Парадокс лжеца

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1634174 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1634170 писал(а):

Истинно ли в данной интерпретации утверждение "любая жена желает меня отравить"?

Нет

То есть $\forall \xi \varphi$ ложно. А $\lnot \forall \xi \varphi$ истинно.

Alpha AXP в сообщении #1634174 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1634170 писал(а):

Истинно ли в данной интерпретации утверждение "любая жена не желает меня отравить"?

Нет

То есть $\forall \xi \neg \varphi$ тоже ложно.

Alpha AXP в сообщении #1634174 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1634170 писал(а):

Истинна ли логическая эквивалентность (двойная стрелка) между этими утверждениями?

Нет.

Как это нет? $(\bot\leftrightarrow\bot) = \top$, то есть истинно.

Но я случайно спросил не про то утверждение, давайте повторим всю цепочку:

1. Любая жена желает меня отравить? Нет (Зульфия не желает). $\forall \xi \varphi$ ложно.
2. Не любая жена желает меня отравить? Да (Зульфия не желает). $\lnot \forall \xi \varphi$ истинно.
3. Любая жена не желает меня отравить? Нет (Наташа желает). $\forall \xi \neg \varphi$ ложно.
4. Эквивалентны ли утверждения 2 и 3? Нет, истина не эквивалентна лжи.

Итак, мы нашли интерпретацию, в которой утверждение $\lnot \forall \xi \varphi \leftrightarrow \forall \xi \neg \varphi$ ложно, следовательно, оно не общезначимо, следовательно, невыводимо.

Alpha AXP в сообщении #1634174 писал(а):

Все 3 нет, также как и при рассмотрении для данного случая, что отрицание есть "хотябы одна жена не хочет меня отравить"

Теперь повторим то же самое для этого варианта отрицания.

1. Любая жена желает меня отравить? Нет (Зульфия не желает). $\forall \xi \varphi$ ложно.
2. Не любая жена желает меня отравить? Да (Зульфия не желает). $\lnot \forall \xi \varphi$ истинно.
3. Хотя бы одна жена не желает меня отравить? Да (Зульфия не желает). $\exists \xi \neg \varphi$ истинно.
4. Эквивалентны ли утверждения 2 и 3? Да, истина эквивалентна истине.

Здесь контрпример не подошел, в рассматриваемой интерпретации утверждение $\lnot \forall \xi \varphi \leftrightarrow \exists \xi \neg \varphi$ истинно. Но это неудивительно, мы уже выяснили, что оно выводимо, значит, истинно в любой интерпретации.

Резюме:
Утверждение $\lnot \forall \xi \varphi \leftrightarrow \forall \xi \neg \varphi$ невыводимо.
Утверждение $\lnot \forall \xi \varphi \leftrightarrow \exists \xi \neg \varphi$ выводимо.

Заметьте, что в пункте 3 в двух рассуждениях проверялись разные жены. Это важно.

[svv]

Alpha AXP в сообщении #1634181 писал(а):

svv в сообщении #1634180 писал(а):

Alpha AXP, а в Вашей новой логике верен закон исключённого третьего?

Канешна

Как здорово!

Но если считать, что отрицанием к A="сегодня тепло и солнечно" будет не-A="сегодня холодно и пасмурно", то нарушается закон исключённого третьего. Потому что если сегодня тепло и пасмурно, то A ложно и не-A ложно.

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1634179 писал(а):

а то, что хотят Ваши жены не является по определению отрицанием.

Каждая из жен либо хочет отравить вас, либо не хочет, они не знают ничего о ваших определениях, утверждениях и отрицаниях, они вообще неграмотные, босые, беременные и на кухне. Все определения и утверждения в вашей голове, а желания жен - объективная реальность, данная в условии задачи. А у вас получается, что вы что-то покрутили в голове и объявили женам, что у них неправильные желания, потому что вы не можете сформировать отрицание какого-то утверждения.

Хотя если вы им будете достаточно долго это объяснять, возможно, все они захотят отравить вас, что облегчит вам задачу.

[Alpha AXP]

svv в сообщении #1634183 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1634181 писал(а):

Канешна

Как здорово!

Но если отрицанием к A="сегодня тепло и солнечно" будет не-A="сегодня холодно и пасмурно", то нарушается закон исключённого третьего. Потому что если сегодня тепло и пасмурно, то A ложно и не-A ложно.

Если сегодня тепло и пасмурно, то это значит, что сегодня B, которое выводится из А. Тут не то, что закон исключенного третьего выполняется. Здесь выполняется более жесткий закон: третьего не дано.

-- 26.03.2024, 00:20 --

tolstopuz
Слишком много текста.
Пытаюсь переварить.

[svv]

Прошу прощения, хочу уточнить. Допустим, сегодня тепло и пасмурно. Истинны ли следующие высказывания?
1) Сегодня тепло и солнечно.
2) Сегодня холодно и пасмурно.

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1634185 писал(а):

Если сегодня тепло и пасмурно, то это значит, что сегодня B, которое выводится из А.

(Оффтоп)

Я, кажется, начинаю понимать вашу логику. Как писал Пелевин, ***-персоны бывают трех видов - пассивные, активные и актуальные. И есть четвертый вид - неактуальные. Видимо, вы считаете, что утверждение A в теплый и пасмурный день переходит из разряда истинных или ложных в разряд неактуальных.

-- Вт мар 26, 2024 00:26:37 --

Alpha AXP в сообщении #1634185 писал(а):

Слишком много текста.
Пытаюсь переварить.

(Оффтоп)

Прикиньте, а еще бывают книги.

[Alpha AXP]

svv в сообщении #1634186 писал(а):

Прошу прощения, хочу уточнить. Допустим, сегодня тепло и пасмурно. Истинны ли следующие высказывания?
1) Сегодня тепло и солнечно.
2) Сегодня холодно и пасмурно.

Я бы назвал их частично истинными, возникшими вследствие частичного отрицания. Но поскольку такого понятия не вводилось, то об их истинности можно сказать лишь, если одно из них назначить истиным, то другое будет ложным, т.к. они являются отрицанием друг друга. Это уже В и его отрицание.
Видимо к этому ходу мыслей меня пыталась склонить и alisa-lebovski, задавая свой вопрос.

[tolstopuz]

Родители говорят школьнику: сделаешь уроки (математику, русский и окружающий мир) - получишь планшет. Через час он приходит к родителям (а сделана только математика) и говорит, что хочет планшет. У него спрашивают, истинно ли он сделал уроки. И он отвечает:

Alpha AXP в сообщении #1634188 писал(а):

Я бы назвал их частично истинными, возникшими вследствие частичного отрицания. Но поскольку такого понятия не вводилось, то об их истинности можно сказать лишь, если одно из них назначить истиным, то другое будет ложным, т.к. они являются отрицанием друг друга.

Кажется, вместо планшета он получит ремня...

[Alpha AXP]

tolstopuz
Что-то в Ваших рассуждениях не так, но пока не могу понять что. Голова уже не соображает совсем.

[svv]

Alpha AXP в сообщении #1634188 писал(а):

об их истинности можно сказать лишь, если одно из них назначить истиным, то другое будет ложным, т.к. они являются отрицанием друг друга

Прекрасно.

В городе, где я живу, сегодня в самом деле было очень тепло и совсем пасмурно, причём весь день. Если так, то Вы можете сказать определённо, истинны ли высказывания?
1) Сегодня тепло и солнечно.
2) Сегодня холодно и пасмурно.
Вы, вроде бы, теперь знаете о погоде в моём городе всё, что нужно для этого.

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1634189 писал(а):

Родители говорят школьнику: сделаешь уроки (математику, русский и окружающий мир) - получишь планшет. Через час он приходит к родителям (а сделана только математика) и говорит, что хочет планшет. У него спрашивают, истинно ли он сделал уроки. И он отвечает:

Математику истинно сделал. А дальше молчит, в надежде, что про русский и окружайку забудут.

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1634192 писал(а):

Математику истинно сделал.

Но уговор-то был не о том. Выполнил он его или нет?

[Gevin Magnus]

Alpha AXP
Вы отрицанием называете "противоположное" утверждение, правда такой термин формализировать не удалось

-- 26.03.2024, 01:03 --

Alpha AXP в сообщении #1634179 писал(а):

Это верно по определению, а то, что хотят Ваши жены не является по определению отрицанием. За исключением случая когда все 10 не хотят

Мой случай вписывается в мое неА, а В нет, вот и все

[tolstopuz]

Gevin Magnus в сообщении #1634194 писал(а):

Alpha AXP
Вы отрицанием называете "противоположное" утверждение, правда такой термин формализировать не удалось

Это творческий процесс. Например, для "бабушка - божий одуванчик" противоположным утверждением вполне может быть "дед - дьявольский кактус".

[Alpha AXP]

svv в сообщении #1634191 писал(а):

Alpha AXP в сообщении #1634188 писал(а):

об их истинности можно сказать лишь, если одно из них назначить истиным, то другое будет ложным, т.к. они являются отрицанием друг друга

Прекрасно.

В городе, где я живу, сегодня в самом деле было очень тепло и совсем пасмурно, причём весь день. Если так, то Вы можете сказать определённо, истинны ли высказывания?
1) Сегодня тепло и солнечно.
2) Сегодня холодно и пасмурно.
Вы, вроде бы, теперь знаете о погоде в моём городе всё, что нужно для этого.

Утверждение А:
Сегодняи тепло и пасмурно для Вашего города -истина
Его отрицание:
Холодно и солнечно - ложь.

Утверждения
Холодно и пасмурно -частичная истина
Тепло и солнечно-частичная ложь
Например тепло в последнем утверждении - истина, а солнечно-ложь.
Но это уже не утверждение А, это утверждение B и его отрицание.
А хотя, какая разница. Пусть это будет А и третье дано.