Глубокоуважаемые Участники обсуждения!
Чтобы сообщение не выглядело сумбурным, давайте рассмотрим пока одну проблему:
Александр Козачок в сообщении #162095 писал(а):
Мне кажется, что классикам и в голову не приходила мысль назвать решение дифуравнения (ДУ) первого порядка полноправным решением ДУ 2,3-го…..n-го порядков.
Непонятно, почему Вам так кажется.
При определении понятия решения ДУ классики сперва записывают ДУ в виде неявной функции
. Если старшая производная
, то должна она присутствовать в этом выражении? Если да, то мы вправе поместить в это выражение и все остальные производные более высокого порядка равные нулю и утверждать, что это на самом деле ДУ какого-то там порядка выше n.
Цитата:
На предыдущей странице shwedka привела пример уравнения 1-го порядка и его решения, которое является и полноправным решением уравнения 3-го порядка.
По примеру классиков запишем данное уравнение
в неявной форме
. Если согласиться с Вашим утверждением, то в неявной форме уравнение, вероятно, следует записать
и утверждать, что
есть полноправное решение и этого уравнения. Вы скажете: а почему бы нет? В таком случае последуем за классиками и запишем данное ДУ в виде функции, разрешенной относительно старшей производной. Какой именно
и т.д.?? Если быть последовательным, то надо писать
или даже включить сюда и вторую производную. Но мы ведь поставили вопрос о ДУ лишь третьего порядка и поэтому фактически должны писать
. Однако, мы задаем решение, удовлетворяющее этому уравнению
. Но ведь это решение удовлетворяет и предыдущему уравнению, а также уравнению
Видите, возникает путаница, о каком уравнении мы ведем речь. Поэтому, вероятно, классики имели это в виду и записывают ДУ в виде функции, разрешенной относительно старшей производной, считая остальные производные аргументами, а саму функцию (старшую производную) «
однозначно определенной и непрерывной в некоторой области изменения этих аргументов» (см. Выгодский М.Я. стр 729). При такой записи отчетливо видно, если в угаданном решении старшая производная везде равна нулю, то такое решение следует считать тривиальным.
Цитата:
Кроме того, Вы ведь говорите, что и тип уравнения меняется, в зависимости от подставленного решения.
Действительно, может измениться, если произвольно задавать решения с различными ограничениями (видимыми или невидимыми). В данном случае мы фактически должны говорить о ДУ первого порядка, а не третьего, поскольку в противном случае все остальные уравнения более высоких порядков имели бы такое же право. Так, вот, чтобы исключить путаницу и связанные с ней более серьезные недоразумения, мне кажется, что это решение следует считать тривиальным для всех ДУ выше первого порядка. О том, как в зависимости от подставленного решения меняется тип уравнения (УНС – У.Лапласа) см.
Если левая часть этого векторного уравнения равна нулю, то вполне очевидно, что порядок уравнения понижается и поэтому все решения для…
Правильно ли в указанном примере отражена Ваша точка зрения?
Свою точку зрения я уже изложил. Могу лишь добавить, что на этот счет математикам следует договориться, поскольку при рассмотрении физических задач такие решения, во многих случаях, нельзя относить к числу полноправных, поскольку они могут оказаться абсурдными.
Александр Козачок в сообщении #162095 писал(а):
запишем УНС в виде вектор-функции, разрешенной относительно старших производных
Гениально сказано. Запишем уравнение в виде вектор-функции. уже хорошо.Конечно, для Козачка разницы между функцией и уравнением нет никакой. Да ну их!! Теперь функцию разрешаем относительно производной. Что это такое, конечно, Козачок никогда никому не скажет.
Посмотрите внимательно, например, Выгодского М.Я. (стр. 729)
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 977ru.djvu или Смирнова Н.И. (т.2, стр. 48) и там Вы увидите «
Что это такое». Я лишь перенес все «
это» по аналогии на вектор-функцию, используя ту же терминологию.
shwedka писал(а):
Доцент Козачок,
приведите пример уравнения и его решения, которое, по-Вашему, полноправно. Или Вы за собой оставляете исключительное право решать, какое решение полноправно, какое нет, в корзину. Уж с народом поделитесь!!
И, может быть, на классиков сошлетесь? кто из них решения браковал по Вашему примеру?
Если по – моему, то
полноправными решениями ДУ могут считаться только те, у которых в рассматриваемой области «не обрезана» высшая производная, соответствующая порядку ДУ. Если высшая производная везде равна нулю, то такие решения следует относить к разряду тривиальных и, следовательно, неполноправных. Я пока не могу на кого-то сослаться, но хочу показать, к каким губительным последствиям привело пренебрежение этим, вроде бы сомнительным, положением на практике.
1. При построении решений ДУ матфизики очень часто ЗАДАЮТ форму, в которой ищется решение. На этом принципе основан метод разделения переменных.
2. Для того, чтобы удовлетворить начальные и граничные условия приходится использовать суперпозицию отдельных решений в виде тригонометрических рядов.
3. Начальные и граничные условия не всегда удается состыковать, и они в таких случаях получаются в виде разрывных или негладких функций.
4. Точное суммирование рядов, в которых представлены решения, возможно только в отдельных наиболее простых случаях.
5. Там, где такое суммирование оказалось возможным, удалось показать, что эти
решения, считавшиеся точными, на самом деле являются абсурдными с физической точки зрения, содержат математические противоречия и фактически должны быть отнесены к разряду тривиальных с обрезанной высшей (второй) производной. Подробнее см.
http://a-kozachok1.narod.ru/paradox.rus.pdf , стр. 63-83.
6. Эти решения, как оказалось, заняли почетные места в учебниках по матфизике и другим университетским дисциплинам и обсуждаются на форуме
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=24679&highlight=#24679 , хотя на самом деле должны быть незамедлительно изъяты и заменены корректными решениями. Об этом я уже писал в
сообщении Однако тогда еще даже не предполагал, что вопрос именно о
тривиальных решениях может оказаться таким масштабным. Поэтому мое предложение Вам заняться этой проблемой, как видите, имеет весьма серьезные основания.
Математикам, я полагаю, следует договориться по поводу тривиальных решений, чтобы в дальнейшем исключить возможность появления недоразумений и подобных упомянутым пагубных последствий для науки и образования.
А движение свободной частицы - неполноправное решение второго закона Ньютона
Я надеюсь, что Вы более подробно изложите свой комментарий и уточните, кому именно он адресован.
С уважением, Александр Козачок