Можно конформно отобразить область на круг с выкинутым овалом (чтобы прямые

перешли в

а окружность

- в замкнутую гладкую кривую - границу овала). Тогда вопросов про разрешимость ещё меньше будет.
Всё равно останется вопрос про непрерывность вплоть до границы в одной точке (куда там бесконечность отобразилась). Ну, правда, говорят, есть регулярные граничные точки (я с такими не знаком), так что, быть может, и вопросов не будет. Интересно, есть ли обоснование хотя бы единственности "элементарными" средствами, или надо обязательно привлекать какие-то мощные факты?