Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом

[thething]

Padawan
Не подскажете, обобщённый принцип максимума верен ли для размерности выше второй? Для второй доказательство мне известно, а вот для старших что-то не встречалось.

[Padawan]

Вроде бы верен. По крайней мере для ограниченных областей. Пусть в ограниченной области $D\subset \mathbb R^n$ задана субгармоническая функция $u(x)$, такая, что $\varlimsup\limits_{x\to a}u(x) \leqslant 0$ для всех $a\in\partial D$, кроме конечного числа точек $a_1, \ldots, a_p\in\partial D$, вкоторых $\varlimsup_{x\to a} u(x)<+\infty$. Тогда для любого $ \varepsilon>0$ функция $v(x) =u(x)-\varepsilon\sum\limits_{i=1}^p \frac{1}{|x-a_i|^{n-2}}$ будет также субгармонической и $\varlimsup\limits_{x\to a}v(x) \leqslant 0$ для всех $a\in\partial D$. По обычному принципу максимума $v(x) \leqslant 0$ в $D$, т. е.
$u(x)-\varepsilon\sum\limits_{i=1}^p \frac{1}{|x-a_i|^{n-2}}\leqslant 0$ для всех $x\in D$. Переходя в этом неравенстве к пределу при $\varepsilon\to 0$, получим $u(x) \leqslant 0$ в области $D$.

Везде слово "субгармоническая" можно заменить на "гармоническая", док-во сохранится.

[thething]

Padawan
Спасибо. Вроде всё верно, и практически дословно как и в двумерном случае, только там логарифмические потенциалы брались.

Правда, там, скорее всего не сразу с нулём сравниваются верхние пределы, а с чем-то, связанным с диаметром множества... Ну или я не понял, как получилась оценка сверху нулём.

-- 11.12.2023, 18:15 --

Хотя, вроде понял, просто из-за отрицательности второго члена.