Еще раз о классе элементарных функций

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1625161 писал(а):

Не показательная, но элементарная.

EminentVictorians в сообщении #1624946 писал(а):

Я сам определяю элементарные функции ровно таким образом.

[EminentVictorians]

И что? "Таким образом" - это значит через подход с функциональными уравнениями, а не то, что у меня все функции - показательные.

[Mikhail_K]

Geen
Не понимаю, что Вам не нравится.

Элементарные функции - это получающиеся за конечное число шагов из линейной, степенной, показательной (включая тождественную единицу) и логарифмической, рассматриваемых на комплексной плоскости, с помощью операций сложения, умножения и композиции (а также сужения получаемых функций на вещественную ось или её подмножества, где эти функции принимают вещественные значения).

Функция и отображение - одно и то же. Название "линейная функция" для числовых функций, заданных формулой $f(x)=ax+b$ - исторически сложившееся, но явно неудачное, и слово "аффинная функция" подходило бы лучше. Это чем-то похоже на "равные" треугольники, которые на самом деле не равны (как множества), а конгруэнтны. Сказанное в обоих случаях не означает, конечно, что надо обязательно переписать школьные учебники с использованием более подходящих терминов.

[warlock66613]

Mikhail_K в сообщении #1625183 писал(а):

Элементарные функции - это получающиеся за конечное число шагов из линейной, степенной, показательной (включая тождественную единицу) и логарифмической, рассматриваемых на комплексной плоскости, с помощью операций сложения, умножения и композиции (а также сужения получаемых функций на вещественную ось или её подмножества, где эти функции принимают вещественные значения).

Это просто подгон решения под ответ задним числом, причём с натяжками (комплексная плоскость, выкидывание тригонометрических функций).

[Mikhail_K]

warlock66613 в сообщении #1625187 писал(а):

Это просто подгон решения под ответ задним числом

Ну, здесь же не стояло никакой конкретной задачи, так что сложно говорить про подгон решения под ответ.
А с другой стороны, построение чуть ли не любой математической теории - это "подгон решения под ответ". Определения группы, линейного, топологического, гильбертова пространства - появились позже, чем применения этих математических объектов. То есть сначала мы получаем некую кучу результатов, а уже потом, зная эти результаты, думаем, как бы красиво изложить теорию, к этим результатам ведущую.

warlock66613 в сообщении #1625187 писал(а):

причём с натяжками (комплексная плоскость

Ну можно изначально говорить про функции на комплексной плоскости. Требование непрерывности в определениях простейших элементарных функций заменить на требование аналитичности (возможно, всюду кроме нуля). Как я понимаю, всё будет работать. Ну а тригонометрические функции тогда выразятся через показательную и линейную.

[EminentVictorians]

warlock66613 в сообщении #1625187 писал(а):

Это просто подгон решения под ответ задним числом, причём с натяжками (комплексная плоскость, выкидывание тригонометрических функций).

А мне наоборот при первом знакомстве тригонометрия казалась какой-то "случайной" в классе основных элементарных функций.

[Geen]

Mikhail_K в сообщении #1625189 писал(а):

в определениях простейших элементарных функций

Ээээ, то есть у нас ещё определение "простейшей элементарной" функции появляется?
Ну допустим. А как мы составляем список этих простейших? Почему, например, в него не входит решение уравнения $f(x+1)=xf(x)$?

[Mikhail_K]

Geen в сообщении #1625195 писал(а):

Ээээ, то есть у нас ещё определение "простейшей элементарной" функции появляется?

Ну конечно. Но без него и в принципе нигде не обходятся, просто обычно список простейших элементарных функций более обширный и бессистемный.

Geen в сообщении #1625195 писал(а):

А как мы составляем список этих простейших?

Сложение и умножение - два базовых арифметических действия. Четыре функциональных уравнения - сохранение суммы, сохранение произведения, перевод суммы в произведение, перевод произведения в сумму. По-моему, это довольно эстетично.

Впрочем, о вкусах не спорят.

[warlock66613]

EminentVictorians в сообщении #1625192 писал(а):

А мне наоборот при первом знакомстве тригонометрия казалась какой-то "случайной" в классе основных элементарных функций.

Они там все случайные. Да, можно пытаться подогнать под это какую-то теорию (и даже довольно красивую как мы видели), но это всё равно будет лукавство.

[Geen]

Mikhail_K в сообщении #1625197 писал(а):

Сложение и умножение - два базовых арифметических действия.

Гм, а мне кажется, что базовое арифметическое действие только одно: прибавление единицы...
И заметьте, оно, как раз, выражено в том уравнении, что я предлагаю добавить

[EminentVictorians]

При всей моей любви к гамма-функции, уравнения Коши все же эстетичнее.

-- 08.01.2024, 00:12 --

Geen в сообщении #1625195 писал(а):

$f(x+1)=xf(x)$

Кстати, она этим уравнением не определяется однозначно.

[EminentVictorians]

EminentVictorians в сообщении #1625202 писал(а):

Geen в сообщении #1625195 писал(а):

$f(x+1)=xf(x)$

Кстати, она этим уравнением не определяется однозначно.

Имеется в виду, не определяется однозначно даже с точностью до аддитивных и мультипликативных констант.

[мат-ламер]

Насчёт разграничения понятий линейной и аффинной функций. По поводу аффинной функции я уже писал. Теперь насчёт линейной. Гельфанд в своих лекциях по линейной алгебре (пар. 23) определяет линейную функцию, как функцию, которая удовлетворяет условиям: $f(x+y)=f(x)+f(y)$ и $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ . Далее множество $X^*$ всех линейных функций на линейном пространстве $X$ он называет пространством, сопряжённым к $X$ . Ранее в он определяет билинейную функцию, как функцию, линейную по обоим аргументам. Позднее он определяет подобным образом полилинейные функции ( в частности, тензоры).

Вот Зорич во втором томе (пар.2, стр. 62 по 6-му изд.) пишет, что если область значения линейного отображения числовое поле, то такие отображения называются функциями (иногда функционалами). И его понимание линейной функции совпадает с пониманием оной Гельфандом.

Не знаю насчёт общепринятости, но по-моему вполне естественное определение. И в каких-то областях математики приходится работать как с линейными, так и с аффинными функциями. И тогда естественно эти понятия не смешивать, а корректно определить по раздельности.