Еще раз о классе элементарных функций

[Евгений Машеров]

Anton_Peplov в сообщении #1625041 писал(а):

Так что в вычислительном отношении синус лучше интегрального логарифма только тем, что для синуса есть таблица, а для интегрального логарифма нет.

Цитата:

Таблицы интегрального логарифма
Библиографическая карточка:
Автор: Карпов К.А. ( Карпов Константин Андрианович)
Ответственность: отв. ред. В.А. Диткин ; АН СССР, Вычислительный центр
Место издания: М.
Издательство: Академия наук СССР
Год издания: 1956
Количество страниц: 320 с.
Серия: Математические таблицы

[Cos(x-pi/2)]

EminentVictorians в сообщении #1625071 писал(а):

Так $ax + b$ - это же аффинная функция, а не линейная.

Для кого как.

Не оспариваю терминологию математиков.

Однако предполагаю, в физическом разделе форума (я там это всё увидел) были бы более уместны определения для физиков/инженеров. Вот два примера из старинных "настольных" книг для них:

Учебник В.И. Смирнова по математике, том 1, стр. 24 (что это за издание такое, какой там язык, - можно посмотреть в djvu-сканах; все тома доступны, например, здесь: https://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/ma ... lculus.htm )



Второй пример: "Справочник Корна для научных работников и инженеров", фрагмент со стр. 99 (скан доступен в той же библиотеке, на этой странице: https://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/ma ... dbooks.htm )



У физиков/инженеров $f(x)=ax+b$ ассоциируется с часто встречающимися в работе понятиями "линейная зависимость", "линейное приближение", "линейная интерполяция", "линейная экстраполяция". График - прямая линия: чертится по линейке, поэтому, наверное, и функция такая в физике названа линейной.

В школе нас вроде бы тоже так учили. Но это было страшно вспомнить как давно... :) Если теперь в школах ребят учат уже не так, а как-то по-новому, то приношу извинения. (Короче говоря, в этом разделе я ни с кем и ни о чём спорить не намерен.)

[EminentVictorians]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1625078 писал(а):

В школе нас вроде бы тоже так учили. Но это было страшно вспомнить как давно... :) Если теперь в школах ребят учат уже не так, а как-то по-новому, то приношу извинения.

Нет, все так же. Мне тоже в школе говорили, что $f(x) = ax + b$ - это общий вид линейной функции. Если что, я учился в школе сравнительно недавно.

Просто мне казалось, что это такая рубрика в духе "математики понимают друг друга". Ну т.е. говорим "линейная", подразумеваем "аффинная". Просто тут ведь дело не только в определениях. Уж о них спорить точно бессмысленно. Но между линейностью и аффинностью есть концептуальная разница. Линейность = гомоморфизм, а значит нулевой вектор должен обязательно переводиться в нулевой. А аффинность - это "торсоризация" линейности ("забывание нуля", как иногда говорят). А $f(x) = ax + b$ - это как раз "прямые с незафиксированным нулем", т.е. концептуально аффинные преобразования.

Если что, таких примеров хватает. Дробью $\frac{m}{n}$ часто называют пару $(m, n)$ целых чисел, где $n \ne 0$, интеграл Римана часто определяют как $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx := \lim\limits_{n \to \infty}^{}\sum\limits_{k = 1}^{n}f(\xi_k) \Delta x_k$. Это все - формально некорректные определения, но их и не надо читать буквально. Вот и тут с этими линейными функциями я тоже думаю, что это такая форма математического фольклора. Но фактически, это именно аффинные функции, а не линейные.

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1625080 писал(а):

Ну т.е. говорим "линейная", подразумеваем "аффинная". Просто тут ведь дело не только в определениях.

Дайте, пожалуйста, ссылку на учебник, где бы давалось определение аффинной функции.

[pppppppo_98]

EminentVictorians в сообщении #1625071 писал(а):

Cos(x-pi/2) в сообщении #1625058 писал(а):

При $b\neq 0$ линейная функция $ax+b$ не обладает свойством $f(x+y)=f(x)+f(y),$

Так $ax + b$ - это же аффинная функция, а не линейная.

в школе ее линейной называют - ибо залает прямую линию

[мат-ламер]

Geen в сообщении #1625082 писал(а):

Дайте, пожалуйста, ссылку на учебник, где бы давалось определение аффинной функции.

Алексеев, Тихомиров, Фомин - "Оптимальное управление" (п.2.6.2) - учебник в МГУ.
(Извините, что встрял).

[Geen]

мат-ламер в сообщении #1625090 писал(а):

Алексеев, Тихомиров, Фомин - "Оптимальное управление" (п.2.6.2) - учебник в МГУ.

Вы не могли бы выписать здесь это определение?... для понимания, что мы об одном и том же.

[мат-ламер]

Geen в сообщении #1625096 писал(а):

Вы не могли бы выписать здесь это определение?... для понимания, что мы об одном и том же.

В цитируемой книге под аффинной функцией $f:X\to R$ понимается функция вида $f(x)=(a,x)+b$ , где $a\in X$ , $b\in R$ и скобки обозначают скалярное произведение. Под $X$ понимается либо конечномерное евклидово пространство (в частности $R$ - тогда $f(x)=ax+b$ ), либо гильбертово пространство.

Более общее определение приведено в книге Рокафеллара "Выпуклый анализ" (пар.1). Отображение $f:X\to Y$ ($X,Y$ - линейные пространства) называется аффинным, если $f[\lambda x+(1-\lambda )y] = \lambda f(x)+(1-\lambda) f(y)$ , где $x,y \in X$ , $\lambda \in R$ . Это равносильно тому, что $f$ имеет вид $f(x)=Ax+b$ , где $A:X \to Y$ - линейное отображение и $b \in Y$ . Далее Рокафеллар называет отображение функцией, если $Y=R$ . Книга Рокафеллара не учебник, но стандартная монография в областях, связанных с оптимизацией и теорией экстремальных задач.

Если $X,Y$ - аффинные пространства, то там есть своё определение аффинного отображения. Но я этого вопроса не касался (и не хочу).

[EminentVictorians]

Geen в сообщении #1625082 писал(а):

Дайте, пожалуйста, ссылку на учебник, где бы давалось определение аффинной функции.

В любом же учебнике алгебры есть. Я читал Винберга. Можете посмотреть Глава 7 (Аффинные и проективные пространства), §2 (Аффинные отображения).

Винберг писал(а):

Определение 1.
Аффинным отображением пространства $S$ в пространство $S'$ называется всякое отображение $f : S \to S'$, обладаю­щее свойством

$$f(p + x) = f(p) + \varphi (x) \quad (p \in S, x \in V) \quad (4)$$

где $\varphi$ - некоторое линейное отображение пространства $V$ в про­странство $V'$

[...]

Векторизуем пространства $S$ и $S'$, приняв за начала отсчета ка­кие-то точки $o$ и $o'$ соответственно. Полагая в (4) $p = o$, мы получаем следующее представление аффинного отображения $f$ в векторизо­ванной форме:

$$f(x) = \varphi(x) + b \quad (b \in V') \quad (6)$$

[...]
Обратно, как легко проверить, для любого линейного отображе­ния $\varphi : V \to V'$ и любого вектора $b \in V'$ отображение, определяемое формулой (6), аффинно и его дифференциал равен $\varphi$

[Geen]

мат-ламер Спасибо большое.
Но не кажется ли Вам, что это немного не из той оперы?

EminentVictorians в сообщении #1625136 писал(а):

Можете посмотреть Глава 7 (Аффинные и проективные пространства), §2 (Аффинные отображения).

Аффинные отображения в контексте элементарных функций не интересуют ни разу.

Вообще, терминология в разных разделах математики не обязана быть согласована. И несколько наивно пытаться навязывать своё "универсальное" понимание во всех неподходящих темах.

[EminentVictorians]

Geen, вы сами-то за темой следите?

Речь не только и не столько о терминологии, сколько о свойстве $f(x + y) = f(x) + f(y)$. То, что оно не выполняется для функций вида $f(x) = ax + b$ - это ожидаемо, т.к. они, вообще говоря, - аффинные функции, а не линейные. Называть их линейными можно, если так кому-то удобнее, но не следует ожидать от них свойств, присущих линейным (в смысле линейной алгебры) функциям.

[warlock66613]

EminentVictorians, так никто от них этого и не ожидал. Наоборот, было сказано, что таким свойством они не обладают. После чего вы предложили переименовать функции в аффинные, как будто это как-то может помочь делу. Да, после переименования линейные функции удовлетворяют означенному свойству, но речь-то шла не об этих линейных функциях, а о тех, которые линейные до переименования.

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1625153 писал(а):

Называть их линейными можно, если так кому-то удобнее, но не следует ожидать от них свойств, присущих линейным (в смысле линейной алгебры) функциям.

Понятно. То есть $A e^x$ по Вашей терминологии это не показательная и не элементарная функция....

[EminentVictorians]

Geen в сообщении #1625158 писал(а):

То есть $A e^x$ по Вашей терминологии это не показательная и не элементарная функция....

Не показательная, но элементарная.

$Ae^x$ ни при какой разумной терминологии нельзя считать общим видом показательной функции. Я определяю показательные функции как нетривиальные непрерывные решения функционального уравнения $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$ на множестве функций вида $\mathbb R \to \mathbb R$. Можно определить по-другому, как функции вида $f(x) = a^x \quad (a > 0)$, определив перед этим все аспекты, связанные с возведением в степень. Оба определения эквивалентны, т.е. определяют один и тот же класс функций.

Если с линейными/аффинными функциями еще есть небольшие терминологические нестыковки, то здесь уже точно все однозначно.

[Red_Herring]

EminentVictorians в сообщении #1625161 писал(а):

Если с линейными/аффинными функциями еще есть небольшие терминологические нестыковки, то здесь уже точно все однозначно.

Согласен. Функция $f(x)=ax+b$ традиционно называется линейной, а отображение $f: x\to ax+b$ аффинным.