Основания классического математического анализа.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1630013 писал(а):

Но я помню, что Вам не нравится брать модели в качестве определений

Мне не "не нравятся" модели, а я Вам говорю, что модели тоже определяются аксиомами. Поэтому когда Вы определяете что-то с помощью модели, то навешиваете на понятие некую лишнюю аксиоматику.

EminentVictorians в сообщении #1630013 писал(а):

Просто "ограничено" здесь понимается в смысле отношения порядка на гипердействительных числах.

Мне неинтересны альтернативные определения порядка на натуральных числах. Просто скажите, в Вашем определении есть инъективная функция инкремента?

[Mikhail_K]

epros в сообщении #1630033 писал(а):

Мне неинтересны альтернативные определения порядка на натуральных числах. Просто скажите, в Вашем определении есть инъективная функция инкремента?

Натуральные числа и порядок на них у EminentVictorians самые обычные, и операция инкремента тоже. Просто он рассматривает натуральные числа внутри множества гипердействительных чисел, среди которых есть числа, которые больше всех натуральных. Поэтому множество натуральных чисел у него получается ограниченным. А сказано это было в контексте начатого ТС разговора об "интуиции". Дело в том, что математика гипердействительных чисел по-своему интуитивна, и значит, существует интуиция, согласно которой множество натуральных чисел ограничено. Как я понимаю, это аргумент о том, что ссылки ТС на интуицию при формулировке оснований математического анализа - очень нечёткие, и не у всех такая же интуиция как у ТС.

[epros]

Mikhail_K в сообщении #1630036 писал(а):

Поэтому множество натуральных чисел у него получается ограниченным.

Я понял, что он строит нестандартную модель натуральных чисел. Но я спрашиваю о том, для любого ли его натурального числа $x$ существует натуральное число $x+1$, которое не совпадает ни с одним предшествующим числом?

[Mikhail_K]

epros в сообщении #1630037 писал(а):

Но я спрашиваю о том, для любого ли его натурального числа $x$ существует натуральное число $x+1$, которое не совпадает ни с одним предшествующим числом?

Для любого. У него выполнены все аксиомы Пеано.

[epros]

Mikhail_K в сообщении #1630038 писал(а):

Для любого. У него выполнены все аксиомы Пеано.

А в чём тогда "ограниченность"? Если предположить, что $x$ - "граница", то очевидно, что существование $x+1$ это предположение опровергает.

[Mikhail_K]

epros в сообщении #1630039 писал(а):

А в чём тогда "ограниченность"?

Натуральной границы $x$ у него и нет. Есть гипедействительная, не являющаяся натуральной.

EminentVictorians
А вот что интересно уже мне: почему Вы сказали, что по Вашей интуиции получается ограниченность натуральных чисел?
Если Вы мыслите в рамках нестандартного анализа, то почему Вы ограничиваетесь стандартными натуральными? Почему не считаете, что множество натуральных чисел содержит также бесконечно большие натуральные числа, и поэтому всё-таки неограничено?
Ведь в рамках нестандартного анализа нет никакой чёткой грани, отделяющей стандартные натуральные числа от нестандартных. Говоря точнее, множество стандартных натуральных чисел не является внутренним. И как бы по "гипердействительной" интуиции такого множества вообще нет.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1630033 писал(а):

Просто скажите, в Вашем определении есть инъективная функция инкремента?

Есть. Это буквально функция прибавления единицы, где под прибавлением понимается операция в соответствующей числовой системе (в частности, в системе гипердействительных чисел).

epros в сообщении #1630033 писал(а):

Мне неинтересны альтернативные определения порядка на натуральных числах.

Порядок не альтернативный, он совпадает с каноническим порядком.

epros в сообщении #1630039 писал(а):

Если предположить, что $x$ - "граница", то очевидно, что существование $x+1$ это предположение опровергает.

Граница множества не обязана принадлежать этому множеству. $x$ в моем случае - это бесконечно большое число. Оно не представимо в виде $(((1+1)+...)+1$, т.е. не является стандартным натуральным.

[epros]

Mikhail_K в сообщении #1630040 писал(а):

Натуральной границы $x$ у него и нет. Есть гипедействительная, не являющаяся натуральной.

Вот и я говорю, что натуральной границы нет. А про гипердействительную границу я просто не хочу ничего знать.

-- Вс фев 18, 2024 12:07:07 --

EminentVictorians в сообщении #1630041 писал(а):

Граница множества не обязана принадлежать этому множеству.

В данном случае обязана, потому что мы говорим о границе в пределах натуральных чисел. Понятное дело, что если рассмотреть, например, множество ординалов меньших $\varepsilon_0$, то можно говорить, что ординал $\omega_0$ является границей натуральных чисел. Но он - не натуральное число.

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1630040 писал(а):

А вот что интересно уже мне: почему Вы сказали, что по Вашей интуиции получается ограниченность натуральных чисел?

Я могу небольшую личную историю рассказать на этот счет. Я отчетливо помню, что в детстве я верил в существование настолько больших чисел, что "приписыванием ноликов до них не добраться". Это же в чистом виде интуиция бесконечно больших чисел! Стоит ли потом удивляться, что когда я прочитал в книжке Успенского про бесконечно большие числа и "галактики", я все эти вещи усвоил просто моментально. Потому что я все это уже знал, пусть и где-то далеко в подкорке. Я, кажется, даже представлял в детстве, что если взять настолько огромную "гору", то какое-бы обычное число с ноликами мы бы ни взяли, оно будет казаться неотличимым от точки "мешком" где-то у подножья этой горы. Это ровным счетом интуитивное понимание бесконечно большого числа: Если "встать ногами" на бесконечно большое число и посмотреть с него на любое стандартное, то это стандартное будет неотличимо от нуля. Я просто знаю, что Вы интересуетесь разными вопросами педагогики и психологии, поэтому вдруг Вам эта моя история окажется интересной.

Так что я действительно верю, что у разных людей может быть разная интуиция насчет чисел. Это к вопросу "интуитивных оснований" топикстартера.

Mikhail_K в сообщении #1630040 писал(а):

Если Вы мыслите в рамках нестандартного анализа, то почему Вы ограничиваетесь стандартными натуральными? Почему не считаете, что множество натуральных чисел содержит также бесконечно большие натуральные числа, и поэтому всё-таки неограничено?

Тут вот какое дело. Я мыслю в рамках $^* \mathbb R$, но не в рамках нестандартного анализа. Это звучит странно, поэтому попробую объяснить подробнее. Я полностью построил модель $^* \mathbb R$ на свободном ультрафильтре, доказал все аксиомы поля и порядка (т.е. что $^* \mathbb R$ - упорядоченное поле) . Доказал существование бесконечно больших и бесконечно малых чисел, выделил в ней действительные числа. Короче говоря, сделал всё, что касается собственно чисел. Мне эта числовая система безумно понравилась. Я уж думал, что все - я нашел то, что так давно искал, что можно забывать уже наконец $\mathbb R$. Но с гипердействительными числами есть одна огромная проблема, которая перечеркнула все мои планы на корню: на $^* \mathbb R$ невозможно построить анализ внешним образом. Внешним образом - это как обычный анализ над $\mathbb R$. Когда Вы в рамках обычного анализа рассматриваете, допустим, функцию $f(x) = \sqrt{x}$, $[0, +\infty) \to \mathbb R$, Вы явно представляете себе эту функцию, где она определена и все такое. В нестандартном же анализе придется рассматривать гипердействительный аналог $^*\sqrt{}$ этой функции. Т.е. придется все равно знать про вещественный корень и потом строить его гипердействительный аналог. А я хотел вообще забыть все, что касается действительных чисел, и просто "переизучить" всю математику, условно говоря, после 7-8 класса, т.е. переформулировать явным образом (без апеллирования к $\mathbb R$) все теоремы про корни, синусы, логарифмы и т.п. Но это, к сожалению, невозможно. Хорошего внешнего анализа над $\mathbb R$ нету. Вы можете спросить, почему бы тогда не взять обычный нестандартный анализ, т.е. внутренний анализ на $^* \mathbb R$. Дело в том, что он мне не нравится. Мне не нравится принцип переноса. Чтобы его сформулировать, надо вводить формальную систему гипердействительных чисел в языке первого порядка. А я терпеть не могу формальные теории и логику первого порядка. По сути принцип переноса - это утверждение об элементарной эквивалентности $^* \mathbb R$ и $\mathbb R$ как формальных интерпретаций. А Вы знаете, что я не переношу формализм и логику первого порядка. Вот такая вот безвыходная ситуация.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1630063 писал(а):

А я терпеть не могу формальные теории и логику первого порядка.

Интересно, куда Вы денетесь без логики? Это ведь всего лишь "правила рассуждений". И слово "формальная" всего лишь означает, что эти правила достаточно строго определены.

[talash]

EminentVictorians в сообщении #1629912 писал(а):

В совсем традиционной математике не было, например, отрицательных чисел. Но Вы-то их, по-моему, принимаете. Значит у Вас уже "не совсем традиционная" математика. А если я не правильно понял хронологические рамки традиционной математики, тогда зафиксируйте их явно.

Рамки такие:
Классический математический анализ и всё что ему предшествует, то есть, арифметика и элементарная алгебра.

EminentVictorians в сообщении #1629912 писал(а):

И как понять, будет математика "совсем другая" или не совсем. В более современной математике не было числа, квадрат которого был бы равен $(-1)$. Потом такая числовая система появилась. В этот момент математика стала "совсем другой"?

Тут дело не только в том, что будет другая математика, может её вовсе не будет, потому что непонятно как можно ввести ограничение натурального ряда. Какое взять число? Почему именно его? Неограниченность выглядит логичнее, поэтому мы выбираем этот вариант.

Что касается комплексных чисел, то это обобщение, то есть расширение математики, не отменяющее предыдущих достижений.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1630066 писал(а):

Интересно, куда Вы денетесь без логики?

Мы ведь это обсуждали миллион раз. Я верю в существование Логики - обычной нормальной человеческой логики. А все формализованные варианты (типа той же логики первого порядка) я считаю моделями этой Логики.

Вообще, я доверяю неформальным доказательствам (типа тех, которые в учебниках и статьях) гораздо больше, чем формальным доказательствам. Вот буквально доказательству на естественном языке я верю больше, чем доказательству с какого-нибудь metamath (при условии, что я его понимаю, конечно).

Точно так же я считаю, что математическое доказательство - это не последовательность строк, где каждая - аксиома или получается из предыдущих по некоторому правилу вывода (хотя матлогика пытается убедить в обратном). То, что определяется в матлогике - это, на мой взгляд, модель математического доказательства. И мне как-то даже дико, почему все в математическом сообществе так легко подхватили эту матлогическую разводку, что доказательство = формальное доказательство.

[talash]

epros в сообщении #1629989 писал(а):

talash в сообщении #1629877 писал(а):

Основания строятся на интуитивно очевидных понятиях.

Вам интуитивно не очевидно, что десятичная дробь - это последовательность цифр?

Я не улавливаю, что Вы пытаетесь донести. Если число $0.991$ округлить с точностью до десятой доли, то получится $1.0$, а если до сотой, то $0.99$. Вы в этом находите какой-то фатальный недостаток десятичных дробей?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1630121 писал(а):

Я верю в существование Логики - обычной нормальной человеческой логики.

Так это и есть нормальная человеческая логика. Неформальные рассуждения отличаются только бОльшим простором для неоднозначностей, недопонимания, демагогии и прочих злоупотреблений. Мы об этом уже говорили, но Вы почему-то не хотите этого понять.

talash в сообщении #1630126 писал(а):

Если число $0.991$ округлить с точностью до десятой доли, то получится $1.0$, а если до сотой, то $0.99$. Вы в этом находите какой-то фатальный недостаток десятичных дробей?

Причём тут округления? Округлённое число - уже другое число. $1.000$ отличается от $0.991$ именно потому что это - разные последовательности цифр.

[talash]

EminentVictorians в сообщении #1630121 писал(а):

Я верю в существование Логики - обычной нормальной человеческой логики.

Кстати, на тему логики.
До этого в теме мы пришли к результату, что число в виде десятичной дроби имеет конечную целую часть и конечную либо бесконечную дробную часть. Числа с конечной либо бесконечной периодической дробной частью мы назвали рациональными, остальные иррациональными. Таким образом, мы все возможные числа поделили на два класса. Следовательно, если число не является рациональным, значит оно иррациональное. И наоборот.

В то же время, я слышал про так называемую "интуиционистскую логику" по которой нельзя делать утверждения, выделенные жирным в предыдущем абзаце. Я не понимаю как они пришли к такой странной логике.