями, Дирихле или Неймана -- или на одном конце Д., на втором Н.), или метод Фурье.

Какой лучше? Если интересует решение при небольших $t$ то метод характеристик, если при больших--то метод Фурье.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение06.04.2024, 10:31 


10/06/13
101
svv
Правильно я понимаю, задача неразрешима т.к. возникает противоречие в условиях?

-- 06.04.2024, 11:58 --

Red_Herring
Интересует метод Фурье конкретно для этой задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение06.04.2024, 11:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Antichny в сообщении #1635487 писал(а):
svv
Правильно я понимаю, задача неразрешима т.к. возникает противоречие в условиях?

Решение не будет иметь непрерывных первых производных (противоречие в условиях возникает только если предполагать непрерывность первых производных), и разрывы будут там, куда указывает метод характеристик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение06.04.2024, 11:14 


10/06/13
101
Red_Herring
Тогда как решить эту задачу методом Фурье?

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение06.04.2024, 11:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Antichny в сообщении #1635491 писал(а):
Тогда как решить эту задачу методом Фурье?
Ну вам же GAA указал на ваши ошибки, а вы упорствуете в ереси. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение06.04.2024, 14:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Antichny
Red_Herring объяснил, а я повторю:
svv в сообщении #1635454 писал(а):
Но всё равно производная $U_t$ будет разрывной.
Это не страшно для гиперболического уравнения, нужно только расширить класс допустимых решений. Но про гладкие решения придётся забыть.
Решение непрерывное, кусочно гладкое.


Red_Herring в сообщении #1635468 писал(а):
Если интересует решение при небольших $t$ то метод характеристик
Конкретно в данной задаче легко получается простой вид для решения во всей области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение06.04.2024, 15:32 


10/06/13
101
У меня получилось такое $U(x,t)=cost+t+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{\sqrt{\lambda_{n}}}cos(\sqrt{\lambda_{n}}x)sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение07.04.2024, 00:42 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Antichny в сообщении #1635443 писал(а):
$V(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_{n}T_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}-\frac{1}{\sqrt{\lambda_n}}cos(\sqrt{\lambda_{n}}x)sin(\sqrt{\lambda_{n}}t)$
Тогда $V_t(x, 0)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} -\cos \sqrt{\lambda_n}x$. Будет ли ряд сходится к $-1$?

У меня (на скорую руку) разложение $-1$ по собственным функциям имеет вид
$-1 = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2 \frac {(-1)^n \cos\sqrt{\lambda_n} x} {\sqrt{\lambda_n}}.$ (1)
Приравнивая производную $V_t(x, 0)$ (с неизвестными коэффициентами $B_n$) этому разложению в ряд
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \sqrt{\lambda_n} B_n \cos \sqrt{\lambda_n} x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2 \frac {(-1)^n \cos\sqrt{\lambda_n} x} {\sqrt{\lambda_n}},$
получаем $B_n = 2 \frac {(-1)^n} {\lambda_n}$.

Как быстро сходится ряд (1) к своему значению? Если брать конечный верхний предел суммы $N$ равным 10, 100, 1000, то будем наблюдать колебания вблизи $x=1$ (даже при достаточно больших значениях $N$). С ходу кажется, что для больших значений $x$ (т.е. $x$ близких к единице) как-то не очень перспективно использовать метод Фурье для практических вычислений.
Вложение:
_neg1.PNG
_neg1.PNG [ 13.57 Кб | Просмотров: 0 ]

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение07.04.2024, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Да, пока что результат неправильный.
У меня получается
$V(x,t)=1-\left|2\left\{\frac{t-1-x}{4}\right\}-1\right|-\left|2\left\{\frac{t-1+x}{4}\right\}-1\right|,$
где фигурные скобки обозначают дробную часть:
$\{t\}=t-\lfloor t\rfloor = t-\operatorname{floor}(t)$
Формулы у нас, конечно, совпадать не должны, т.к. методы совсем разные, но численно должно быть хотя бы примерное равенство, а его нет.

Вот такая получается функция $V(x,t)$, простая и понятная. Переменная $x\in[-1;1]$, так красивее. Все участки, которые кажутся плоскими — плоские.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение07.04.2024, 15:58 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Нет, для $V(x,t)$ сходимость быстрая. Поэтому численно равенство вроде наблюдается. Для сравнения , мне кажется, проще строить "сечения". Ниже зависимости $V$ от $x$ для нескольких моментов времени.
Вложение:
V_ti.PNG
V_ti.PNG [ 15.19 Кб | Просмотров: 0 ]
А вот зависимость $V(0,t)$
Вложение:
V_0_t.PNG
V_0_t.PNG [ 14.94 Кб | Просмотров: 0 ]

Расхождения могут быть при вычислении производных. Для (верхнего предела вычисления суммы) $N=100$ зависимости $V_t(x, t_i)$:
Вложение:
V_t.PNG
V_t.PNG [ 18.77 Кб | Просмотров: 0 ]


P.S. Т.е. вместо разрывов для конечных $N$ наблюдаем колебания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Начально-краевая задача
Сообщение07.04.2024, 20:14 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
На всякий случай. Производная по $x$.
$V(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2\frac {(-1)^n} {\lambda_n}\cos\sqrt{\lambda_n} x \sin\sqrt{\lambda_n}t$, $V_x(x, t) = -\sum\limits_{n=1}^{\infty}2\frac {(-1)^n} {\sqrt{\lambda_n}}\sin\sqrt{\lambda_n} x \sin\sqrt{\lambda_n}t$.
Численно находится
$V_x(x, t) \approx -\sum\limits_{n=1}^N 2\frac {(-1)^n} {\sqrt{\lambda_n}}\sin\sqrt{\lambda_n} x \sin\sqrt{\lambda_n}t$. Графики $V_x(x, t_i)$ для $N=100$
Вложение:
V_xN100.PNG
V_xN100.PNG [ 24.33 Кб | Просмотров: 0 ]

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group