Самостоятельное изучение высшей математики

[Amina777]

wrest в сообщении #1632050 писал(а):

Amina777 в сообщении #1631895 писал(а):

Кто-нибудь, поделитесь как вы преодолели эту потерянность и стали получать удовольствие от изучения мат. анализа?

Ну я когда изучал, приходилось вкалывать... Не припомню удовольствия. Если только после сдачи экзамена... Иногда как-то находило что я теперь вроде понимаю как и что в мироустройстве, пока не появлялась какая-то зубодробительная теорема или не начинался новый раздел (ну скажем всё было хорошо и тут на тебе: исчисления функций многих переменных или комплексных переменных). Удовольствие было когда основная (фундаментальная) часть матанализа закончилась и началась более, как-бы, прикладная часть, типа теории вероятностей и матстатистики.

-- 07.03.2024, 02:15 --
Буду ждать теории вероятностей

Amina777 в сообщении #1632049 писал(а):

Транзитивность, это же

Камень-ножницы-бумага классический пример нетранзитивности отношения "побеждает"

Да, я именно так понимаю транзитивность

[wrest]

Amina777 в сообщении #1632051 писал(а):

Буду ждать теории вероятностей

Ну я там выше дописал, мне было куда матан применять почти сразу -- в общую физику. А бывало и наоборот - сначала что-то появлялось в физике а потом оно же в матане.

В матане я очень радовался за Эйлера, Гаусса, Коши и т.п. -- сколько ж они придумали-то...

[Amina777]

Хочу поделиться историей своей подготовки. Вообще как цель я поставила себе поступить на магистратуру в МГУ на математику. Математики в университете, в котором я сейчас учусь, было мало, 1 или 1,5 года. Сейчас на 4 курсе взялась за голову и начала подготовку к вступительным испытаниям. Планирую пройти всего Зорича (вроде там все темы есть, если чего-то не будет, в интернете найду) и за месяц до экзамена усердно буду практиковаться на задачах с репетитором.
Знаю, всё это звучит безумно и не осуществимо, но я хочу попытаться. Не могу бросить математику, полюбила её в последних классах. Уважаю учёных, преподавателей и сама хотела бы пойти в научную деятельность. После магистратуры планирую поступить в аспирантуру на физики или астрофизику, а дальше пойти работать в научном центре скорее всего, хотя пока не знаю:)
Надеюсь на вашу поддержку:)
(Какая-то сегодня ночь откровений:)…)

[svv]

Amina777 в сообщении #1632049 писал(а):

svv в сообщении #1632046 писал(а):

1) Отображение множества пассажиров самолёта (летящих определённым рейсом) в множество мест в салоне — инъективно, но не обязательно сюръективно.
2) А в индийских поездах отображение "пассажиры $\to$ места" сюръективно, и никогда не инъективно.
3) Мартин Гарднер, автор книг по занимательной математике, писал, что в боксе отношение "бить" (боксёр $A$ бьёт боксёра $B$, т.е. побеждает его в бою) — не обязательно транзитивно! Что это значит?

1) Для каждого пассажира найдётся определённое место в самолёте, но не все места обязательно должны быть заняты
2) В индийских поездах каждое место занято, но не для каждого пассажира определено конкретное место
3) Насколько я поняла, если боксёр А ударил боксёра B, то не обязательно, что A победит B. Но я не понимаю, как тут проявляется именно транзитивность. Транзитивность, это же (aRb)и(bRc)следовательно (аRc).

1) Действительно, у каждого пассажира есть ровно одно определённое место. Но это следует уже из самого существования отображения (оно же функция) "пассажиры $\to$ места".
Инъективность — это нечто другое. Это значит, что не существует двух разных пассажиров, у которых одно и то же место — почувствуйте отличие.
Не обязательно сюръективно — ответили верно, это значит, что не все места обязательно заняты.


2) Верно, в индийских поездах сюръективность означает, что все места заняты.
Неинъективность — никогда не бывает такого, что на каждом месте сидит не более одного человека. Т.е. всегда существует хоть одно место, на котором умудряются сидеть двое или больше.


3) Вместо "$A$ бьёт $B$" я буду для краткости писать $A>B$.
Итак, если $A>B$ и $B>C$, то, казалось бы, $A>C$. Так было бы, если бы отношение ">" было транзитивным. В действительности — нет. Т.е. возможна ситуация:
$A>B, B>C, C>A$. (Отношение "быть выше ростом", например, такого не допускает!)

Гарднер приводит (не претендующую на серьёзность) теорию того, как такое может быть. Я расскажу по памяти. Пусть боксёр характеризуется тремя параметрами: сила удара, быстрота реакции, техника. Пусть для простоты каждый из параметров у конкретного боксёра принимает одно из значений $1,2,3$. Теперь представьте ситуацию:

$$\begin{tabular}{l|l|l|l} & $A$ & $B$ & $C$ \\ \hline сила & $1$ & $3$ & $2$ \\ реакция & $2$ & $1$ & $3$ \\ техника & $3$ & $2$ & $1$ \end{tabular}$$

Смотрите, как хитро:
$A$ превосходит $B$ в реакции и технике, а уступает только в силе. Правдоподобно, что $A$ победит $B$.
$B$ превосходит $C$ в силе и технике, а уступает только в реакции. Правдоподобно, что $B$ победит $C$.
$C$ превосходит $A$ в силе и реакции, а уступает только в технике. Правдоподобно, что $C$ победит $A$.

[Amina777]

svv в сообщении #1632055 писал(а):

Amina777 в сообщении #1632049 писал(а):

svv в сообщении #1632046 писал(а):

1) Отображение множества пассажиров самолёта (летящих определённым рейсом) в множество мест в салоне — инъективно, но не обязательно сюръективно.
2) А в индийских поездах отображение "пассажиры $\to$ места" сюръективно, и никогда не инъективно.
3) Мартин Гарднер, автор книг по занимательной математике, писал, что в боксе отношение "бить" (боксёр $A$ бьёт боксёра $B$, т.е. побеждает его в бою) — не обязательно транзитивно! Что это значит?

1) Для каждого пассажира найдётся определённое место в самолёте, но не все места обязательно должны быть заняты
2) В индийских поездах каждое место занято, но не для каждого пассажира определено конкретное место
3) Насколько я поняла, если боксёр А ударил боксёра B, то не обязательно, что A победит B. Но я не понимаю, как тут проявляется именно транзитивность. Транзитивность, это же (aRb)и(bRc)следовательно (аRc).

1) Действительно, у каждого пассажира есть ровно определённое место. Но это следует уже из самого существования отображения (оно же функция) "пассажиры $\to$ места".
Инъективно — это нечто другое. Это значит, что не существует двух разных пассажиров, у которых одно и то же место.
Не обязательно сюръективно — ответили верно, это значит, что не все места обязательно заняты.


2) Верно, в индийских поездах сюръективность означает, что все места заняты.
Неинъективность — никогда не бывает такого, что на каждом месте сидит не более одного человека. Т.е. всегда существует хоть одно место, на котором умудряются сидеть двое или больше.

3) Вместо $A$ бьёт $B$ я буду для краткости писать $A>B$.
Итак, если $A>B$ и $B>C$, то, казалось бы, $A>C$. Так было бы, если бы отношение ">" было транзитивным. В действительности — нет. Т.е. возможна ситуация:
$A>B, B>C, C>A$. (Отношение "быть выше ростом", например, такого не допускает)

Гарднер приводит (не претендующую на серьёзность) теорию того, как такое может быть. Я расскажу по памяти. Пусть боксёр характеризуется тремя параметрами: сила удара, быстрота реакции, техника. Пусть для простоты каждый из параметров у конкретного боксёра принимает одно из значений $1,2,3$. Теперь представьте ситуацию:

$$\begin{tabular}{l|l|l|l} & $A$ & $B$ & $C$ \\ \hline сила & $1$ & $3$ & $2$ \\ реакция & $2$ & $1$ & $3$ \\ техника & $3$ & $2$ & $1$ \end{tabular}$$

Смотрите, как хитро:
$A$ превосходит $B$ в реакции и технике, а уступает только в силе. Правдоподобно, что $A$ победит $B$.
$B$ превосходит $C$ в силе и технике, а уступает только в реакции. Правдоподобно, что $B$ победит $C$.
$C$ превосходит $A$ в силе и реакции, а уступает только в технике. Правдоподобно, что $C$ победит $A$.

Ого, интересная теория) Спасибо за разъяснения) Знаете, наверное мне было бы полезно почитать подобного рода литературу в качестве примеров. Запоминается гораздо легче, чем задачки после параграфа! Может знаете такую литературу (чтобы с примерами и ассоциациями определений, теорем, следствий из высшей математики)?

-- 07.03.2024, 03:14 --

wrest в сообщении #1632053 писал(а):

Amina777 в сообщении #1632051 писал(а):

Буду ждать теории вероятностей

Ну я там выше дописал, мне было куда матан применять почти сразу -- в общую физику. А бывало и наоборот - сначала что-то появлялось в физике а потом оно же в матане.

В матане я очень радовался за Эйлера, Гаусса, Коши и т.п. -- сколько ж они придумали-то...

У меня в университете есть предмет «геодезия», Гаусс и тут успел проявить себя Эйлера и Коши тоже на 1 курсе встречали:)

[svv]

Amina777
Я могу сказать одно: если Вы чувствуете магнетическое притяжение математики — это надолго.
К сожалению, по ряду причин (из-за недостатка информации, в основном) я ничего не могу сказать о том, верные ли Вы себе поставили цели.

-- Чт мар 07, 2024 01:33:27 --

Amina777 в сообщении #1632056 писал(а):

Может знаете такую литературу (чтобы с примерами и ассоциациями определений, теорем, следствий из высшей математики)?

Нет, такой литературы я не знаю, думаю, что каждому приходится оживлять теорию самостоятельно, если ему это вообще нужно.

[Утундрий]

Есть ещё такая точка зрения. Перед будущим математиком ставят ведро фактов и заставляют их (вместе с ведром) съесть. И чем позже вытошнит испытуемого — тем более перспективный он математик. Следовательно, математик — это ёмкость.

[Amina777]

[quote="svv в сообщении #1632057"]Amina777
Я могу сказать одно: если Вы чувствуете магнетическое притяжение математики — это надолго.
К сожалению, по ряду причин (из-за недостатка информации, в основном) я ничего не могу сказать о том, верные ли Вы себе поставили цели.

-- Чт мар 07, 2024 01:33:27 --

Да, не могу оставить математику. Если не попробую, то наверное всю жизнь буду жалеть об этом:(

[Rasool]

Rasool в сообщении #1631901 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1631899 писал(а):

Rasool в сообщении #1631898 писал(а):

Ну то есть Вам не хватает мотивации для изучения мат. анализа?

А почему для любви нужна обязательно какая-то мотивация? Это уже получается любовь по расчёту (как-бы не совсем настоящая).

Ну, у меня такая мотивация к изучению математики: математика - это царица наук, занимается наиболее общими законами природы. Отсюда и любовь к математике.

В свое время увлекался математической логикой и основаниями математики по той же причине - это основа всей математики. Например, мне нравился учебник О. П. Кузнецова "Дискретная математика для инженера" - там изложены основы дискретной математики для первокурсников-программистов.

[vpb]

Могут иметь место три различных ситуации:
(1) У Вас, извините, не достаточно способностей, оттого плохо получается, из-за чего, в свою очередь, и увлеченности нет;
(2) Вам не интересен именно матанализ как часть математики;
(3) Вам не идет конкретно Зорич.

И очень вероятно, что имеет место именно ситуация (3). Видите ли, в Зориче первые две главы странноватые и довольно заумные. Их содержание, т.е. общематематические и общелогические понятия, и учение о действительных числах, гораздо лучше по другим источникам осваивать. Да и остальная часть Зорича тоже имеет недостатки.

Для общих понятий попробуйте почитать
Виленкин, Рассказы о множествах
Кострикин, Введение в алгебру, том 1, глава 1
Калужнин, Введение в общую алгебру, главы 1,2, и частично 3 (по мере наличия интереса)

Собственно матанализ
Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, (в 3-х томах), введение (действительные числа), и первые две главы. (Это, так сказать, прекрасная классика).

(По матанализу есть еще другие книги, ... потом как-нибудь напишу. Или можете поискать по форуму, что я по поводу учебников для матанализа писал другим людям.)

И уж во всяком случае для магистратуры мехмата МГУ Зорич от корки до корки не нужен.

Что делать, если у вас ситуация (1) или (2) ... это сложнее. Но, скорее всего, у вас очень типичная ситуация: человек думает, что он тупой или ленивый, а на самом деле он просто пока не нашел "свою" книжку. Или ему попалась книжка вообще плохая.

[Amina777]

vpb в сообщении #1632082 писал(а):

Могут иметь место три различных ситуации:
(1) У Вас, извините, не достаточно способностей, оттого плохо получается, из-за чего, в свою очередь, и увлеченности нет;
(2) Вам не интересен именно матанализ как часть математики;
(3) Вам не идет конкретно Зорич.

И очень вероятно, что имеет место именно ситуация (3). Видите ли, в Зориче первые две главы странноватые и довольно заумные. Их содержание, т.е. общематематические и общелогические понятия, и учение о действительных числах, гораздо лучше по другим источникам осваивать. Да и остальная часть Зорича тоже имеет недостатки.

Для общих понятий попробуйте почитать
Виленкин, Рассказы о множествах
Кострикин, Введение в алгебру, том 1, глава 1
Калужнин, Введение в общую алгебру, главы 1,2, и частично 3 (по мере наличия интереса)

Собственно матанализ
Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, (в 3-х томах), введение (действительные числа), и первые две главы. (Это, так сказать, прекрасная классика).

(По матанализу есть еще другие книги, ... потом как-нибудь напишу. Или можете поискать по форуму, что я по поводу учебников для матанализа писал другим людям.)

И уж во всяком случае для магистратуры мехмата МГУ Зорич от корки до корки не нужен.

Что делать, если у вас ситуация (1) или (2) ... это сложнее. Но, скорее всего, у вас очень типичная ситуация: человек думает, что он тупой или ленивый, а на самом деле он просто пока не нашел "свою" книжку. Или ему попалась книжка вообще плохая.

Я могу у Вас попросить об одной услуге? Если Вам не сложно и есть свободное время, не могли бы вы посмотреть на сайте МГУ темы для экзамена в магистратуру и посоветовать мне по каким учебникам лучше усваивать определённые разделы? (Желательно главы). И можете глянуть задания к экзамену?
К сожалению, мне обратиться больше не к кому, а получить советы от опытных людей было бы очень полезно:)
Буду очень Вам признательна

[мат-ламер]

Amina777 в сообщении #1632054 писал(а):

Знаю, всё это звучит безумно и не осуществимо, но я хочу попытаться. Не могу бросить математику, полюбила её в последних классах. Уважаю учёных, преподавателей и сама хотела бы пойти в научную деятельность. После магистратуры планирую поступить в аспирантуру на физики или астрофизику, а дальше пойти работать в научном центре скорее всего, хотя пока не знаю:)
Надеюсь на вашу поддержку:)

Целиком поддерживаю ваше стремление к знаниям. Но считаю, что ваш план нуждается в существенной корректировке. Что касается деталей, то это всё не то и не так надо действовать. А как именно надо, я пока не готов написать. И нет пока у меня времени. Позже буду потихоньку отписываться.

[vpb]

Amina777 в сообщении #1632094 писал(а):

и есть свободное время,

Скажем прямо, у меня времени не много.

Я уже однажды (года два назад примерно) принимал участие в обсуждении темы про магистратуру мехмата МГУ. Но точно ссылки дать не могу. Предлагаю вам средствами форума найти это обсуждение и поместить ссылку сюда. Тогда я освежу то обсуждение в памяти и, возможно, сделаю некоторые дополнения. А также, можете поместить сюда ссылки на страницы с сайта МГУ, касающиеся магистратуры.

Насчет того, по каким учебникам лучше какие разделы осваивать. Это вопрос типа "какой лучший ход в шахматах" ? Ответ зависит от позиции, и от более тонких моментов (кто противник; сколько времени есть на просчет вариантов; каково положение играющего в турнирной таблице; и т.д.). Так же и в вашем случае: какую главу в каком учебнике читать, зависит от ваших способностей, имеющихся знаний, познавательных потребностей, и т.д. На сайте мехмата рекомендуют книжку Архипов-Садовничий-Чубариков. Книжка хорошая, несомненно, но, скажем так, не во всех случаях это оптимальный вариант. То же верно для других известных учебников матанализа, как то: Фихтенгольц, Зорич, Камынин, Кудрявцев, Решетняк. Что вам в каком случае больше подойдет, вы должны сами смотреть. Если брать "в целом", то лучший --- Фихтенгольц, по моему. (Это не значит, что в нём всё хорошо. Например, глава 6, "Функциональные определители", совершенно точно на настоящий момент устарела. Т.е. математика там вся по прежнему верная, конечно, но с педагогической точки зрения не то. В частности, из-за того, что линейная алгебра сейчас понимается совсем не так, как 100 лет назад.)

А пытаться через экран угадать, какие конкретно у вас в голове способности, знания и желания --- это занятие так себе ... ну вы поняли.

(Не спутайте только трехтомник Фихтенгольца с двухтомником для втузов его же, "Основы математического анализа").

[iliaborisov]

Поддерживаю относительно Фихтенгольца - не знаю как трехтомник - но в моем медвузе мы изучали по 2 томнику и он мне казался весьма понятным (одноклассник учился по Ильин Позняк - тот мне показался явно болеее тяжелым). Это что касается матана.

[wrest]

vpb в сообщении #1632142 писал(а):

Предлагаю вам средствами форума найти это обсуждение и поместить ссылку сюда. Тогда я освежу то обсуждение в памяти и, возможно, сделаю некоторые дополнения.

Нет ничего проще, вот оно: «Магистратура мехмата»