Еще раз о классе элементарных функций

[EminentVictorians]

Ende
Выделено из темы «Фундаментальная физика - новая математика?»

Anton_Peplov в сообщении #1624938 писал(а):

Элементарные функции - гораздо более узкий класс функций, чем интегрируемые, дифференцируемые, гладкие или даже аналитические функции. Класс элементарных функций выделен скорее по историческим причинам. Никаких особых математических преимуществ перед неэлементарными функциями они не имеют и уж точно не исчерпывают возможностей дифференциального и интегрального исчисления.

Mikhail_K в сообщении #998338 писал(а):

Есть способ.
Я только уберу из простейших элементарных функций тригонометрические: средствами ТФКП они выражаются через показательную.
Остаются следующие: линейная, показательная, логарифмическая, степенная.
И вот какие красивые определения у них.

Линейная функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
Показательная функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$.
Логарифмическая функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x\cdot y)=f(x)+f(y)$.
Степенная функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$.

Можно показать, что это именно определения, они однозначно определяют эти функции с точностью до какого-то коэффициента.

Другими словами, элементарные функции создала не просто слепая история. Как только мы определили сложение и умножение, класс элементарных функций возникнет с необходимостью.

(Просто мне уж очень нравится такая характеризация. Я сам определяю элементарные функции ровно таким образом.)

[pppppppo_98]

Anton_Peplov в сообщении #1624938 писал(а):

Класс элементарных функций выделен скорее по историческим причинам.

не только...Дииференциальная теоория Гаоуа - на это дает ответ - почему этот класс выделен

EminentVictorians в сообщении #1624946 писал(а):

Другими словами, элементарные функции создала не просто слепая история. Как только мы определили сложение и умножение, класс элементарных функций возникнет с необходимостью.

EminentVictorians в сообщении #1624946 писал(а):

(Просто мне уж очень нравится такая характеризация. Я сам определяю элементарные функции ровно таким образом.)

во-во...Элементарные функции - это нулевой этаж этажерки (увы бесконечной ) в теории галуа (дифференциальной)

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0 ... 1%83%D0%B0

[Anton_Peplov]

pppppppo_98 в сообщении #1624987 писал(а):

Дииференциальная теоория Гаоуа - на это дает ответ - почему этот класс выделен

С дифференциальной теорией Галуа я, к сожалению, пока не знаком. Спасибо, что обратили мое внимание на нее.

Что касается определения через умножение и сложение, то это определение я знаю (в моей же теме его и привел уважаемый Mikhail_K почти 10 лет назад). Несмотря на свою удивительную красоту, оно никак не объясняет, почему школьник или инженер должны знакомиться в первую очередь именно с этими функциями, а не с какими-то другими. А вот то, что эти функции чаще других встречаются на практике - это несомненный факт. Так что мне близок следующий подход:

VPro в сообщении #1196124 писал(а):

dinamo-3 в сообщении #1195928 писал(а):

Можно ли аналитически решить уравнение вида $\sin(x)=x-a$, где $a= \operatorname{const}$?

Можно. Но для этого нужно проделать определенную работу. Чтобы понять какую, задам вопрос: что значит решить аналитически? Например, можно ли аналитически решить уравнение вида $\sin(x)=a$? Вы ответите "Можно" и тут же запишете $x=(-1)^n \arcsin a +\pi n$. Хорошо, скажу я, коли Вы нашли аналитическое решение, то чему, например, равен $x $ при $a=0.27$? Только найдите его самостоятельно, без применения вычислительных приборов (т.е. не численно). Что-то не получается?

Так, значит, аналитическое решение $x=(-1)^n \arcsin a +\pi n$ и не решение вовсе, а буквенное обозначение этого решения. И если нет возможности вычислить $\arcsin a$, то ничего решить мы не можем. Отсюда первый вывод: почти все решения мы в конце-концов, получаем численно. Но часто встречающиеся решения для удобства обозначаем через введенную для этого функцию.

Теперь перейдем к аналитическому решению Вашего уравнения. Для удобства обозначим $y=x-a$ и рассмотрим уравнение $\sin(y+a)=y$. Если его решение нужно везде и всюду, то в силу его важности назовем его уравнением Динамо, а зависимость корня от параметра $a$ обозначим специальной функцией ${\rm Din}(a)$, которую, естественно, назовем функцией Динамо.
После многолетнего кропотливого исследования мы определим, что функция ${\rm Din}(x)$ определена на всей оси, изменяется от -1 до 1, гладкая и периодическая с периодрм $2\pi$. Выпишем ее разложение в ряд, придумаем удобные методы вычисления, построим график.
И вот, когда благодарное научное сообщество признает наши труды и примет новую функцию в оборот, мы на вопрос:

Цитата:

Можно ли аналитически решить уравнение вида $\sin(x)=x-a$, где $a= \operatorname{const}$?

ответим: да. Решение имеет вид $x={\rm Din}(a)+a$.

В любом случае мне не хотелось бы затевать надцатый спор о том, почему выделен класс элементарных функций. В контексте этой темы важно, что он далеко не исчерпывает возможностей дифференциального и интегрального исчисления. С этим утверждением, надеюсь, все согласятся.

[pppppppo_98]

Anton_Peplov в сообщении #1625024 писал(а):

Что касается определения через умножение и сложение, то это определение я знаю (в моей же теме его и привел уважаемый Mikhail_K почти 10 лет назад). Несмотря на свою удивительную красоту, оно никак не объясняет, почему школьник или инженер должны знакомиться в первую очередь именно с этими функциями, а не с какими-то другими.

потому что посчитать можно что либо , имея только листок бумаги, или даже палочки аки архимед и такую уже задбытую вещь как логарифмическая линейка или таблицы брадиса (немерянно кстати труда ушло на ее созднание)...Попробуйте посчитать тот же указанный здесь интегральный логарифм в точке x=5

-- Сб янв 06, 2024 15:56:37 --

Anton_Peplov в сообщении #1625024 писал(а):

С дифференциальной теорией Галуа я, к сожалению, пока не знаком.

возникла он кстати из попыток символически решать дифференциальные уравнения: после того как была развита теория галуа для анализа решения полиномиальных уравнений - там поля расширяются корнями, тот же вопрос встал относительно дифференциальных уравнений, и вопрос стал а давайте расширим класс элементарных функций (как уже заметил это нижний этаж всей конструкции), каким либо решением какого-то дифференциального уравнения, которому мы дадим какое-то символическое имя... какой класс дифференциальнх уравнений можно решать тогда), используя только ужже введенные символы...вот примерно об этом и есть дифференциальная теория галуа

[warlock66613]

pppppppo_98 в сообщении #1625034 писал(а):

как уже заметил это нижний этаж всей конструкции

Произвольно выбранный нижний этаж.

[pppppppo_98]

Anton_Peplov в сообщении #1625024 писал(а):

Вы ответите "Можно" и тут же запишете $x=(-1)^n \arcsin{a} +\pi n$

ну кстати плохой пример... Это вполне вычисляемо, в отличии от исходной задачи

$$\arcsin{x}=\int^x_0\,dt\,(1-t^2)^{-\frac{1}{2}}=\int^x_0\,dt\,\sum^\infty_{i=0}\binom{-\frac{1}{2}}{i} (-1)^i t^{2i}=\sum^\infty_{i=0}\frac{1}{2i+1}\binom{-\frac{1}{2}}{i} (-1)^i x^{2i+1}=$$

$$=\sum^\infty_{i=0}\frac{(2i-1)!!}{(2i+1)2^i i!}x^{2i+1}=\sum^\infty_{i=0}\frac{(2i-1)!!}{(2i+1)(2i)!!}x^{2i+1} \text{при i=0 коэффициент=1}$$

Радиус сходимости этого ряда 1. значение 0.27 недалече от нуля, коэфиициенты падают с ростом i , так что частичные суммы будут сходится и быстро... Да и вообще всем известно что \sin{x}\approx x$

[Anton_Peplov]

pppppppo_98 в сообщении #1625034 писал(а):

Попробуйте посчитать тот же указанный здесь интегральный логарифм в точке x=5

Без таблиц Брадиса я и $\sin 5$ не вычислю. Так что в вычислительном отношении синус лучше интегрального логарифма только тем, что для синуса есть таблица, а для интегрального логарифма нет. А почему таблицы были составлены именно для синуса? Потому что синус в приложениях встречается раз в десять чаще, чем интегральный логарифм. Или в сто. О чем я и говорил с самого начала.

[pppppppo_98]

Anton_Peplov в сообщении #1625041 писал(а):

Без таблиц Брадиса я и $\sin 5$ не вычислю.

мда ... вам сколько лет ... подозреваю меньше 40...Исчезли у людей навыки устного/письменного счета...

для того что бы посчитать $\sin{5}$. нужно к примеру представить $\sin{5}=\sin{3\frac{\pi}{2} +(5-3\frac{pi}{2})}=- \cos{(5-3\frac{\pi}{2})}}$. примем инженерную точность 3 знака
\(\pi=3.1416, (5-3\frac{pi}{2}) =\frac{10-9.4248}{2}=\frac{0.5752}{2}=0.2876\).

$\cos{x}=\sum_{i=0}^\infty (-1)^i\frac{1}{(2i)!} x^{2i}$. итак ряд знкопременный убывающии как (0,1)^i - нужно взять три первых члена. С этого момента , возьму карандаш бумагу.и запичатлю решение в графике

Получил \(sin{5}=-0.96\)

[Cos(x-pi/2)]

Anton_Peplov в сообщении #1625041 писал(а):

Без таблиц Брадиса я и $\sin 5$ не вычислю.

Мой никнейм побуждает меня встрять в этот сюжет :) (хотя уже вижу теперь, что уважаемый pppppppo_98 опередил)

$\sin(5)\approx \sin(\pi+\frac{\pi}{2}+0.29)=-\cos(0.29)\approx -(1-\frac{0.29^2}{2}) \approx -0.96.$

[Anton_Peplov]

Ну ладно, в устной вычислимости $\sin 5$ Вы меня убедили. Но только в ней. Да и тема не об этом.

(Оффтоп)

pppppppo_98 в сообщении #1625045 писал(а):

подозреваю меньше 40

Меньше, хотя и ненамного. Засим оставим в покое мою скромную персону.

[pppppppo_98]

Anton_Peplov в сообщении #1625049 писал(а):

Меньше, хотя и ненамного. Засим оставим в покое мою скромную пер

этот вопрос возник ровно потому ,что нонеча поменяли сильно школьную программу - и нонешнее поколение вообще не представляет как жить без калькулятора (телефона)... А в былые годы во времена непера, кеплера ньютона, лавуазье люди ручками все считали - поэтому и возникло понятие элементарных функций

[Утундрий]

pppppppo_98 в сообщении #1625050 писал(а):

в былые годы во времена непера, кеплера ньютона...

...и штангенциркуля. Согласен, времена ужо давно не те! Вот, вчера весь город обегал, плашек три восьмых дюйма достать не мог.

[pppppppo_98]

-- Сб янв 06, 2024 17:35:58 --

Утундрий в сообщении #1625052 писал(а):

pppppppo_98 в сообщении #1625050 писал(а):

в былые годы во времена непера, кеплера ньютона...

...и штангенциркуля. Согласен, времена ужо давно не те! Вот, вчера весь город обегал, плашек три восьмых дюйма достать не мог.

это вам не приходил ужос -в виде того что на пальмовом острове погибает (песочком таким белым аки мука засыпало) зарядный разьем телефона. а на всем острове нет ни одной мастерской по починке с необходимым разьемом... вот тогда и идут дедовские методы при необходимости... 2012 год,Таиданд,Самуи, планшет Asus 0 раскладушка с клавиатурой ... Тебе я посвящаю поминальную речь

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп)

Заодно добавлю свой субъективный комментарий к упоминавшимся выше "красивым определениям" элементарных функций: психологический эффект на учеников они наверное произведут, но, ИМХО, оговорки типа "с точностью до мультипликативных и аддитивных констант" всё портят.

В классическом учебнике, выдержавшем более двадцати изданий и воспитавшем не перечесть сколько инженеров, - В.И. Смирнов "Курс высшей математики" том 1, - линейная функция определяется (и её свойства там подробнейшим образом объясняются без ссылок на представление о какой-либо "красоте", не имеющее отношения к применениям функций в практических (инженерных) расчётах) как $ax+b.$ Такое же определение, $ax+b,$ даётся и во многих других учебниках. При $b\neq 0$ линейная функция $ax+b$ не обладает свойством $f(x+y)=f(x)+f(y),$ и поэтому, чтобы не вносить путаницу в головы учеников уже на самом начальном этапе обучения, такое свойство не следует принимать в качестве определения линейной функции.

[EminentVictorians]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1625058 писал(а):

При $b\neq 0$ линейная функция $ax+b$ не обладает свойством $f(x+y)=f(x)+f(y),$

Так $ax + b$ - это же аффинная функция, а не линейная.