Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом

[KhAl]

Утундрий в сообщении #1621132 писал(а):

KhAl
Общее решение -сумма произведений целых степеней радиуса на круговые функции соответствующей частоты.

со всем уважением — Вы это заучили или знаете, как выводить?

-- 06.12.2023, 01:29 --

я сейчас покажу решение в пределе малых $\rho$, оно не будет представляться в таком виде

-- 06.12.2023, 01:32 --

кстати, с помощью физической интерпретации с некоторой вероятностью можно получить док-во существования в стиле "минимизируем что-то там"

[Утундрий]

KhAl в сообщении #1621137 писал(а):

я сейчас покажу решение в пределе малых $\rho$, оно не будет представляться в таком виде

Любопытно будет взглянуть.

[KhAl]

Вот приближенное решение в пределе малых $\rho$. Метод отражений подсказывает искать его среди функций, удовлетворяющих $u(x+2, y) = -u(x, y)$. Положим $z = x+yi$, тогда

$$u(x, y) = \frac{1}{|\ln(\frac{\pi}{4}\rho)|} \ln\left|\frac{\sin(\frac{\pi}{4}(z+2))}{\sin(\frac{\pi}{4}z)}\right|$$

При малых $\rho$ и $|z| = \rho$ значение функции близко к 1. Эта функция гармоническая, поскольку это

$$\frac{1}{|\ln(\frac{\pi}{4}\rho)|}\operatorname{Re}\left(\ln\left(\sin(\frac{\pi}{4}(z+2))\right) - \ln\left(\sin(\frac{\pi}{4}z)\right)\right)$$

(Разумеется, я изначально искал решение как вещественную часть голоморфной функции, и просто взял что-то, аналогичное $\ln|z|$, подправив, чтобы функция стала (анти)периодичной. Ещё одно разумеется: эта функция описывает потенциал, создаваемый бесконечным рядом зарядов разных знаков, расставленых на оси $x$)

(Оффтоп)

я знаю, что за слово "антипериодичная" меня будут ругать

[Утундрий]

Если это принципиально, то думаю, что смогу переписать этого крокодила в заявленном общем виде; хотя, возможно, придётся помучиться. А у Вас есть регулярный метод сделать так, чтобы

KhAl в сообщении #1621139 писал(а):

значение функции

было не просто

KhAl в сообщении #1621139 писал(а):

близко к 1

а сколь угодно близко?

[KhAl]

В целом — нет. Я могу делать значение ближе к $1$ только за счёт уменьшения $\rho$.

-- 06.12.2023, 02:07 --

Утундрий в сообщении #1621140 писал(а):

Если это принципиально, то думаю, что смогу переписать этого крокодила в заявленном общем виде; хотя, возможно, придётся помучиться

У крокодила особенности в точках с $y = 0$, $x \in 2\mathbb{Z}$. Для Вашего вида особенностей при $x^2 + y^2 > \rho^2$ вообще никогда не будет.

-- 06.12.2023, 02:27 --

del

[KhAl]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1621136 писал(а):

Задача, напоминаю, математическая.

Но тогда интересно, почему вдруг в физической постановке решение есть, а в математической нет — чем наша модель плоха? (моё мнение, разумеется, в том, что решение есть в обеих постановках)

[Red_Herring]

Разумеется, задача хорошо поставлена и имеет единственное решение, хотя бы потому, что конформно отображение $z\to z^{-1}$ переводит ее в такую область. Другое дело, что ответ на вопрос ТС, скореее всего отрицательный: решение скорее всего не выражается через известные элементарные и специальные функции

\begin{tikzpicture} \filldraw[blue, fill=cyan] (0.0) circle (3); \filldraw[blue, fill=white] (1,0) circle (1); \filldraw[blue, fill=white] (-1,0) circle (1); \end{tikzpicture}

[thething]

Red_Herring
А откуда известна непрерывность вплоть до границы? Конкретно, в начале координат. Или ограниченность как-то позволяет доопределить до непрерывной функции?

[Doctor Boom]

matwey в сообщении #1619101 писал(а):

$$\begin{align} \Delta u &= 0 \\ u|_{x = \pm 1} &= 0 \\ u|_{x^2 + y^2 = \rho^2} &= 1 \end{align}$$

Тут же условие противоречиво не? Чему равен потенциал в $(x,y)=(1,0)$?

[Утундрий]

Red_Herring в сообщении #1621144 писал(а):

задача хорошо поставлена и имеет единственное решение, хотя бы потому, что конформно отображение $z\to z^{-1}$ переводит ее в такую область.

Ну, так даже наглядней. Внутренняя задача Дирихле для круга решается формулой Шварца, которая даёт всю ту же единицу для всех точек внутри области. А поскольку на "восьмёрке" мы хотим навязать нуль, то решений нет.

Doctor Boom
$\rho<1$

[Combat Zone]

Утундрий в сообщении #1621153 писал(а):

Ну, так даже наглядней. Внутренняя задача Дирихле для круга решается формулой Шварца, которая даёт всю ту же единицу для всех точек внутри области. А поскольку на "восьмёрке" мы хотим навязать нуль, то решений нет.

Какая разница. Вы уже пытались так рассуждать выше. Тут то же самое. Внутренняя задача Дирихле для круга - она для круга. И формула Шварца и т.п. дает функции, гармонические во всем круге. А наша функция может быть в дырках какой угодно.

[Утундрий]

Combat Zone в сообщении #1621156 писал(а):

Внутренняя задача Дирихле для круга - она для круга. И формула Шварца и т.п. дает функции, гармонические во всем круге. А наша функция может быть в дырках какой угодно.

За счет чего, позвольте спросить?

[Combat Zone]

А почему она должна быть гармонической? Уравнению Лапласа она только в области удовлетворяет. Вне замыкания она может быть вообще не определена.

[mihiv]

А вот если дальше использовать физическую картину.
Проводник будет поляризоваться в поле, создаваемом пластинами. Метод отражений подсказывает картину поля, которое создается зарядом и квадрупольным моментом, по крайней мере.
Поэтому можно было бы попробовать такой подход (практически трудно осуществимый): взять заряд и квадруполь при $r=0$, методом отражений найти поле и попробовать подобрать квадруполь так, чтобы обнулить тангенциальную составляющую электрического поля при $r=\rho$. Может, правда, оказаться, что квадруполя недостаточно.

[Vince Diesel]

thething в сообщении #1621146 писал(а):

А откуда известна непрерывность вплоть до границы? Конкретно, в начале координат. Или ограниченность как-то позволяет доопределить до непрерывной функции?

В данном будет непрерывность, так как граничная точка ноль регулярна.