Эх, ну как же я прошел мимо такой очевидной вещи! Построил сослепу неправильный контрпример и все, развернулся и пошел. Спасибо
schmetterling, что пнул в нужную сторону.
Итак, следующие два условия эквивалентны:
Граница замкнутого шара

есть сфера
В любой окрестности точки

найдётся точка

, которая дальше от

, чем сама

Докажем это в одну сторону. Пусть граница замкнутого шара

есть сфера

. Положим

. По условию, точка

граничная для

, значит, в любой ее окрестности найдется точка

, что по определению означает

.
Обратно, пусть в любой окрестности точки

найдётся точка

, которая дальше от

, чем сама

. В любом пространстве

, так что остается доказать включение

, т.е. что каждая точка сферы - граничная. Если сфера пуста, то условие выполняется. Возьмем

По условию, в любой ее окрестности найдется точка

, т.е. точка

не внутренняя для

. Но по определению

, и раз точка не внутренняя, она может быть только граничной. Теорема доказана.
Надо же, как все получилось легко и красиво. А я-то плутал в трех соснах.