Почему математика работает?

[talash]

Dicson в сообщении #1623850 писал(а):

talash в сообщении #1623749 писал(а):

Dicson, ну Вы загнули.

Тем не менее всё верно.

Основания математического языка лежат вне его. Поэтому попытка их сформулировать приведёт лишь к утрате математической строгости. В стремлении к определённости мы получим рост неопределённости.

Да, основания математики описываются естественным языком через интуитивные понятия. Дальше Вы вещаете нечто странное ИМХО. Строгость это когда у нас определено любое используемое математическое понятие, или через более базовые математические понятия или через первичные интуитивные понятия. Без строгости это будет не математика, а некачественная философия, оперирующая неопределёнными понятиями.

Dicson в сообщении #1623850 писал(а):

В желании вернуть строгость, очевидный путь - копать дальше, найти основания теперь уже естественного языка, и всё сразу чётко сформулировать. Но основания естественного языка находятся за рамками языка, их вообще никак нельзя сформулировать, неопределённость устремится к полной.

Правильно. Соответственно, предельная строгость будет достигнута без этого шага. Основания естественного языка искать не нужно.

[Dicson]

talash в сообщении #1623981 писал(а):

Строгость это когда у нас определено любое используемое математическое понятие, или через более базовые математические понятия или через первичные интуитивные понятия.

Строгость - это однозначность. Поэтому, независимо от того, на каком языке вы запишете основания математики, они должны подразумевать возможность формализации. То есть язык оснований по своей сути должен быть именно математический. А его не будет, мы же вышли за его рамки. О чём у меня и написано в приведённой вами цитате. И, в отсутствие математического языка, действительно, только нечто общее философское и можно будет наформулировать.

epros в сообщении #1623898 писал(а):

Тому, кто интересуется основаниями математики, лучше всего погрузиться в тему обратной математики. Там всё формулируется на подмножестве языка логики второго порядка, и это уже более чем достаточно богатый язык.

Я имел в виду основания математики в смысле программы Гильберта. Гёдель доказал, что в том виде, как хотел Гильберт, эту программу выполнить нельзя. И, насколько я понимаю, обращение к обратной математике (и чему угодно) программу Гильберта выполнить тоже не позволит. Однако снижение требований, предъявляемых к основаниям, приведёт к утрате ясности, однозначности, и тем самым к размыванию их смысла как оснований. Основания не могут быть неполными, неясным и неоднозначными. И не просто потому, что они неполные и неоднозначные, а потому что их ущербность означает и их принципиальную изменчивость - сегодня могут быть одни, а завтра станут другие. Какие же тогда это основания всей математики?

Одно из мнений о программе Гильберта состояло в том, что возможность построения таких оснований будет означать бессодержательность математики, так как раз и навсегда определённый набор оснований не может отразить связи математики с реальным миром. Получилось бы, что математика вещь в себе. Тем не менее, учитывая, что подобные планы были у Гильберта и на физику, проблемой он это, по-видимому, не считал.

Вероятно, Гильберт видел связь математики и физики и, возможно, именно поэтому полагал, что если можно формализовать одно, то можно взяться и за другое. Но только он видел эту связь наоборот. Потому что "замкнутая в себе" математика и "замкнутая в себе" физика будут одинаково противоречивы. Первое доказал Гёдель, второе суть бессмысленность теории всего. (В теории всего выводимым будет всё, в том числе все утверждения, которые только можно сформулировать, в том числе противоположные или о ложности самой теории всего, а это противоречие. Теория всего - это формальная система с самым богатым языком, потому что язык физики математика, теория всего описывает всё, за её рамками уже ничего нет, она выводится сама из себя, поэтому теория всего противоречива и как математическая теория.).

Но в контексте нынешнего обсуждения важнее другое. Связь неполноты и непротиворечивости означает, что любые основания математики могут быть только принципиально гипотетическими, не окончательными. Может быть, это основания, а может быть, и нет. Как в науке, где любая теория - это, по сути, ещё не опровергнутая гипотеза. То есть фактически никакими не основаниями. Потому что эта связь означает постоянный поиск. Необходимость более общей теории, чтобы подтвердить непротиворечивость, - это постоянный поиск новых теорий, языков. При этом старые знания работают на новые, а новые затем уточняют смысл старых. Познание работает в обе стороны, обновляя и границы применимости изобретённого раньше, в том числе любых оснований. А неполнота суть постоянная зыбкость того, что есть, ведь пока не всё понятно, полной уверенности ни в чём нет. Это опять поиск - убедиться в прочности старого и найти новое, в чём будет больше уверенности. Этот поиск через посредника в виде опыта математика и его математической интуиции связан с реальным миром. А представление о реальном мире, ввиду бессмысленности теории всего, никогда не окончательное, причём ничего не запрещает изменений качественных. В итоге ничего не запрещает и качественных изменений в математике, когда никакие основания не удержатся.

[talash]

Dicson в сообщении #1623999 писал(а):

Строгость - это однозначность. Поэтому, независимо от того, на каком языке вы запишете основания математики, они должны подразумевать возможность формализации. То есть язык оснований по своей сути должен быть именно математический. А его не будет, мы же вышли за его рамки. О чём у меня и написано в приведённой вами цитате. И, в отсутствие математического языка, действительно, только нечто общее философское и можно будет наформулировать.

Я перечислю Ваши мысли:
- Для строгости обязательно нужна формализация.
- Попытка сформулировать основания математики ведёт к утрате математической строгости, потому что их невозможно формализовать.
- Поэтому, строгие формальные математические теории выходят из ниоткуда и уходят в никуда.

Интересная логика. Я с ней спорить не буду. Потому что у меня другая логика. Нельзя строго определить первичные понятия потому что любое определение состоит из слов и определяя слова словами мы в конце концов приходим к нестрогим "синонимичным" определениям. Точно также нельзя опровергнуть альтернативную логику, потому что мы используем логику для подтверждения или опровержения рассуждений, но если эти рассуждения касаются самой логики и она не такая как у меня, то тут остаётся только обозначить расхождения.

Однако, правильная логика, в отличие от альтернативных - продуктивна и поэтому закрепляется в успешной практике. А для этого необходимо, чтобы происходила честная конкуренция логик и вообще мнений.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1623948 писал(а):

epros в сообщении #1623942 писал(а):

Не получится. Нужно ещё сказать про инкремент, сложение и умножение. Без этого модель арифметики Пеано не построить.

Так они и будут.

Ну вот, скажем, я не знаю, что $x \cup \{x\}$ - это инкремент. Как Вы собираетесь мне об этом сказать? Самый простой способ - это добавить в язык теории множеств символ инкремента $S$ и определить его новой аксиомой. Потом добавляем символы $+$ и $\times$, определяя их соответствующими аксиомами арифметики. По-сути это и есть построение модели арифметики.

EminentVictorians в сообщении #1623948 писал(а):

epros в сообщении #1623942 писал(а):

В итоге все аксиомы арифметики будут упомянуты.

Можно их, конечно, называть аксиомами, но формально это будут именно теоремы, а не аксиомы.

Вот, скажем, есть аксиома, связывающая умножение, сложение и инкремент:
$x \times Sy = (x \times y) + x$.
Попробуйте ради интереса записать её как теорему в языке теории множеств.

EminentVictorians в сообщении #1623948 писал(а):

Вы сказали, что модель есть. Я попросил мне ее продемонстрировать. Пока не продемонстрировали.

Это к Кирби и Парису, я построениями моделей не особо интересуюсь. В статье про это точно должно быть. Посмотрите внимательнее после слов "In order to prove (ii)".

EminentVictorians в сообщении #1623948 писал(а):

Если на языке теории множеств сформулировать определения понятий арифметики - чисел и операций с ними, то это и будут предложения языка теории множеств. Зачем что-то куда-то еще вставлять? И как это - вставить предложения, написанные на одном языке, в предложение, написанное на другом языке - короче говоря, вообще не понял смысл цитаты.

Не совсем. Определения формулируются на языке, расширенном терминами из арифметики. Чтобы обойтись без них, нужно здорово постараться, заменяя арифметические понятия на моделирующие их теоретико-множественные формулировки. Простейший пример: Арифметическое утверждение "Инкремент любого числа не равен нулю" заменяется на "Результатом добавления к множеству его самого в качестве элемента является не пустое множество". Да, это теорема. Вот только как понять, что оно означает то же самое, что и арифметическое утверждение?

EminentVictorians в сообщении #1623948 писал(а):

Я не понимаю, мне-то какая должна быть разница, что там в арифметике Пеано есть, и чего там нету. У меня вся теория множеств в распоряжении. Аксиома выбора, трансфинитная индукция по любому фундированному множеству и т.д.

На нестандартной модели натуральных чисел трансфинитная индукция до $\varepsilon_0$ оказывается неосуществимой, поскольку нет нужного нам полного порядка.

Dicson в сообщении #1623999 писал(а):

снижение требований, предъявляемых к основаниям, приведёт к утрате ясности, однозначности, и тем самым к размыванию их смысла как оснований. Основания не могут быть неполными, неясным и неоднозначными.
.....
Но в контексте нынешнего обсуждения важнее другое. Связь неполноты и непротиворечивости означает, что любые основания математики могут быть только принципиально гипотетическими, не окончательными.

С точки зрения обратной математики "основания" - это ни что иное, как лежащая в основе той или иной математики аксиоматика. Требования к её строгости и однозначности не снижены. При этом мы не оперируем понятиями "гипотетичности" или "окончательности". Просто без слабой леммы Кёнига мы получаем одну систему математики ($\text{RCA}_0$), а со слабой леммой Кёнига - другую систему математики ($\text{WKL}_0$), более "сильную".

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1624050 писал(а):

Ну вот, скажем, я не знаю, что $x \cup \{x\}$ - это инкремент. Как Вы собираетесь мне об этом сказать?

Рассмотрим функцию $S: \mathbb N \to \mathbb N$, $S(n) = n \cup \{n\}$. Докажем, что $S$ является корректно определенной функцией вида $\mathbb N \to \mathbb N$ (т.е. что $(\forall n \in \mathbb N) S(n) \in \mathbb N$). Функцию $S$ будем называть инкрементом. Все. Проще некуда. Разумеется, перед этим должно быть определено объединение множеств (но это базовая база, очевидно она должна идти до введения натуральных чисел).

epros в сообщении #1624050 писал(а):

Вот, скажем, есть аксиома, связывающая умножение, сложение и инкремент:
$x \times Sy = (x \times y) + x$.
Попробуйте ради интереса записать её как теорему в языке теории множеств.

Функцию $S$ определили. Теперь определим функции $+$ и $\times$ (обе вида $\mathbb N^2 \to \mathbb N$). Как определить $+$ я уже писал в одной из прошлых тем, умножение определяется так же легко. В итоге, это утверждение будет записываться так: $(\forall x, y \in \mathbb N) \times(x, s(y)) = +(\times(x, y) , x)$. Я надеюсь, Вы ведь не станете просить меня расписать это чисто через $\in$?

epros в сообщении #1624050 писал(а):

Посмотрите внимательнее после слов "In order to prove (ii)".

Там они абзацем выше завершили доказательство части (i), а потом, перед тем как переходить к части (ii) они вводят "Ketonen-Solovay machinery" - особые операции на ординалах, чтобы потом ввести понятие $\alpha-\text{large}$ множеств. Это не построение нестандартной модели.
Нестандартная модель должна строиться примерно так:
1)Определим множество $X$ так то и так то.
2)Будем называть элементы множества $X$ псевдонатуральными числами.
3)Определим операции $0 \in X$, $1 \in X$ $S: X \to X$, $+: X^2 \to X$, $\times:X^2 \to X$ (в общем, все что надо для той формы аксиом Пеано, какую Вы предпочитаете). Будем называть их "псевдоноль", "псевдоединица", "псевдоинкремент", "псевдосложение" и "псевдоумножение".
4)Докажем, что для этих псевдоопераций выполняются все аксиомы Пеано (в той формулировке, которая Вам ближе к сердцу).
5)Докажем, что для этих псевдоопераций не выполняется теорема Гудстейна.

Я, если что, не цепляний ради попросил у Вас ссылку на построение нестандартной модели. Мне действительно интересно, есть ли такие. Моя интуиция сильно протестует против. Ей кажется, что все модели арифметики Пеано, построенные в теории множеств, должны быть изоморфны.

epros в сообщении #1624050 писал(а):

Не совсем. Определения формулируются на языке, расширенном терминами из арифметики.

Это преступление против теории множеств. Теория множеств тем и хороша, что в её языке есть только $\in$, и нет никакого другого мусора типа "1", "+" и т.д. Все определения даются чисто в языке теории множеств, т.е. чисто через $\in$, без всяких $+, S, \times$ и т.д.

epros в сообщении #1624050 писал(а):

Простейший пример: Арифметическое утверждение "Инкремент любого числа не равен нулю" заменяется на "Результатом добавления к множеству его самого в качестве элемента является не пустое множество". Да, это теорема.

Конечно!!! Ну наконец-то я вижу понятную нормальную арифметику, а не всю эту фигню с аксиомами Пеано и значками крестиков.

epros в сообщении #1624050 писал(а):

Вот только как понять, что оно означает то же самое, что и арифметическое утверждение?

Для меня оно и есть арифметическое утверждение. Всего-то надо -- забыть про арифметику Пеано и начать жить в нормальной и приятной сердцу теории множеств.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1624072 писал(а):

Рассмотрим функцию $S: \mathbb N \to \mathbb N$, $S(n) = n \cup \{n\}$.

Это не язык теории множеств. В части символа $\cup$ и фигурных скобок я не стану сильно придираться, ибо мы знаем, как это расписать в языке теории множеств, и понимаем, что Вам было просто лень это делать. Но символов $S$ и $\mathbb N$ в языке теории множеств точно нет.

EminentVictorians в сообщении #1624072 писал(а):

epros в сообщении #1624050 писал(а):

Вот, скажем, есть аксиома, связывающая умножение, сложение и инкремент:
$x \times Sy = (x \times y) + x$.
Попробуйте ради интереса записать её как теорему в языке теории множеств.

Функцию $S$ определили. Теперь определим функции $+$ и $\times$ (обе вида $\mathbb N^2 \to \mathbb N$). Как определить $+$ я уже писал в одной из прошлых тем, умножение определяется так же легко. В итоге, это утверждение будет записываться так: $(\forall x, y \in \mathbb N) \times(x, s(y)) = +(\times(x, y) , x)$. Я надеюсь, Вы ведь не станете просить меня расписать это чисто через $\in$?

Конечно же стану! То, что Вы сейчас проделали, это просто переписывание аксиом Пеано, причём с использованием символов того же языка арифметики Пеано. О чём я Вам выше и говорил.

EminentVictorians в сообщении #1624072 писал(а):

Это не построение нестандартной модели.
Нестандартная модель должна строиться примерно так:

Так там примерно это и делают. Может быть не совсем такими словами и без приведённой Вами нумерации, но по сути - то же самое.

EminentVictorians в сообщении #1624072 писал(а):

Моя интуиция сильно протестует против. Ей кажется, что все модели арифметики Пеано, построенные в теории множеств, должны быть изоморфны.

В каком смысле? Если в том смысле, что истинны все аксиомы, то да. Если в том смысле, что истинны одни и те же утверждения языка, то нет.

EminentVictorians в сообщении #1624072 писал(а):

epros в сообщении #1624050 писал(а):

Не совсем. Определения формулируются на языке, расширенном терминами из арифметики.

Это преступление против теории множеств.

Значит Вы - преступник. Как мы только что убедились.

EminentVictorians в сообщении #1624072 писал(а):

epros в сообщении #1624050 писал(а):

Простейший пример: Арифметическое утверждение "Инкремент любого числа не равен нулю" заменяется на "Результатом добавления к множеству его самого в качестве элемента является не пустое множество". Да, это теорема.

Конечно!!! Ну наконец-то я вижу понятную нормальную арифметику, а не всю эту фигню с аксиомами Пеано и значками крестиков.

Где Вы видите арифметику, в первом утверждении или во втором?

EminentVictorians в сообщении #1624072 писал(а):

epros в сообщении #1624050 писал(а):

Вот только как понять, что оно означает то же самое, что и арифметическое утверждение?

Для меня оно и есть арифметическое утверждение. Всего-то надо -- забыть про арифметику Пеано и начать жить в нормальной и приятной сердцу теории множеств.

Это замечательно, что Вы "видите". Вот только это на самом деле утверждение теории множеств и оно о множествах. Утверждений о множествах много (прошу прощения за каламбур), и как нам понять, какие из них соответствуют арифметическим утверждениям, а какие нет?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1624084 писал(а):

Но символов $S$ и $\mathbb N$ в языке теории множеств точно нет.

Так и не должно быть. Но обозначить ими то или иное множество кто запрещает? Символы $S$ и $\mathbb N$ - это просто сокращения конкретных строчек теории множеств. В алфавите их нету. Я был уверен, что Вы понимаете, что та же строчка $(\forall x, y \in \mathbb N) \times(x, s(y)) = +(\times(x, y) , x)$ - это просто сокращенная запись довольно длинной и душной строчки из теории множеств, а не формальная запись.

epros в сообщении #1624084 писал(а):

То, что Вы сейчас проделали, это просто переписывание аксиом Пеано, причём с использованием символов того же языка арифметики Пеано.

Это не аксиомы Пеано, а краткая запись некоторой теоремы теории множеств.

epros в сообщении #1624084 писал(а):

Где Вы видите арифметику, в первом утверждении или во втором?

Во втором.

epros в сообщении #1624084 писал(а):

Вот только это на самом деле утверждение теории множеств и оно о множествах.

Для меня других нету.

epros в сообщении #1624084 писал(а):

Утверждений о множествах много (прошу прощения за каламбур), и как нам понять, какие из них соответствуют арифметическим утверждениям, а какие нет?

А зачем делить утверждения на арифметические и не арифметические? Я еще могу понять, если Вы хотите, оставаясь внутри арифметики Пеано первого порядка, рассматривать арифметические множества. В этом действительно есть смысл. Но в теории множеств-то зачем всем этим делением заниматься?



Если подытожить, я вижу основную проблему в том, что Вы путаете 2 принципиально разные ситуации. Вы почему-то решили, что для того, чтобы использовать символы типа $S$ или $\mathbb N$, надо обязательно вводить их в алфавит. Но это не так. Их можно использовать просто как сокращения соответствующих длинных строчек теории множеств, где кроме $\in$ (и общелогических символов) ничего нету. Если очень хочется, можно ввести эти символы в алфавит. Получите консервативное расширение теории. Но и здесь, имхо, у Вас какое-то превратное представление. Вы почему-то считаете, что если вводить тот же символ $S$ последователя, то его непременно необходимо вводить через аксиомы Пеано, но это не так. Его можно вводить через множества (в духе "существует функция вида $\mathbb N \to \mathbb N$ с такими-то и такими-то свойствами). Зачем это делать, если можно обычным образом развивать теорию из первоначальных аксиом о множествах - непонятно. А вводить последователь аксиомами Пеано внутри теории множеств - это совсем уже за рамками здравого смысла. Давайте тогда вообще всю известную математику в аксиомы запишем. Как здорово получается, ничего не надо доказывать - красота.

[talash]

talash в сообщении #1624039 писал(а):

Однако, правильная логика, в отличие от альтернативных - продуктивна и поэтому закрепляется в успешной практике. А для этого необходимо, чтобы происходила честная конкуренция логик и вообще мнений.

Кстати, Dicson, Вы согласны с этим критерием, как объективно отличить правильную логику от неправильной? Имеется ввиду логика естественного языка, которую нельзя формализовать. Вот Вы пишете посылку и следствие, а я не понимаю как из такой посылки можно получить такое следствие. Вы объясняете, но легче не становится. Приходится делать вывод, что у Вас другая логика, отличная от моей.

И если взять книгу "Начала" Евклида, то она начинается с определения первичных понятий. То есть, с утери строгости, по-Вашему. Однако евклидова геометрия оказалась чрезвычайно продуктивной. Из этого факта можно сделать вывод, что Ваша логика неправильна.

[talash]

Я свои мысли в эту тему topic156422.html перенёс.

[Dicson]

talash в сообщении #1624039 писал(а):

Я перечислю Ваши мысли:
- Для строгости обязательно нужна формализация.
- Попытка сформулировать основания математики ведёт к утрате математической строгости, потому что их невозможно формализовать.
- Поэтому, строгие формальные математические теории выходят из ниоткуда и уходят в никуда.

Третий и второй пункты надо поменять местами. Знания исходят из неопределённого ниоткуда и уходят в неопределённое никуда. Но если никаких определённых оснований у знания нет, то и описать эти основания нельзя.

talash в сообщении #1624039 писал(а):

Нельзя строго определить первичные понятия потому что любое определение состоит из слов и определяя слова словами мы в конце концов приходим к нестрогим "синонимичным" определениям.

Это порочный круг, вид логической ошибки. Тоже аргумент против теории всего, оснований математики и т. д.. Например, дав некое определение и последовательно пытаясь сформулировать все его основания, придётся в конечном итоге описать весь опыт. Но тогда получится, что слова будут обосновывать сами себя и, таким образом, потеряют смысл вместе со всей затеей, так как сами по себе слова никакого смысла не имеют.

Чтобы понять, почему так (почему смысл появляется, только когда слова в голове, и что такое сам смысл, где он), надо присмотреться к нейронным сетям. Как они распознают, что там на нижних уровнях, что на верхних.

talash в сообщении #1624039 писал(а):

Однако, правильная логика, в отличие от альтернативных - продуктивна и поэтому закрепляется в успешной практике.

Верное знание то, которое повышает качество жизни. А общность опыта всех людей помогает понимать друг друга, явно или неявно договорившись только об уровне очевидного для заинтересованных сторон, спускаясь обратно к этому уровню для уточнения позиций, если возникло недопонимание. Потому что очевидное и так очевидно, а кому не очевидно, тот пусть сделает очевидной свою точу зрения.

talash в сообщении #1624039 писал(а):

А для этого необходимо, чтобы происходила честная конкуренция логик и вообще мнений.

Честная конкуренция честной конкуренции рознь. Снижение жёсткости естественного отбора по мере роста социальной защищённости приводит к тому, что, вероятно, выживают и плодятся не очевидные точки зрения. Но их нельзя отличить от очевидных, потому что они теперь тоже очевидные. Только если в историческом контексте, но это слабый аргумент, ведь вчера одно, завтра другое - это естественно, это эволюция.

talash в сообщении #1624101 писал(а):

И если взять книгу "Начала
" Евклида, то она начинается с определения первичных понятий. То есть, с утери строгости, по-Вашему.

Вы имеете в виду, что их нельзя формализовать, но идея работает? "Начала" начинаются с очевидного. Суть очевидного в том, что оно понимается всеми одинаково - однозначно. То есть это вполне себе замена строгости. Поэтому идея и работает. Но в целом чем больше слов естественного языка, тем больше вероятность неоднозначности, поэтому действительно строгие определения всё-таки должно быть возможным формализовать.

Таким образом, "утери строгости" не произошло. Но она начнёт теряться, если попробовать сформулировать определения тех элементов, которые входят в "определения первичных понятий". К примеру, в определениях что-то говорится про части. Что это - часть? Вроде бы сам Евклид утверждал, что "целое больше своей части". Но ведь с частями не всё так просто - например, бесконечные множества характеризуются как множества, имеющие собственные подмножества той же мощности. И так в конце концов любой смысл в определениях определений утонет. Потому что в основании слов нет слов.

epros в сообщении #1624050 писал(а):

С точки зрения обратной математики "основания" - это ни что иное, как лежащая в основе той или иной математики аксиоматика.

Тогда это действительно не те "основания", о которых, как я понимаю, шла речь в теме. "Аксиоматики" для их построения недостаточно. Нужны более тонкие материи.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1624100 писал(а):

epros в сообщении #1624084 писал(а):

Но символов $S$ и $\mathbb N$ в языке теории множеств точно нет.

Так и не должно быть. Но обозначить ими то или иное множество кто запрещает? Символы $S$ и $\mathbb N$ - это просто сокращения конкретных строчек теории множеств. В алфавите их нету. Я был уверен, что Вы понимаете, что та же строчка $(\forall x, y \in \mathbb N) \times(x, s(y)) = +(\times(x, y) , x)$ - это просто сокращенная запись довольно длинной и душной строчки из теории множеств, а не формальная запись.

Я-то понимаю, что это может быть сокращённая запись, и даже догадываюсь, какая именно. А вот Вы не слышите, что я Вам говорю: Любую сокращённую запись нужно чем-то определять. И это "что-то" непременно окажется дополнительными аксиомами.

EminentVictorians в сообщении #1624100 писал(а):

Это не аксиомы Пеано, а краткая запись некоторой теоремы теории множеств.

Пока я вижу аксиомы Пеано. И мне очень любопытно посмотреть, как Вы распишете в языке теории множеств (без всяких "сокращённых записей") определения сложения и умножения.

EminentVictorians в сообщении #1624100 писал(а):

epros в сообщении #1624084 писал(а):

Где Вы видите арифметику, в первом утверждении или во втором?

Во втором.

epros в сообщении #1624084 писал(а):

Вот только это на самом деле утверждение теории множеств и оно о множествах.

EminentVictorians в сообщении #1624100 писал(а):

Для меня других нету.

epros в сообщении #1624084 писал(а):

Утверждений о множествах много (прошу прощения за каламбур), и как нам понять, какие из них соответствуют арифметическим утверждениям, а какие нет?

EminentVictorians в сообщении #1624100 писал(а):

А зачем делить утверждения на арифметические и не арифметические?

Затем, что Вы обещали определить "модель арифметики Пеано". Стандартную, насколько я помню. И даже, вроде, предполагали, что она должна возникнуть из теории множеств неким "естественным" образом (в отличие от нестандартных моделей, как я понимаю).

EminentVictorians в сообщении #1624100 писал(а):

Если подытожить, я вижу основную проблему в том, что Вы путаете 2 принципиально разные ситуации. Вы почему-то решили, что для того, чтобы использовать символы типа $S$ или $\mathbb N$, надо обязательно вводить их в алфавит. Но это не так. Их можно использовать просто как сокращения соответствующих длинных строчек теории множеств, где кроме $\in$ (и общелогических символов) ничего нету.

Если подытожить, то Ваша религия явно мешает Вам воспринимать то, что я написал.

EminentVictorians в сообщении #1624100 писал(а):

Если очень хочется, можно ввести эти символы в алфавит. Получите консервативное расширение теории. Но и здесь, имхо, у Вас какое-то превратное представление. Вы почему-то считаете, что если вводить тот же символ $S$ последователя, то его непременно необходимо вводить через аксиомы Пеано, но это не так. Его можно вводить через множества (в духе "существует функция вида $\mathbb N \to \mathbb N$ с такими-то и такими-то свойствами). Зачем это делать, если можно обычным образом развивать теорию из первоначальных аксиом о множествах - непонятно. А вводить последователь аксиомами Пеано внутри теории множеств - это совсем уже за рамками здравого смысла. Давайте тогда вообще всю известную математику в аксиомы запишем. Как здорово получается, ничего не надо доказывать - красота.

Вы пока не продемонстрировали никакого "введения символов через множества". Вы можете сколько угодно в своём подсознании представлять, что инкремент - это $x \cup \{x\}$, но Ваши собеседники не телепаты и им нужно явно сказать, что в рамках определяемой Вами модели арифметики Пеано это так, и никак иначе.

Dicson в сообщении #1624139 писал(а):

epros в сообщении #1624050 писал(а):

С точки зрения обратной математики "основания" - это ни что иное, как лежащая в основе той или иной математики аксиоматика.

Тогда это действительно не те "основания", о которых, как я понимаю, шла речь в теме. "Аксиоматики" для их построения недостаточно. Нужны более тонкие материи.

По моим понятиям "другие основания" пока остаются на уровне пустого трёпа.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1624144 писал(а):

А вот Вы не слышите, что я Вам говорю: Любую сокращённую запись нужно чем-то определять. И это "что-то" непременно окажется дополнительными аксиомами.

Я слышу, просто я с этим не согласен. Рассмотрим, например, следующую строчку:

$$(\forall x) (((x \in a) \to (x \in b)) \wedge ((x \in b) \to (x \in a)))$$

Эта строчка является формулой теории множеств. А вот строчка $a = b$ - это её сокращенная запись. Символа "$=$" в алфавите теории множеств нету.
И что значит "Любую сокращенную запись нужно чем-то определять"? Любая сокращенная запись определяется, собственно, той записью, которую она сокращает.
Вот и в данном случае, короткая строчка $a = b$ - это сокращение вот этой длинной строчки с импликациями и скобками, которая написана выше.
Поэтому, на мой взгляд, Вы здесь однозначно ошибаетесь: чтобы оперировать сокращенными записями, никаких новых аксиом добавлять не надо.

Другое дело, если Вы хотите добавить символ $=$ в алфавит теории множеств. Тогда да, надо будет вводить новую аксиому, определяющую это самое равно. Например, такую: $((a = b) \to (\forall x) (((x \in a) \to (x \in b)) \wedge ((x \in b) \to (x \in a))))$$\wedge((\forall x) (((x \in a) \to (x \in b)) \wedge ((x \in b) \to (x \in a))) \to (a=b))$
Но по мне, расширять алфавит теории множеств - это примерно как пить Шато Мутон Ротшильд из пластикового стакана, не допить, а потом затушить в него сигарету. Можно, конечно, но выглядит так себе.

epros в сообщении #1624144 писал(а):

И мне очень любопытно посмотреть, как Вы распишете в языке теории множеств (без всяких "сокращённых записей") определения сложения и умножения.

Сложение и умножение - это просто конкретные функции вида $+:\mathbb N^2 \to \mathbb N$, $\times:\mathbb N^2 \to \mathbb N$. Я парой сообщений назад приводил ссылку на сообщение в одной из прошлых тем, где я объясняю все эти шаги, включая, как определяется функция сложения. Вот конкретный фрагмент про $+$.

EminentVictorians в сообщении #1616152 писал(а):

6) Существует единственная функция $+: \mathbb N_0 \times \mathbb N_0 \to \mathbb N_0$ такая, что:
$ \quad \quad$ 1)$+(m, 0) = m \quad (\forall m)$;
$\quad \quad $ 2)$+(m, S(n)) = S(+(m,n)) \quad (\forall m,n)$.
$ \quad \quad $ (Доказывается несложно, из основной теоремы о рекурсии)
7) Положим $a + b := +(a, b)$.

Или Вам надо, чтобы я еще и основную теорему о рекурсии расписал?

epros в сообщении #1624144 писал(а):

Затем, что Вы обещали определить "модель арифметики Пеано". Стандартную, насколько я помню. И даже, вроде, предполагали, что она должна возникнуть из теории множеств неким "естественным" образом (в отличие от нестандартных моделей, как я понимаю).

Ну, модель арифметики Пеано я точно определил. И я считаю ее стандартной. Я знаю, Вы сейчас скажете, что у самой теории множеств существуют нестандартные модели, но я в это не верю. Нестандартные модели может быть и есть у какой-нибудь ZFC, но я уверен, что мой универсум множеств определен однозначно.

(Универсум)

Универсум выглядит так:

1)Множество наследственно конечных множеств принадлежит универсуму $U$.
2)$x \in u$ и $u \in U$ $\Rightarrow$ $x \in U$
3)$u \in U$, $v \in U$ $\Rightarrow$ $\{u, v\} \in U$
4) $x \in U$ $\Rightarrow$ $2^x \in U$ и $\cup x \in U$
5) есть схема выделения
6) если $a \in U$ и мы поставили в соответствие каждому $x \in a$ некоторый единственный $y_x \in U$, то $\{y_x| x \in X\}$ будет множеством (т.е., грубо говоря, образ функционального суждения (которое само не обязательно является функцией) является множеством). (схема преобразования)
7) аксиома выбора
8) аксиома регулярности

Часть аксиом может быть избыточной, но это не важно.

epros в сообщении #1624144 писал(а):

Вы можете сколько угодно в своём подсознании представлять, что инкремент - это $x \cup \{x\}$, но Ваши собеседники не телепаты и им нужно явно сказать, что в рамках определяемой Вами модели арифметики Пеано это так, и никак иначе.

EminentVictorians в сообщении #1624072 писал(а):

Рассмотрим функцию $S: \mathbb N \to \mathbb N$, $S(n) = n \cup \{n\}$. Докажем, что $S$ является корректно определенной функцией вида $\mathbb N \to \mathbb N$ (т.е. что $(\forall n \in \mathbb N) S(n) \in \mathbb N$). Функцию $S$ будем называть инкрементом. Все. Проще некуда. Разумеется, перед этим должно быть определено объединение множеств (но это базовая база, очевидно она должна идти до введения натуральных чисел).

А это я не явно сказал?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1624163 писал(а):

Другое дело, если Вы хотите добавить символ $=$ в алфавит теории множеств. Тогда да, надо будет вводить новую аксиому, определяющую это самое равно.

Вообще-то в стандартной аксиоматике символ равенства есть, и для равенства в теории множеств предусмотрена специальная аксиома - экстенсиональности.

Но я так понимаю, что Вы предпочитаете аксиоматику теории множеств без равенства?

EminentVictorians в сообщении #1624163 писал(а):

И что значит "Любую сокращенную запись нужно чем-то определять"? Любая сокращенная запись определяется, собственно, той записью, которую она сокращает.

Ну Вы даёте! Понятие - это термин и его определение. "Слон - это крупное млекопитающее, имеющее хобот и большие уши". Здесь "слон" - это термин, остальное - его определение. И этот термин для того и нужен, чтобы в статье про слонов в каждом предложении не повторять формулировки про "крупное млекопитающее, имеющее хобот и большие уши", а вместо этого употреблять сокращённую запись "слон".

Каким образом Вы собираетесь определять термин, не добавив его в язык?

EminentVictorians в сообщении #1624163 писал(а):

Вот конкретный фрагмент про $+$.

EminentVictorians в сообщении #1616152 писал(а):

6) Существует единственная функция $+: \mathbb N_0 \times \mathbb N_0 \to \mathbb N_0$ такая, что:
$ \quad \quad$ 1)$+(m, 0) = m \quad (\forall m)$;
$\quad \quad $ 2)$+(m, S(n)) = S(+(m,n)) \quad (\forall m,n)$.
$ \quad \quad $ (Доказывается несложно, из основной теоремы о рекурсии)
7) Положим $a + b := +(a, b)$.

Или Вам надо, чтобы я еще и основную теорему о рекурсии расписал?

Мне надо, чтобы Вы продемонстрировали, как Вы будете определять сложение, не добавив в язык теории множеств новых символов Именно это Вы обещали. А сейчас я опять вижу формулировки, содержащие символ сложения.

Я и без Ваших рассуждений о "теореме рекурсии" знаю, что целочисленное сложение рекурсивно определяется через инкремент посредством двух аксиом. И здесь Вы приводите те же две аксиомы, только разбавленные не относящимися к делу рассуждениями.

EminentVictorians в сообщении #1624163 писал(а):

Ну, модель арифметики Пеано я точно определил. И я считаю ее стандартной.

Я не вижу определения модели. Вы должны определить множество - носитель. Потом - все функции (а их три: инкремент, сложение и умножение). Потом все предикаты (в арифметике Пеано это только равенство). Потом доказать истинность всех аксиом. Как Вы вообще намереваетесь это делать, не упоминая терминов моделируемой теории?

Философские рассуждения о том, что все эти понятия якобы и так уже содержатся в теории множеств, не помогут.

EminentVictorians в сообщении #1624163 писал(а):

epros в сообщении #1624144 писал(а):

Вы можете сколько угодно в своём подсознании представлять, что инкремент - это $x \cup \{x\}$, но Ваши собеседники не телепаты и им нужно явно сказать, что в рамках определяемой Вами модели арифметики Пеано это так, и никак иначе.

EminentVictorians в сообщении #1624072 писал(а):

Рассмотрим функцию $S: \mathbb N \to \mathbb N$, $S(n) = n \cup \{n\}$. Докажем, что $S$ является корректно определенной функцией вида $\mathbb N \to \mathbb N$ (т.е. что $(\forall n \in \mathbb N) S(n) \in \mathbb N$). Функцию $S$ будем называть инкрементом. Все. Проще некуда. Разумеется, перед этим должно быть определено объединение множеств (но это базовая база, очевидно она должна идти до введения натуральных чисел).

А это я не явно сказал?

Слушайте, я на это уже сказал, что это - не язык теории множеств. Понятное дело, что формула $S(n) = n \cup \{n\}$ явно определяет инкремент (при условии $n \in \mathbb N$, конечно). Но Вы-то заявили, что "это просто сокращения" и обещали обойтись без них.

Так вот, я Вам говорю, что это - не "просто сокращения", а неизбежное расширение языка моделирующей теории и дополнительные аксиомы, которые, собственно, и определяют "модель арифметики Пеано".

И не надо повторять ерунду о том, что эта модель якобы сама по себе уже определена в теории множеств.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1624192 писал(а):

Но я так понимаю, что Вы предпочитаете аксиоматику теории множеств без равенства?

Да.

epros в сообщении #1624192 писал(а):

Каким образом Вы собираетесь определять термин, не добавив его в язык?

Таскать вместо "слона" всю эту определяющую его строчку "крупное млекопитающее, имеющее хобот и большие уши". И для каждого термина "млекопитающее", "хобот", "уши" - таскать его длинную определяющую строчку. Чтобы в результате ничего, кроме первичных понятий не было.

epros в сообщении #1624192 писал(а):

Слушайте, я на это уже сказал, что это - не язык теории множеств. Понятное дело, что формула $S(n) = n \cup \{n\}$ явно определяет инкремент (при условии $n \in \mathbb N$, конечно). Но Вы-то заявили, что "это просто сокращения" и обещали обойтись без них.

Так $\cap, \cup, =, \subset$ - это все не язык теории множеств! В языке теории множеств ничего кроме $\in$ (и общелогических связок) нету. Строчка $a \subset b$ - не является формулой теории множеств. Это все сокращения. В частности, $a \subset b$ - это сокращение для строчки

$$(\forall x) ((x \in a) \to (x \in b))$$

Нету никакой принципиальной разницы между сокращениями, в которых участвуют $\cup$ и $+$. Ни те, ни другие не являются формулами теории множеств. Просто строчки с участием $\cup$ еще можно более-менее быстро перевести на язык теории множеств, то строчки с участием $+$ будут переводиться очень долго и замороченно.

epros в сообщении #1624192 писал(а):

И не надо повторять ерунду о том, что эта модель якобы сама по себе уже определена в теории множеств.

Я и не утверждаю, что она определена "сама по себе". Мы ее должны определять сами. Это не то, чтобы сложно, но и не за пару минут делается. У меня, помню, ушел целый день, чтобы все аккуратно построить.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1624201 писал(а):

Таскать вместо "слона" всю эту определяющую его строчку "крупное млекопитающее, имеющее хобот и большие уши". И для каждого термина "млекопитающее", "хобот", "уши" - таскать его длинную определяющую строчку. Чтобы в результате ничего, кроме первичных понятий не было.

Это называется "не определять новых понятий" и с требованием "определить модель арифметики Пеано" несовместимо.

EminentVictorians в сообщении #1624201 писал(а):

Нету никакой принципиальной разницы между сокращениями, в которых участвуют $\cup$ и $+$.

Принципиальная разница в том, что модель $\cup$ Вас никто не просил построить, а модель целочисленного сложения в рамках модели арифметики Пеано Вы определить обещали.

Если Вы не дадите определения $\cup$, а вместо этого распишете все формулы с $\cup$ через формулы с $\in$, то Вам никто слова не скажет. Но если Вы таким же образом распишете все формулы арифметики Пеано, то Вас спросят: Какие из всех этих формул с $\in$ относятся к обещанной модели арифметики Пеано?

EminentVictorians в сообщении #1624201 писал(а):

Я и не утверждаю, что она определена "сама по себе". Мы ее должны определять сами.

И что же это значит: "определять самим"?