Импликация и другие логические связки

[Vladimir Pliassov]

Цитата:

Единственное множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом $\varnothing$. Для каждого $x$

$$x\notin \varnothing,$$

или

$$(x\in \varnothing)\equiv F.$$

Поскольку импликация с ложной посылкой истинна, для каждого $x$ верна импликация $x\in \varnothing \to x\in A$, откуда

$$\varnothing\subset A.$$

https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 18, 19

(В оригинале пустое множество обозначено $0$.)

По-моему, здесь что-то не так, во всяком случае, если под импликацией понимать то, что соответствует следующей таблице истинности:

$$\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline p&q&p \to q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}$$

Цитата:

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества $\{0, 1\}$. Результат также принадлежит множеству $\{0, 1\}$.

Википедия.

Есть высказывания, которые истинны при одних условиях и ложны при других условиях, и они (как аргументы) годятся для булевых функций, потому что оценка их истинности может принимать как значение $0$, так и значение $1$. Например, высказывание $p= истинно при $x=4$, и таким образом, $p$ может принимать значение $1$, и ложно при $x=2$, и таким образом, $p$ может принимать значение $0$.

А есть высказывания тождественно истинные, то есть истинные при всех условиях, и они, как я понимаю, не годятся для булевых функций (например, для импликации), потому что оценка их истинности может принимать только значение $1$, например, высказывание $p= истинно при любых условиях, и таким образом, $p$ может принимать только значение $1$;

и есть высказывания тождественно ложные, то есть ложные при всех условиях, и они тоже не годятся для булевых функций (например, для импликации), потому что оценка их истинности может принимать только значение $0$, например, высказывание $p= ложно при любых условиях, и таким образом, $p$ может принимать только значение $0$.

Так что, по-моему, $x\in \varnothing \to x\in A$ это не импликация. Или я ошибаюсь?

[zykov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1630738 писал(а):

Так что, по-моему, $x\in \varnothing \to x\in A$ это не импликация.

Почему? Вон же стрелочка.

[Vladimir Pliassov]

zykov в сообщении #1630740 писал(а):

Почему? Вон же стрелочка.

Если стрелочка означает импликацию, то в данном случае она, по-моему, поставлена без основания.

[warlock66613]

Любые два высказывания можно соединить стрелочкой, то есть образовать импликацию.

[Vladimir Pliassov]

warlock66613 в сообщении #1630744 писал(а):

Любые два высказывания можно соединить стрелочкой, то есть образовать импликацию.

Смотря что понимать под импликацией. Если под импликацией понимать то, что соответствует таблице истинности:

$$\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline p&q&p \to q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}$$

то -- дальше можно читать то, что написано в первом сообщении.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1630738 писал(а):

А есть высказывания тождественно истинные, то есть истинные при всех условиях, и они, как я понимаю, не годятся для булевых функций

Вы неправильно понимаете. Булевым функциям плевать на "условия".

[warlock66613]

Vladimir Pliassov, в вашем сообщении бессвязная ерунда. Забудьте её.

[gefest_md]

Vladimir Pliassov в сообщении #1630738 писал(а):

Так что, по-моему, $x\in \varnothing \to x\in A$ это не импликация.

Вы привели пример таблицы истинности для логики высказываний. Для логики предикатов если формула содержит свободные переменные, то на входе таблицы истинности нужно включить все эти переменные. Подробно о таких таблицах можно найти у Клини, Математическая логика, глава 2.

[Vladimir Pliassov]

Geen в сообщении #1630748 писал(а):

Булевым функциям плевать на "условия".

Да, если брать их сами по себе. Но их приложения, по-моему, возможны только к тем высказываниям, которые могут быть как истинными, так и ложными (в зависимости от условий), так как необходимо, чтобы оценкам высказываний как аргументам булевой функции было возможно принимать как значение $0$, так и значение $1$.

[gefest_md]

Таблица истинности понятие более широкое. Для высказываний таблица включает столбцы для свободных переменных, но их количество равно нулю.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1630753 писал(а):

так как необходимо, чтобы оценкам высказываний как аргументам

Откуда Вы взяли такую необходимость?

[Vladimir Pliassov]

gefest_md в сообщении #1630751 писал(а):

Вы привели пример таблицы истинности для логики высказываний. Для логики предикатов если формула содержит свободные переменные, то на входе таблицы истинности нужно включить все эти переменные. Подробно о таких таблицах можно найти у Клини, Математическая логика, глава 2.

Спасибо! Начал читать, но сочинение объемное, сразу не осилю.

Vladimir Pliassov в сообщении #1630753 писал(а):

Таблица истинности понятие пошире. Для высказываний таблица включает столбцы для свободных переменных, но их количество равно нулю.

Пока что я не знаю, что такое свободные переменные в логике высказываний, и высказывание понимаю просто как высказывание о фактах действительности.

Цитата:

Ложное утверждение это утверждение [, которое] не соответствует действительности.

https://ru.wikibrief.org/wiki/False_statement

Правда, тут возникает вопрос, что такое в математике действительность, пытался найти ответ, не нашел, но буду исходить из того, что, например, утверждение "$8$ делится на $4$", по моим представлениям соответствует действительности, а утверждение "$3$ делится на $4$" -- нет.

Geen в сообщении #1630758 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1630753 писал(а):

так как необходимо, чтобы оценкам высказываний как аргументам

Откуда Вы взяли такую необходимость?

Из таблицы истинности любой из 16 бинарных булевых функций, а значит и любой из 16 бинарных функций высказываний:

Цитата:

между булевыми функциями и формулами алгебры высказываний можно установить взаимно-однозначное соответствие, если:

установить взаимно-однозначное соответствие между булевыми и пропозициональными переменными;
установить связь между булевыми функциями и логическими связками;
оставить приоритет операций без изменений.

Википедия

В любой из таблиц истинности, например, в таблице истинности импликации:

$$\begin{center} \begin{tabular}{ |c|c|c| } \hline p&q&p \to q\\ \hline 0& 0& 1\\ \hline 0& 1& 1 \\ \hline 1& 0& 0 \\ \hline 1& 1& 1 \\ \hline \end{tabular} \end{center}$$

мы видим, что аргументы $p$ и $q$ принимают как значение $0$, так и значение $1$, значит, высказывания $p$ и $q$ должны быть как истинными, так и ложными (в зависимости от условий.)

[dgwuqtj]

Vladimir Pliassov в сообщении #1630761 писал(а):

значит, высказывания $p$ и $q$ должны быть как истинными, так и ложными (в зависимости от условий.)

Импликация - это просто бинарная операция на множестве $\mathbb B = \{ 0, 1 \}$. Вы же не будете утверждать, скажем, что функция $x \mapsto f(x) + g(x)$ для числовых функций $f, g \colon \mathbb R \to \mathbb R$ определена только если обе $f, g$ сюръективны?

[Vladimir Pliassov]

dgwuqtj в сообщении #1630778 писал(а):

Импликация - это просто бинарная операция на множестве $\mathbb B = \{ 0, 1 \}$. Вы же не будете утверждать, скажем, что функция $x \mapsto f(x) + g(x)$ для числовых функций $f, g \colon \mathbb R \to \mathbb R$ определена только если обе $f, g$ сюръективны?

Здесь, по-моему, путаница. Бинарная булева функция это функция от двух аргументов $p$ и $q$, каждый из которых определен на множестве $\{0, 1\}$, и высказывания, соответствующие этим аргументам (эти высказывания можно обозначить теми же буквами $p$ и $q$) должны быть как истинными, так и ложными (в зависимости от условий), чтобы соответствующий высказыванию аргумент булевой функции мог принимать как значение $0$, так и значение $1$.

[dgwuqtj]

Высказывания в вашем смысле - это вообще предикаты, то есть отображения вида $X \to \mathbb B$ для некоторого множества (или даже класса) $X$. Вообще не имеет значения, принимают ли они оба значения или только одно из них. Или вообще ни одного, если $X = \varnothing$.