Кватернионная логика

[Alpha AXP]

Забавы ради:
Рассмотрим таблицу умножения кватернионов. Она представляет собой лупу:


Сделаем замену: i=U, j=T, k=F. В итоге получим таблицу, которую будем называть таблицей сложения:


Таблица отрицания выглядит так:


Теперь рассмотрим такие утверждения:
Отрицание истины и отрицание лжи - есть неопределенность: $\lnot T \land \lnot F \leftrightarrow U$
Ложь и истина - это отрицание неопределенности: $T \land F \leftrightarrow \lnot U$

Есть выражение: Не бывает худа без добра, в таком же контексте можно трактовать и вышеприведенные выражения: если нет истины, то нет и лжи, когда их обоих нет, то это неопределенность.
А когда есть истина, то есть и ложь, и мы определенно можем отличить истину от лжи. Присутствие истины и лжи -это определенность или отрицание неопределенности. Такие вот философские утверждения заложены уже внутри этой логики.
Видно ли какие-либо ошибки на данном этапе построения логики? И как ее можно развить?

[dgwuqtj]

Alpha AXP в сообщении #1635186 писал(а):

Рассмотрим таблицу умножения кватернионов. Она представляет собой лупу:

Это даже не магма, множество $\{ 1, i, j, k \}$ не замкнуто относительно умножения. А если брать множество $\{ 1, -1, i, -i, j, -j, k, -k \}$, то это полноценная группа $Q_8$.

Что такое $\wedge$ и $\leftrightarrow$ в данном контексте и как они связаны со "сложением"? Обычно логику строят через правила вывода (аксиомы тоже можно считать правилами вывода, просто без предпосылок).

[Alpha AXP]

dgwuqtj в сообщении #1635192 писал(а):

Что такое $\wedge$ и $\leftrightarrow$ в данном контексте и как они связаны со "сложением"?

Сложение- это бинарная операция, которая ставит в соответствие двум элементам третий. Двойная стрелка- эквивалентность, это значит, что если заменить в любом выражении то, что стоит с одной стороны на то, что стоит с другой, то значение выражение не поменяется.

По поводу лупы и магмы спорить не буду. По поводу выводимости- доберусь до ручки с листом бумаги- приведу структуру, связанную с данной таблицей умножения и поясню свою мысль.

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1635186 писал(а):

Отрицание истины и отрицание лжи - есть неопределенность: $\lnot T \land \lnot F \leftrightarrow U$

А отрицание лжи и отрицание истины есть что?

Alpha AXP в сообщении #1635186 писал(а):

Ложь и истина - это отрицание неопределенности: $T \land F \leftrightarrow \lnot U$

А истина и ложь - это что?

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1635207 писал(а):

А отрицание лжи и отрицание истины есть что?

tolstopuz в сообщении #1635207 писал(а):

А истина и ложь - это что?

Над этим я думаю как раз. И кое-какие мысли есть, постараюсь сегодня изложить.

[b4b5]

$\lnot U$ - абсурд.

[Alpha AXP]

Ну вот она структура:


Рассмотрим ее подробнее.
$F \land T \leftrightarrow -U$
$T \land U \leftrightarrow -F$
$U \land F \leftrightarrow -T$
$-U \land -T \leftrightarrow F$
$-T \land -F \leftrightarrow U$
$-F \land -U \leftrightarrow T$

Эти 6 формул отражают эквивалентность перемещений. Т.е. если мы последовательно переместимся по стрелкам F,T в структуре, то такое перемещение будет эквивалентно перемещению по стрелке -U. Аналогично с остальными формулами.

Теперь определим 1: Из любого перемещения, приводящее в исходную точку следует 1.
Это запишется так:
$F \land -F \rightarrow 1$
$T \land -T \rightarrow 1$
$U \land -U \rightarrow 1$
$U \land T \land F \leftrightarrow T \land F \land U \leftrightarrow T \land F \land U \rightarrow 1$

В таблице сложения у нас стоит $F \land F \rightarrow -1$ , но в структуре возможно только $F \land -F \rightarrow 1$ из этого устанавливаем, что $(F \land F \rightarrow -1)\leftrightarrow (F \land \lnot -F \rightarrow \lnot -1)$

У нас есть также в таблице сложения выражение:
$T \land F \leftrightarrow U$ о котором был вопрос, но в структуре его нет, отсюда полагаем, что $T \land F \leftrightarrow \lnot (F \land T)$

Стрелки структуры можно воспринимать также как следование.
Тогда: "Из лжи следует истина- это определенность". А "Из истины следует ложь- это неопределенность". Это ответ на вопрос tolstopuz. Также U можно интерпретировать как возможно, а -U невозможно. Тогда: "Из лжи следует истина- это возможно". А "Из истины следует ложь-это невозможно".

Если из лжи следует отрицание лжи, то это эквивалентно 1. Если из отрицания истины следует истина, то это тоже 1.

-- 03.04.2024, 20:01 --

b4b5 в сообщении #1635215 писал(а):

$\lnot U$ - абсурд.

Тем не менее с отрицанием неопределенности возникают выражения, которым можно придать вполне естественный смысл и которые укладываются в вышеприведенную структуру.

-- 03.04.2024, 20:18 --

Из структуры еще следует:
$\lnot T \leftrightarrow F$
[math]$\lnot F \leftrightarrow U$[/math]
[math]$\lnot U\leftrightarrow T$[/math]

Отрицание истины есть(следует) ложь.
Отрицание лжи есть(следует) неопределенность
Отрицание неопределенности есть(следует) истина

[Утундрий]

Alpha AXP в сообщении #1635186 писал(а):

Видно ли какие-либо ошибки на данном этапе построения логики?

Да.

[Alpha AXP]

Утундрий в сообщении #1635253 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1635186 писал(а):

Видно ли какие-либо ошибки на данном этапе построения логики?

Да.

Какие?

[Утундрий]

Alpha AXP в сообщении #1635255 писал(а):

Утундрий в сообщении #1635253 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1635186 писал(а):

Видно ли какие-либо ошибки на данном этапе построения логики?

Да.

Какие?

Многочисленные.

[Alpha AXP]

Утундрий в сообщении #1635256 писал(а):

Многочисленные

Например?

[Утундрий]

Alpha AXP в сообщении #1635257 писал(а):

Например?

Сыр.

[Утундрий]

Что, Alpha AXP, непривычно? Обычно вы бред несёте, а тут наоборот. Ну, пожалуйтесь модератору, что ли.

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1635243 писал(а):

Отрицание истины есть(следует) ложь.
Отрицание лжи есть(следует) неопределенность
Отрицание неопределенности есть(следует) истина

Из этого следует закон снятия тройного отрицания. Позволит ли он математически доказать христианские догматы?

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1635263 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1635243 писал(а):

Отрицание истины есть(следует) ложь.
Отрицание лжи есть(следует) неопределенность
Отрицание неопределенности есть(следует) истина

Из этого следует закон снятия тройного отрицания. Позволит ли он математически доказать христианские догматы?

Не понимаю о каком законе речь и причем здесь христианские догматы. (Надеюсь Ваше сообщение не шутка). Но с этими 3 мя утверждениями я возможно погорячился. Вернее, здесь есть такая тонкость, для которой подозиеваю нет понятия в логике. Если рассматривать стрелки в структуре как следования и причины, то у одной причины может быть 2 следствия т.к. одна стрелка может переходить в 2 другие стрелки. С другой стороны, 2 стрелки с противоположных направлений приводят в одну точку и из них могут следовать далее две одинаковые стрелки, выходящие из точки. Т.е. возникают они эти входящие в точку стрелки из разных причин, а ведут к одному следствию.
Поэтому говорить об их эквивалентности можно лишь частично, только в части того, что из них следует, но в части того как они возникли- они не эквивалентны. Поэтому эти 3 утверждения об эквивалентности справедливы лишь в части следования из них:
Из отрицпния истины следует то же, что из лжи.
Из отрицания лжи следует то же, что из неопределенности
Из отрицания неопределенности следует то же, что из истины.
Но:
отрицание истины не есть ложь,
Отрицание лжи не есть неопределенность
Отрицание неопределенности не есть истина

Мне показалась забавной мысль организовать логическую систему на алгебраической структуре и посмотреть, что будет. Сам я пока еще не до конца имею представление об этом. Может это и правда бредовая идея.

Но утверждение "из отрицания истины слелует отрицание лжи" или "Без истины не бывает и лжи", показалось мне разумным и осмысленным и это следование эквивалентно в плане дальнейших следствий неопределенности.
А утвержбение "из лжи следует истина" или "где ложь там и истина" тоже не лишено смысла и оно эквивалентно отрицанию неопределенности в плане дальнейших следствий: И это кажется интересным.

"Из лжи следует истина- возможно"
"Из истины следует ложь-невозможно"