Отличие производной от дифференциала

[Kubrikov]

$dx/dy$ это не деление, это же отношение. Насколько меняется $dy$ при изменении $dx$.

А в правой части диф уравнения пишется причина, которая вызывает это изменение (ну например, сила тянет).

[sergey zhukov]

Kubrikov
Самый обычный подход. Если есть сложная задача, то в первом приближении нужно учесть слагаемое с самым весомым вкладом. Остальными пренебречь. Линейная часть приращения обычно самая существенная, причем ее относительный вклад приближается к 100% при уменьшении $\Delta x$. Поэтому в первом приближении считаем, что любая функция на малом участке заменяется прямой. Во втором приближении можно учесть уже и последующие члены второго и далее порядков (скажем, что она заменяется кривой второго порядка - параболой) и т.д.

К таким штукам нужно привыкать, поскольку в математической физике такие "первые приближения" просто повсюду. Есть даже такой термин "линеаризация задачи". Это когда сложные нелинейные уравнения чего-нибудь (скажем, колебаний) рассматриваются в какой-то малой ограниченной области, в которой "их можно в первом приближении заменить прямыми".

Тут не следует полной логической стыковки искать в этих приближениях. Они явно содержат ошибку. Просто мы считаем, что ошибка мала и для нашей задачи несущественна.

[warlock66613]

wrest в сообщении #1632621 писал(а):

Запись $dx/dy$ не означает операцию деления.

Ну почему же. Первая производная действительно есть частное дифференциала функции $dy$ и дифференциала аргумента $dx$, так что очень даже означает деление.

[miflin]

warlock66613 в сообщении #1632635 писал(а):

Первая производная действительно есть частное дифференциала функции $dy$ и дифференциала аргумента $dx$, так что очень даже означает деление.

Когда-то, при решении дифуров, приходилось выполнять манипуляции типа:
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx}\cdot\dfrac{dy}{dy}=\dfrac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}{dy}$
При этом не покидало легкое ощущение вульгарности происходящего, однако ответ получался правильным.

[svv]

miflin в сообщении #1632640 писал(а):

легкое ощущение вульгарности происходящего

Как я Вас понимаю!..
Кстати, я немного знаком с марсианской математической нотацией. И могу сказать, что, увидев эту формулу, марсианин сказал бы: "Да ведь в правой части не хватает двух композиций! Вероятно, они подразумеваются неявно; но именно эта небрежность и создаёт упомянутое ощущение".

[Утундрий]

miflin
По сути это умножение и деление на $y'$, только шибко замаскированное.

[svv]

Марсиане пишут, выпуская из щупалец мерзкую едкую жидкость, которая мгновенно кристаллизуется, образуя причудливые фигуры, поэтому запись, которую я приведу, по необходимости будет адаптированной. В данном примере они обходятся функциональным стилем, то есть операции производятся над функциями, а не их значениями, числа же используются лишь в качестве постоянных множителей и степеней, или, шире, постоянных функций. Правая часть
$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}{dy}$
у них выглядит так:
$\dfrac 1 2 \cdot (\square^2 \circ f'\circ \bar f)'\circ f$
Здесь
$f$ — функция, выражающая зависимость $y$ от $x$,
$\square^2$ — функция возведения в квадрат,
$\bar f$ — функция, обратная к $f$ (мы обозначаем её $f^{-1})$.
Всё остальное как у нас — композиция, производная, знак умножения.

Чтобы это упростить, они сначала применяют формулу производной квадрата функции
$(\square^2 \circ g)' = 2\cdot g \cdot g'$
Тут, вроде, комментарии не нужны. Получается
$\dfrac 1 2\cdot (2\cdot (f'\circ \bar f)\cdot (f'\circ \bar f)')\circ f = ((f'\circ \bar f)\cdot (f'\circ \bar f)')\circ f$

Дальше используется формула производной композиции функций
$(h\circ g)' = (h'\circ g)\cdot g'$
(частным случаем которой, фактически, является формула производной квадрата). Это даёт
$((f'\circ \bar f)\cdot (f''\circ \bar f)\cdot \bar f\,')\circ f = ((f''\circ \bar f)\cdot\underbrace{(f'\circ \bar f)\cdot \bar f\,'})\circ f$

К тому, что выделено фигурной скобкой, применяется формула производной композиции, только в обратном направлении. Выделенное даёт $(f\circ \bar f)' =\operatorname{id}'$, т.е. множитель $1$, который можно не писать. Остаётся
$(f''\circ \bar f)\circ f = f''$