Вопрос про алгебраический и арифметический корни

[Cobb-Douglas]

Здравствуйте!

В лекциях Будака по элементарной математике сказано, что запись $\sqrt{4}=-2$ не корректна. Объясните, пожалуйста, почему? Вроде бы, данный ответ ложится в определение алгебраического корня.
Похожие вопросы уже обсуждались, но все равно остается недопонимание. И вообще, есть ли учебник, в котором детально объясняется тема "Корень n-й степени"; где четко рассмотрены понятия алгебраического и арифметического корней.
В школьных учебниках данная тема везде объясняется крайне запутанно. Во многих про алгебраический корень нет ни слова.

Спасибо за ответы!

[Mikhail_K]

Cobb-Douglas в сообщении #1626569 писал(а):

В лекциях Будака по элементарной математике сказано, что запись $\sqrt{4}=-2$ не корректна. Объясните, пожалуйста, почему? Вроде бы, данный ответ ложится в определение алгебраического корня.

Потому что в элементарной математике достаточно понятия арифметического корня. Зачем Вам нужен алгебраический?
Кроме арифметического корня, бывает нужен ещё комплексный корень - ну так он обсуждается в тот момент, когда изучаются комплексные числа, а до этого момента и он не нужен.

[Cobb-Douglas]

Тут вопрос в понимании, а не в нужности/ненужности.
Например, в учебнике Никольского запись

$b^{2k+1}=a$ означает $b=\sqrt[2k+1]{a}$.

Для коней четной степени он приводит запись:
$b^{2k}=a$ и $(-b)^{2k}=a$,
но далее не пишет, что
$b=\sqrt[2k]{a}$ и $(-b)=\sqrt[2k]{a}$.
А затем, примерах есть запись $-\sqrt[4]{16}=-2$. Как будто автоматически подразумевается, что $\sqrt[4]{16}=2$ и только 2.
Остается недопонимание, можно ли записать $(-b)=\sqrt[2k]{a}$ или нет. Или правильно писать
$(-b)=-\sqrt[2k]{a}$ согласно вышеприведенному примеру.

[Mikhail_K]

Cobb-Douglas
Никольский пишет всё верно. Корень нечётной степени и корень чётной степени определяются по-разному. Корень нечётной степени можно извлекать из любых вещественных чисел, а корень чётной степени - только из неотрицательных. Корень чётной степени, по определению, обязательно неотрицателен, а корень нечётной степени - не обязательно.

Да, в чём-то определение корня $n$-й степени неуклюжее, но оно удобное и исторически сложившееся.

[Gagarin1968]

Cobb-Douglas
На форуме уже неоднократно обсуждался Ваш вопрос. Самый поверхностный поиск дал вот эти темы:
Как узнать -- арифметический корень или алгебраический?
Арифметический/алгебраический корень
Квадратный корень vs Арифметический квадратный корень
Просмотрите их. Возможно, есть и ещё. Но я думаю, тут уже всё разобрано.

[Cobb-Douglas]

Так все-таки, правильно $(-b)=\sqrt[2k]{a}$ или
$(-b)=-\sqrt[2k]{a}$.

[wrest]

Cobb-Douglas в сообщении #1626594 писал(а):

Так все-таки, правильно $(-b)=\sqrt[2k]{a}$ или
$(-b)=-\sqrt[2k]{a}$.

$b=\pm\sqrt[2k]{a}$

[talash]

Cobb-Douglas в сообщении #1626587 писал(а):

он приводит запись:
$b^{2k}=a$ и $(-b)^{2k}=a$,
но далее не пишет, что
$b=\sqrt[2k]{a}$ и $(-b)=\sqrt[2k]{a}$.

Всё же логично, потому что знак $\sqrt$ означает арифметический корень, значение которого всегда положительно. Если где-то этот знак используется в другом смысле, рассматривайте это как "сленг".

[warlock66613]

Cobb-Douglas в сообщении #1626594 писал(а):

Так все-таки, правильно $(-b)=\sqrt[2k]{a}$ или
$(-b)=-\sqrt[2k]{a}$.

Ни то, ни другое, так как мы не знаем знак $b$. Если договориться, что $b \geqslant 0$, то $b=\sqrt[2k]{a}$ по определению (арифметического) квадратного корня и, домножая на $-1$ получим $-b=-\sqrt[2k]{a}$.