2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение10.12.2023, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
Padawan
Не подскажете, обобщённый принцип максимума верен ли для размерности выше второй? Для второй доказательство мне известно, а вот для старших что-то не встречалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение11.12.2023, 14:31 
Заслуженный участник


13/12/05
4673
Вроде бы верен. По крайней мере для ограниченных областей. Пусть в ограниченной области $D\subset \mathbb R^n$ задана субгармоническая функция $u(x)$, такая, что $\varlimsup\limits_{x\to a}u(x) \leqslant 0$ для всех $a\in\partial D$, кроме конечного числа точек $a_1, \ldots, a_p\in\partial D$, вкоторых $\varlimsup_{x\to a} u(x)<+\infty$. Тогда для любого $ \varepsilon>0$ функция $v(x) =u(x)-\varepsilon\sum\limits_{i=1}^p \frac{1}{|x-a_i|^{n-2}}$ будет также субгармонической и $\varlimsup\limits_{x\to a}v(x) \leqslant 0$ для всех $a\in\partial D$. По обычному принципу максимума $v(x) \leqslant 0$ в $D$, т. е.
$u(x)-\varepsilon\sum\limits_{i=1}^p \frac{1}{|x-a_i|^{n-2}}\leqslant 0$ для всех $x\in D$. Переходя в этом неравенстве к пределу при $\varepsilon\to 0$, получим $u(x) \leqslant 0$ в области $D$.

Везде слово "субгармоническая" можно заменить на "гармоническая", док-во сохранится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение11.12.2023, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
Padawan
Спасибо. Вроде всё верно, и практически дословно как и в двумерном случае, только там логарифмические потенциалы брались.

Правда, там, скорее всего не сразу с нулём сравниваются верхние пределы, а с чем-то, связанным с диаметром множества... Ну или я не понял, как получилась оценка сверху нулём.

-- 11.12.2023, 18:15 --

Хотя, вроде понял, просто из-за отрицательности второго члена.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group