Термодинамическое равновесие и градиент температуры

[tehnolog]

pppppppo_98 в сообщении #1628984 писал(а):

у вас $2 dU$... условно у вас два слоя толщиной $dH$ каждый, и в каждом слое и потенциальная энергия от дна до вершины слоя растет на $dU$. Если усреднить по всему слою то в среднем молекула находится на уровне $\frac{dH}{2}$ (по потенциалу) в любом из слое, стало быть при переходе высота в среднем меняется dH/2 или на разницу $\frac{dU}{2}$? до границы слоя - после чего она попадает в другой слой,

Какие-то двойные стандарты получаются.. Почему тогда не взяли $dU/2$ когда баланс по частицам считали? Тогда там формула Больцмана не выходит.

[pppppppo_98]

а почему я это должен делать... у меня энергия молекулы взятой произвольным образом в слое 1 , и перемещенной в слой 2 изменяется в среднем на dU (симметричное треуголбное распределение вертоятности с нулевой плотностью в то 0 и 2 dU, и вершиной в точке dU), а у вас детерминированный скачек 2dU(р) (все частицы проходят от низа нижнего слоя до верха верхнего слоя). Вы эыыективно потенциал поля вдвое увеличили

[tehnolog]

pppppppo_98 в сообщении #1629005 писал(а):

а почему я это должен делать... у меня энергия молекулы взятой произвольным образом в слое 1 , и перемещенной в слой 2 изменяется в среднем на dU (симметричное треуголбное распределение вертоятности с нулевой плотностью в то 0 и 2 dU, и вершиной в точке dU), а у вас детерминированный скачек 2dU(р) (все частицы проходят от низа нижнего слоя до верха верхнего слоя). Вы эыыективно потенциал поля вдвое увеличили

Я согласен, что нужно было взять $\frac{1}{2}dU$ при подсчете энергетических потоков. Это видно сейчас из рисунка. Но не понимаю, почему при подсчете потока частиц берется $dU$. Частицы, при перемещении вверх из нижней границы нижнего слоя на нижнюю границу верхнего, должны обладать минимальным запасом поступательной энергии, чтоб долететь - $dU$. А те что уже находятся на границе между рассматриваемыми слоями $0$ - вым. Тогда средняя минимальная энергия, которой должна обладать частица, чтоб долететь из середины нижнего слоя до границы с верхним - $\frac{1}{2}dU$. В чем я ошибаюсь?

[pppppppo_98]

потому что усреденная разница энергий молекуд населяющих уровни dU...Если сверху ушло какое то количество молекул вниз ... образовались равномерно распределенные по высоте вакансии (дырки), и тогда для заполнения этих дырок нужны молекулы из нижнего слоя с пороговой кинетической энергией dU (в среднем по слою).

[tehnolog]

Спасибо, конечно, но не убедительно:
1. Тогда то же можно было бы сказать и про энергию - "ушли молекулы, образовались равномерно распределенные дырки, разница в среднем между этими дырками в двух слоях - $dU$, и мы опять приходим к первоначальному вопросу когда сумма потоков дает слагаемое $2dU$...
2.Но самое главное, в чём я вижу противоречие, это что вы сейчас объясняете с позиции равномерно распределённых дырок, что молекулы покинувшие один слой, занимают в среднем одноименные позиции в другом, затрачивая $dU$. На мой взгляд это ошибка, т.к. нас при подсчёте числа долетевших молекул интересует, чтоб молекулы достигли границы рассматриваемых слоёв, а не долетели до средней линии. После пересечения границы, нас уже не интересует, что происходит с молекулой - она уже попала в слой, и дальше её энергия может распределяться как угодно. В пользу этого говорит и сам метод расчета - вы ведь считаете поток частиц через границу раздела из произведения $n(z)\int F(v)v\,dv$, которое зависит от $n(z)$. Так что ж вы теперь берете пол области из слоя с координатой $z$, а половину из слоя с $z+dz$? Этим областям соответствуют разные $n$ (ваше утверждение соответствует переходу частиц со средней линии одного слоя, до средней линии другого - этому интервалу соответствуют разные $n$ (см. рисунок)) Поэтому, нужно рассматривать расстояние от средней линии, до границы слоя - этому соответствует $\frac{dU}{2}$
Смотрю и думаю...., что исходя из всего этого следует все наоборот: при подсчёте потока молекул нужно брать величину $\frac{dU}{2}$; при подсчете потока энергии - в подынтегральном выражении оставлять $dU$, а в пределах интегрирования $\frac{dU}{2}$. Но это только усугубляет проблему с формулой Больцмана.

[tehnolog]

tehnolog в сообщении #1627488 писал(а):

Итак, имеем функцию распределения проэкций скоростей молекул на ось z: $F(v)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$ Поток энергии вдоль оси z (вверх) определится выражением:

$$E_u=n(z)\int\limits_{v_t}^{+\infty}\left(\frac{mv^2}{2}-dU\right)F(v)v\,dv=n(z)\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\int\limits_{v_t}^{+\infty} \left(\frac{mv^2}{2}-dU\right) e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\,v\,dv=$$

Я, кстати, здесь ошибся...Нужно было написать

$$E_u=n(z)\int\limits_{v_t}^{+\infty}\left(\frac{i}{2}kT-dU\right)F(v)v\,dv$$

$$E_d=n(z)\int\limits_{-\infty}^{0}\left(\frac{i}{2}kT+dU\right)F(v)v\,dv$$

. Ибо так я учитываю энергию по всем степеням свободы, а не только поступательную, вдоль $z$.

[pppppppo_98]

tehnolog в сообщении #1629065 писал(а):

Я, кстати, здесь ошибся...Нужно было написать

a5-25...Еще раз говорю на 2 делить dU в ваших выражениях (среднее по слою значение потенциальной энергии), и концентрацию исправить.Из-за малости dU в выражении $(E_u) можно нижний предел взять 0. Затем подставите выражение барометрической формулы и в сумме получите 0 с точноностью до слагаемых второго порядка малости по dU

-- Вс фев 11, 2024 12:03:07 --

tehnolog в сообщении #1629047 писал(а):

. После пересечения границы, нас уже не интересует, что происходит с молекулой - она уже попала в слой, и дальше её энергия может распределяться как угодно.

волнует... ибо должно вернуться прежнее распределение вероятности размещения вероятности молекул по высоте - так того требует принцип детального равновесия... а у вас они накапливаются либо на верхней либо на нижней границе слоя

tehnolog в сообщении #1629047 писал(а):

при подсчёте потока молекул нужно брать величину $\frac{dU}{2}$

это средняя энергия перехдящпя в потенциальноую при движении из прозводного места нижнерго слоя до границы слоев, и еще столько же переходит в потенциальную, для размещения в произвольном месте верхнего слоя

[tehnolog]

pppppppo_98 в сообщении #1629088 писал(а):

это средняя энергия перехдящпя в потенциальноую при движении из прозводного места нижнерго слоя до границы слоев, и еще столько же переходит в потенциальную, для размещения в произвольном месте верхнего слоя

Погодите, у нас ведь при подсчете фактически "сортировка" молекул на те, которые попали в слой (которые долетели до границы), и те, которые не долетели. У тех, которые попали в слой, $E_z$\geq\frac{dU}{2}$ Т.е. у них энергия больше этого значения (а не равна), и остальная необходимая часть энергии из общей кинетической энергии расходуется для распределения, по высоте верхнего слоя, о котором вы говорили. Так чего они тогда должны накапливаться на границе? У нас интеграл, выражающий поток частиц вверх, через границу слоёв, сводится к- $n(z)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}\int\limits_{dU}^{+\infty}e^{-\frac{E}{kT}}dE$, и фактически определяет число частиц проходящих через границу(или число ударов о виртуальную стенку, которая расположена на границе, если угодно), а не центр слоя. Под границей - распределение $n(z)$, над границей - $n(z+dz)$. Тогда почему мы интегрирование проводим от $dU$, а не от $\frac{dU}{2}$

pppppppo_98 в сообщении #1629088 писал(а):

Из-за малости dU в выражении $(E_u) можно нижний предел взять 0. Затем подставите выражение барометрической формулы и в сумме получите 0 с точноностью до слагаемых второго порядка малости по dU

Как можно пренебрегать бесконечно малой величиной того же порядка в пределах интегрирования, когда мы имеем с ней же дело в подынтегральном выражении?? Создается впечатление, что вы любыми путями пытаетесь подбить результат под изотермическую парадигму.

pppppppo_98 в сообщении #1629088 писал(а):

a5-25...Еще раз говорю на 2 делить dU в ваших выражениях (среднее по слою значение потенциальной энергии), и концентрацию исправить.

Концентрацию для $E_d$ я не досмотрел при наборе, спасибо. Естественно $n(z+dz)$. Почему делить на два - дошло, ура..., до границы между слоями, в которой мы определяем поток - $\frac{dU}{2}$

P.S. За Ваше терпение отдельное спасибо. Возможно мне придется углубиться в статистику, и я осознаю свою неправоту или...наоборот

[tehnolog]

pppppppo_98 в сообщении #1629036 писал(а):

потому что усреденная разница энергий молекуд населяющих уровни dU...Если сверху ушло какое то количество молекул вниз ... образовались равномерно распределенные по высоте вакансии (дырки), и тогда для заполнения этих дырок нужны молекулы из нижнего слоя с пороговой кинетической энергией dU (в среднем по слою).

Полностью согласен, дошло, но с запозданием. Молекулы делают скачек $dU$, и занимают в среднем одноименные позиции в вышележащем слое - только так можно считать, что они достигли вышележащего слоя. Ещё раз спасибо, pppppppo_98

У меня остается одно противоречие, но наверное и самое главное, это вот это:

tehnolog в сообщении #1629155 писал(а):

Из-за малости dU в выражении $(E_u) можно нижний предел взять 0.

Мы этого не имеем права делать, потому что это величина того же порядка малости, что и $\frac{dU}{2}$в подынтегральном выражении. И она также даёт соответствующие члены с $dU$ при раскрытии интеграла:

$$E_u=n(z)\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\int\limits_{v_t}^{+\infty}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\left(\frac{i}{2}kT-\frac{dU}{2}\right)v\,dv=$$

$$=n(z)\frac{i}{2}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\int\limits_{dU}^{+\infty}e^{-\frac{E}{kT}}dE - n(z)\frac{dU}{2}\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}\int\limits_{dU}^{+\infty}e^{-\frac{E}{kT}}dE =$$

$$= n(z)\frac{i}{2}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}kT - n(z)\frac{i}{2}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}dU - n(z)\frac{1}{2}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}dU$$

$$E_d=n(z+dz)\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\int\limits_{-\infty}^{0}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\left(\frac{i}{2}kT+\frac{dU}{2}\right)v\,dv=$$

$$=n(z+dz)\frac{i}{2}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\int\limits_{+\infty}^{0}e^{-\frac{E}{kT}}dE + n(z+dz)\frac{dU}{2}\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}\int\limits_{+\infty}^{0}e^{-\frac{E}{kT}}dE =$$

$$= -n(z+dz)\frac{i}{2}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}kT - n(z+dz)\frac{1}{2}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}dU$$

$$E_u+E_d=-\frac{i}{2}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}kT\,dn - \frac{i+2}{2}\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}n\,dU = 0$$

$$ ikT\,dn+(i+2)n\,dU=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dn}{n}=-\frac{(i+2)}{ikT}dU$$

Что не приводит к формуле Больцмана.

[siago]

tehnolog, я далёк от того уровня понимания, чтобы на равных обсуждать эту проблему, хотя за дискуссией наблюдаю с интересом, поэтому мой вопрос касается только принципов: можем ли мы, выделяя элементарный слой, говорить о его верхней и нижней границах? Не для того ли ввели мы это понятие, чтобы отвлечься от его толщины и, хотя она равна расстоянию между слоями, не говорить о слое, как о чём-то, имеющем толщину, а говорить только о расстоянии между слоями?

[sergey zhukov]

Посмотрел лекцию Олега Угольникова об атмосфере Земли. У меня сложилось впечатление, будто он тоже считает адиабатический температурный градиент естественным распределением температуры воздуха по высоте в атмосфере. В одном месте он говорит "Для воздушной массы в поле силы тяжести естественно уменьшение температуры с высотой". И приводит пример с адиабатическим расширением поднимающегося воздуха. В другом месте он говорит "В мезосфере температура вновь начинает падать с высотой в полном соответствии с законом всемирного тяготения на самом деле". Т.е. это как будто и без конвекции так должно быть. Мне показалось, он так думает.

[tehnolog]

siago в сообщении #1632188 писал(а):

tehnolog, я далёк от того уровня понимания, чтобы на равных обсуждать эту проблему, хотя за дискуссией наблюдаю с интересом, поэтому мой вопрос касается только принципов: можем ли мы, выделяя элементарный слой, говорить о его верхней и нижней границах? Не для того ли ввели мы это понятие, чтобы отвлечься от его толщины и, хотя она равна расстоянию между слоями, не говорить о слое, как о чём-то, имеющем толщину, а говорить только о расстоянии между слоями?

Едва ли и я на равных могу вести дискуссию, учитывая, что тут люди с профильным образованием по физике. Это так, в первом приближении...))
Понятно, что границы слоя - вещь достаточно условная. Рассматривая элементарный слой, мы всё равно предполагаем, что он имеет некоторую конечную толщину, достаточную для того, чтоб в него попадало много молекул, и можно было применять положения статистики. Только в этом случае можно говорить о температуре слоя, или о его плотности. Однако, по сравнению с масштабом всей системы, это значение толщины слоя имеет размер бесконечно малой величины, что позволяет применять к ней соответствующие операции дифференциального и интегрального исчислений.