Вопросы по математическим основам квантовой механики

[Cos(x-pi/2)]

B3LYP, "ерунды" Вам не написали.

B3LYP в сообщении #1620798 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что можно выписать и такое например решение:

$\psi=A\sin(\frac{\pi}{a}x)+B\sin(\frac{2 \pi}{a}x)+C\sin(\frac{3 \pi}{a}x)$

Нет. Для изучаемого Вами стационарного у.Ш.

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{d^2x}=E\,\psi(x),$

где $0\le x\le a,$ и $\psi(0)=\psi(a)=0,$

выписанная Вами суперпозиция не является решением. Чтобы в этом убедиться, заметьте, что каждое из трёх слагаемых в Вашей суперпозиции является решением у.Ш. со своим значением $E,$ не равным значениям $E$ для двух других слагаемых. Т.е. верными являются равенства:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1}{d^2x}=E_1\psi_1,$ где $\psi_1=A\sin(\frac{\pi}{a}x)$ и $E_1=\frac{\hbar^2}{2ma}(\frac{\pi}{a})^2,$

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_2}{d^2x}=E_2\psi_2,$ где $\psi_2=B\sin(\frac{2\pi}{a}x)$ и $E_2=\frac{\hbar^2}{2ma}(\frac{2\pi}{a})^2 ,$

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_3}{d^2x}=E_3\psi_3,$ где $\psi_3=C\sin(\frac{3\pi}{a}x)$ и $E_3=\frac{\hbar^2}{2ma}(\frac{3\pi}{a})^2. $

Сумма верных равенств тоже является верным равенством, вот оно:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d^2x}(\psi_1+\psi_2+\psi_3)=E_1\psi_1+E_2\psi_2+E_3\psi_3.$

Здесь из-за того, что значения $E_1,\,E_2,\,E_3$ различны, правая сторона не сводится к выражению $E(\psi_1+\psi_2+\psi_3).$

Следовательно, выписанная Вами суперпозиция $\psi=\psi_1+\psi_2+\psi_3$ не является решением у.Ш. $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{d^2x}=E\psi.$

[B3LYP]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1621085 писал(а):

B3LYP, "ерунды" Вам не написали.

Вроде понял, под ерундой я имел в виду коэффициент k внутри синуса, т.к. в решении нет например m внутри синуса, но видимо при подстановке k это всё делится само на себя и пропадает.
Я корректно написал решение для нестационарного варианта?

$\psi=A\sin(\frac{\pi}{a}x)\exp(\frac{-i\hbar}{2m}\frac{\pi^2}{a^2}t)+B\sin(\frac{2 \pi}{a}x)\exp(\frac{-i\hbar}{2m}\frac{4\pi^2}{a^2}t)+C\sin(\frac{3 \pi}{a}x)\exp(\frac{-i\hbar}{2m}\frac{9\pi^2}{a^2}t)$

И если стационарное УШ - это один из вариантов нестационарного, а в нестационарном суперпозиция есть - как она пропадает?
Если я правильно понял, решение $\psi_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x)$ нельзя умножить на i, т.к. тогда его интеграл будет равен не единице а минус единице.

[Cos(x-pi/2)]

B3LYP в сообщении #1621087 писал(а):

Я корректно написал решение для нестационарного варианта?

$\psi=A\sin(\frac{\pi}{a}x)\exp(\frac{-i\hbar}{2m}\frac{\pi^2}{a^2}t)+B\sin(\frac{2 \pi}{a}x)\exp(\frac{-i\hbar}{2m}\frac{4\pi^2}{a^2}t)+C\sin(\frac{3 \pi}{a}x)\exp(\frac{-i\hbar}{2m}\frac{9\pi^2}{a^2}t)$

Да.

B3LYP в сообщении #1621087 писал(а):

И если стационарное УШ - это один из вариантов нестационарного, <...>

Нет, это два разных уравнения. Посмотрите в учебниках, как люди приходят к стационарному у.Ш., решая нестационарное у.Ш. методом разделения переменных $t$ и $x.$ (Поймите, что тому, кто отвечает на очень уж общие вопросы, трудно (затратно по личному времени, у всех ведь есть свои дела, семья, разные заботы) излагать тут с множеством формул большой фрагмент материала, имеющегося в учебниках. И всегда сомневаешься: если вопрошающий не изучает выкладки в книгах, то с какой радости он станет изучать тут мои выкладки (на написание которых и проверку иногда приходится потратить несколько часов. Это не в обиду Вам, а просто для понимания известной трудности форумного общения на научные темы: краткие ответы могут оказаться не понятыми, а длинные долго писать и не факт, что адресат их внимательно прочтёт...))

B3LYP в сообщении #1621087 писал(а):

Если я правильно понял, решение $\psi_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x)$ нельзя умножить на i, <...>

Можно $\psi_n(x)$ умножить вообще на произвольный фазовый множитель, т.е. на комплексное число вида $e^{i\alpha_n},$ где $\alpha_n$ - произвольное вещественное число, может быть разное для разных $n.$ В частности, если выберем все $\alpha_n=\frac{\pi}{2},$ то каждая функция $\psi_n$ окажется умноженной на $e^{i\pi/2}=i.$ Ничего от этого не испортится, ортонормировка функций $\psi_n$ сохранится.

Базисные функции вообще во всех задачах определены с точностью до произвольных фазовых множителей. Эти множители обычно выбирают просто из соображений упрощения формул. В данном примере, как и во многих других, проще всего полагать, что все $\alpha_n=0,$ т.е. проще всего полагать произвольные фазовые множители равными единице.

-- 05.12.2023, 19:41 --

Про решение нестационарного у.Ш. я подобрал хорошую (на мой взгляд) задачку - о движении волнового пакета, представимого конкретной суперпозицией разбираемых тут решений у.Ш. в потенциальной яме. В специально подобранном конкретном примере всё элементарно вычисляется аналитически, хотя выкладки и длинновастенькие; лишь на последнем шаге - для частичного суммирования ряда по базисным функциям и для построения графиков движущегося (и расплывающегося) волнового пакета - пришлось пользоваться компьютером.

Если интерес к этим сюжетам (а именно - о решении нестационарного у.Ш. в виде разложения искомой $\Psi(t,x)$ по базисным функциям вида $\psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}$ и о свойствах такого решения в относительно элементарном примере) здесь не заглохнет, то попытаюсь потом подробно написать условия задачи, а затем, если потребуется, и результат хотя бы в виде графиков $|\Psi(t,x)|^2$ в зависимости от $x$ при нескольких разных значениях времени $t.$

Тут ещё много чего есть полезного для самообразования вычислять и обдумывать; например, - найти распределение вероятности для импульса частицы, как в самих стационарных состояниях, так и в волновом пакете, и понять почему оно получается такое-то, а не иное.

Ещё один поучительный сюжет - задача о стационарных состояниях $\psi_n(x)$ и уровнях энергии $E_n$ в потенциальной яме $U(x)$ опять же прямоугольной формы, но со "стенками" (барьерами) конечной высоты: $U(x)$ равно положительной конечной константе $U<\infty$ при $x<0$ и $x>a,$ внутри ямы: $U(x)=0$ при $0\le x\le a.$ Интересно проследить, как реализуется переход к пределу c $U \to \infty,$ для которого ответы здесь уже написаны.

[Cos(x-pi/2)]

Упомянутая задачка про квантовую динамику:

Дано: пусть в начальный момент времени $t=0$ волновая функция частицы есть

$$\Psi(0,x)=C\left (1+\cos \left (\pi \frac{x-x_0}{b}\right )\right )e^{ip(x-x_0)/\hbar},\quad x_0-b\le x \le x_0+b$$

на отрезке с центром $x_0 $ длиной $2b,$ расположенном в потенциальной яме, т.е. внутри более длинного отрезка $0\le x \le a.$ Вне указанного отрезка длиной $2b<a$ начальная волновая функция равна нулю:

$$\Psi(0,x)=0,\quad x<x_0-b,\quad x>x_0+b.$$

Вещественная постоянная $p$ это не зависящий от времени и от координаты параметр с размерностью импульса; он может быть положительным, отрицательным, или равным нулю.

Найти:

1) Нормировочный множитель $C.$ Ответ: $C=\frac{1}{\sqrt{3b}}.$ При построении графиков этот множитель влияет только на масштаб по оси значений волновой функции; на качественный вид графиков величина $C$ не влияет и поэтому далее в данной задачке можно этот множитель $C$ вообще не учитывать.

2) Коэффициенты $c_n$ разложения функции $\Psi(0,x)$ по функциям $\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\pi n\frac{x}{a})$ на отрезке $0\le x \le a,$ где $n=1,\, 2,\, 3,\, ...\,.$

3) Графики действительной и мнимой частей волновой функции $\Psi(0,x)$ и её квадрата модуля $|\Psi(0,x)|^2$ при $p \gg \frac{\hbar}{a}.$ В начальном примере пусть $x_0=0.2a,$ $b=0.199a,$ $p=1000\frac{\hbar}{a}.$ Затем можно будет на графиках проследить, на что и как влияют значения этих параметров.

4) Записать решение нестационарного у. Ш. (для волновой функции $\Psi(t,x)$ частицы, движущейся в рассматриваемой в этой задаче потенциальной яме) в виде разложения по стационарным состояниям. Ответ:

$$\Psi(t,x)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n \, \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left (\pi n\frac{x}{a}\right ) e^{-iE_nt/\hbar}$$

где $E_n=\frac{\hbar^2}{2ma^2}\pi^2 n^2,$ коэффициенты $c_n$ - те самые, которые требовалось найти в пункте (2) этой задачи.

5) Как изменяются со временем $t$ действительная и мнимая части и квадрат модуля волновой функции $\Psi(t,x);$ выяснить это построением соответствующих графиков. Для начала можно в таких численных примерах взять значения параметров те же, что и в пункте (3); при этом для приближённого численного счёта указанной в пункте (4) суммы подойдёт в роли верхнего предела вместо $\infty$ значение $n_{max}=500$ (поэкспериментируйте с выбором этого $n_{max}).$

Значения $t$ для численного счёта в этой задаче удобно выбирать, исходя из заданного значения импульса $p,$ которым в классической механике определялось бы время однократного пролёта частицы расстояния $a$ (время пролёта один раз от стенки до стенки внутри ямы); обозначим это время как $t_{1a}.$ Поскольку $p/m=v$ есть скорость частицы в одномерной задаче в классической механике (притом нерелятивистской - это здесь и далее подразумевается), то время $t_{1a}=a/|v|=am/|p|.$ Значения переменной $t$ удобно задавать в единицах $t_{1a},$ т.е. как доли от классического времени пролёта расстояния, равного длине потенциальной ямы. Вообще, выбор удобных для численного счёта единиц измерения переменных, имеющихся в задаче, - это тоже важная часть задачи.

Для ясности, приведу пару графиков (все графики не привожу, чтобы не лишать удовольствия любителей компьютерных расчётов самим изучить этот учебный пример квантовой динамики). Протяжённость потенциальной ямы $a$ принята на графиках к этой задаче за единицу длины.

Красная линия - действительная часть, синяя линия - мнимая часть волновой функции $\Psi(0,x)$ в начальный момент времени; здесь графики растянуты по горизонтали, чтобы их волнообразность была лучше видна:


Волнообразный вид этих графиков (с длиной волны порядка $\hbar/|p|)$ обусловлен имеющимся в выражении для волновой функции множителем $e^{ipx/\hbar}.$ Плавная "огибающая" с протяжённостью $2b,$ много большей длины волны, $2b \gg \hbar/|p|,$ описывается остальной частью волновой функции, которая выступает в роли сомножителя при $e^{ipx/\hbar}.$ Волновая функция такого типа (волна с плавной огибающей) обычно называется волновым пакетом.

На следующем графике - тонкая линия это квадрат модуля волновой функции в начальный момент времени $t=0,$ толстая линия - квадрат модуля волновой функции в более поздний момент времени, через десятую долю классического времени пролёта $t_{1a}$


Видно, что волновой пакет продвинулся в положительном направлении оси $x$ как раз на десятую долю от длины ямы $a,$ (принятой здесь за единицу длины). Т.е. квантовое "облако вероятности" обнаружения частицы движется с той же скоростью, что и частица в соответствующей классической задаче. Дальнейший аналогичный анализ показывает, что с течением времени волновой пакет так и продолжает с той же постоянной скоростью двигаться к правой стенке ямы. Дойдя до правой стенки (при $x=a),$ он отражается и движется налево. Дойдя до левой стенки (при $x=0),$ он отражается и движется снова направо. И т.д. При этом пакет немного "расплывается"; эффект расплывания выражен тем заметнее, чем меньшей задана начальная ширина пакета $2b.$ (В общем, в такой задачке и ей подобных хватает интересных познавательных аспектов КМ :)

[B3LYP]

Я позже буду разбирать нестационарное УШ, сейчас хочу примеры попроще. Начал смотреть третье видео Дэйва, но потом решил пересмотреть и разобрать второе.
Мы имеем решение УШ:

$\psi_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x)$

Зная волновую функцию, мы можем рассчитать как бы объективные свойства микрообъекта. Посчитаем собственные значения импульса.

$P= \int_{0}^{a}(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x) \cdot i \hbar \frac{d(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x) )}{dx})= i \hbar \frac{2}{a} \frac{n \pi}{a} \int_{0}^{a}(\sin(\frac{n \pi}{a}x) \cos(\frac{n \pi}{a}x))= i \hbar \frac{1}{a} \frac{n \pi}{a} \int_{0}^{a}(\sin(\frac{2 n \pi}{a}x))= -i \hbar \frac{1}{a} \frac{n \pi}{a} \frac{a}{2 n \pi} |_{0}^{a}(\cos(\frac{2 n \pi}{a}x))=0 $

Проверьте пожалуйста, правильно ли пишу.
Энергию мы уже знаем (но я её не помню), напишу и её вывод через оператор энергии:

$E= \int_{0}^{a}(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x) \cdot -\frac{\hbar}{2m}\frac{d^2(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x) )}{dx^2})=-\frac{\hbar}{2m} \frac{2}{a}\int_{0}^{a}(\sin(\frac{n \pi}{a}x) \frac{d^2(\sin(\frac{n \pi}{a}x) )}{dx^2})=\frac{\hbar}{m} \frac{1}{a}\frac{n^2 \pi^{2}}{a^2} \int_{0}^{a}(\sin^{2}(\frac{n \pi}{a}x) )=\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{a}\frac{n^2 \pi^{2}}{a^2} \int_{0}^{a}(1-\cos(\frac{2n \pi}{a}x) )=\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{a} \frac{n^2 \pi^{2}}{a^2}|_{0}^{a}(x-\frac{a}{2n \pi}\sin(\frac{2n \pi}{a}x))=\frac{\hbar}{2m} \frac{1}{a} \frac{n^2 \pi^{2}}{a^2} (a-\frac{a}{2n \pi}\sin(\frac{2n \pi}{a}a))=\frac{\hbar}{2m}\frac{n^2 \pi^{2}}{a^2}$

Всё правильно?

[warlock66613]

B3LYP в сообщении #1621544 писал(а):

Посчитаем собственные значения импульса.

Вы считаете дальше средний импульс. (И среднее значение энергии, которое совпадает с собственным значением энергии, поскольку стационарное состояние являются собственным для оператора энергии.)

Конкретно, собст

[svv]

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #1621545 писал(а):

Конкретно, собст

warlock66613, у Вас всё в порядке?

[warlock66613]

(Оффтоп)

svv, спасибо, всё в порядке, просто осколок редактирования.

Ладно, раз уж так, допишу. Что такое собственное значение какой-либо динамической переменной (например, импульса)? Если у нас есть квантомеханический оператор $\hat A$, то он как-то действует на любое состояние $| \Psi \rangle$ и в результате получается какое-то другое состояние:

$$\hat A | \Psi \rangle = | \Phi \rangle.$$

Иногда, для особых состояний действие оператора сводится просто к умножению на константу:

$$\hat A | \Psi \rangle = C | \Psi \rangle$$

(то есть в этом случае $| \Phi \rangle$ = $ C | \Psi \rangle$).
Такое состояние называется собственным вектором соответствующего оператора, а константа $C$ — собственным значением оператора. Соответственно, в том случае, когда состояние является собственным вектором для какого-то оператора динамической переменной, можно говорить о собственном значении оператора в этом состоянии или иначе об определённом значении динамической переменной для этого состояния.

В общем случае произвольного состояния действие оператора не сводится к умножению на число, и понятие собственного значения оператора для этого состояния не имеет смысла.

[Cos(x-pi/2)]

B3LYP в сообщении #1621544 писал(а):

Всё правильно?

Не всё. Вы пользуетесь формулой типа $\int \psi^*\hat {A} \psi \, dx,$ она даёт среднее значение физической величины, описываемой в КМ оператором $\hat {A}.$ Это есть среднее значение в состоянии, описываемом волновой функцией $\psi.$

(Не знаю, что рассказывают в видео, потому что у меня нет и не будет времени смотреть / комментировать / рецензировать видео, но если в каком-то видео средние значения величин перепутаны с собственными значениями величин, то это никудышнее видео.)

Среднее значение величины, описываемой оператором $\hat {A}$ обычно обозначают чертой над буквой или угловыми скобками. Вот формула (с угловыми скобками) для среднего значения: $\langle A\rangle = \int \psi^*\hat {A} \psi \,dx.$ Такие интегралы Вы и вычисляли. Для среднего значения импульса ответ "ноль" - правильный. А в выражении для энергии у Вас ошибка или опечатка: постоянная Планка должна быть во второй степени.

Кстати, среднее значение энергии в стационарном состоянии (его Вы и считали) совпадает с собственным значением энергии в данном стационарном состоянии. Чтобы это увидеть, не обязательно делать такие длинные выписывания интегралов. Достаточно воспользоваться определением понятия "собственное значение энергии": по определению действие оператора энергии (он называется гамильтонианом и обозначается как $\hat{H})$ на волновую функцию стационарного состояния $\psi_n$ сводится к умножению этой функции на собственное значение энергии $E_n,$ т.е. выполняется равенство

$$\hat{H}\psi_n=E_n\psi_n$$

Поэтому при вычислении среднего значения мы получим под знаком интеграла выражение $\psi_n^*\hat{H}\psi_n=\psi_n^*E_n\psi_n=E_n\psi_n^*\psi_n$

$E_n$ это постоянная, она вынесется из под знака интеграла, а сам интеграл от $\psi_n^*\psi_n$ равен единице, потому что волновые функции здесь все нормированные. Таким образом:

$$\langle E\rangle = \int \psi_n^*\hat {H} \psi_n \,dx=E_n\int \psi_n^*\psi_n\, dx=E_n$$

Это верно во всех задачах с дискретным спектром собственных значений энергии, а не только в том конкретном примере, который Вы рассматриваете.

А для оператора импульса рассмотренные Вами функции $\psi_n$ не являются собственными: оператор импульса превратил синус в косинус. Поэтому в случае с импульсом в Вашем вычислении нет речи о собственном значении импульса. Речь идёт только о среднем значении импульса.

-- 09.12.2023, 04:19 --

Пока упоминавшаяся мной выше задачка не "утонула" в форумной пучине, добавлю для нестационарного состояния $\Psi(t,x))$ ещё пару пунктов "Найти" (возможно, такая задачка будет интересна многим начинающим изучать КМ). Итак, найти:

6) Распределение вероятности для импульса. Т.е. для упоминавшейся выше волновой функции $\Psi(t,x)$ надо найти коэффициенты разложения по состояниям с определённым импульсом $q$ (т.е. - по функциям $e^{iqx/\hbar},$ где $-\infty < x < \infty,$ причём волновая функция $\Psi(t,x)$ вне указанной в задаче потенциальной ямы равна нулю)

$$\Psi(t,x)=\int_{-\infty}^{\infty}a(t,q)\,e^{iqx/\hbar}\frac{dq}{2\pi \hbar},$$

и изучить на графиках зависимость от импульса $q$ квадрата модуля коэффициентов разложения. Величина $\frac{|a(t,q)|^2}{2\pi \hbar} $ как функция переменной $q$ имеет смысл плотности вероятности значений импульса $q.$ Это распределение вероятности относится к моменту времени $t.$

7) Распределение вероятности обнаружения частицы на том или ином уровне энергии; т.е. надо проанализировать на графике зависимость $W_n=|c_n|^2$ от номера уровня $n,$ где $c_n$ - коэффициенты разложения $\Psi(t,x)$ по стационарным состояниям $\psi_n(x),$ см. выше пункты (2),(4).


Вот ответы в виде графиков (при значениях параметров, указанных выше в пункте (3)):

Качественную картину распределения вероятности импульса легко предвидеть из того, что сначала волновой пакет движется со скоростью, соответствующей заданному положительному импульсу $p=1000$ (в этой задаче импульс мы измеряем в единицах $\hbar/a).$ Поэтому в распределении вероятности значений $q,$ имеющих смысл проекций импульса на ось $x,$ должен быть "пик" при $q=p.$ Именно это расчёт и подтверждает: ниже на рисунках в левой части показан весь график плотности вероятности для импульса, в правой части - отдельно область графика с "пиком", чтобы была видна его ширина



К моменту времени $t=0.8\,t_{1a}$ центр пакета доходит до правой стенки потенциальной ямы, пакет при этом отражается назад, искажаясь по форме. Во время этого отражения пик в распределении вероятности импульса при $q=p$ уменьшается, и начинает появляться другой пик - при $q=-p$


Отразившись, пакет восстанавливает свою прежнюю хорошую форму и движется в обратном направлении с импульсом, равным $-p=-1000.$ При этом в распределении вероятности импульса присутствует единственный пик - при $q=-p$


Распределение вероятности для номеров уровней энергии в данном примере имеет вид пика с центром при $n=318 \approx p/\pi$ (в данном примере $p=1000$ в единицах $\hbar/a)$


Аналогичные вычисления ещё и с другими значениями параметров помогают иллюстрировать ряд утверждений КМ:

. Соотношение неопределённости Гейзенберга для координаты и импульса: чем меньше ширина $\Delta x \sim b$ волнового пакета по координатной оси $x,$ тем больше ширина $\Delta q$ пика в распределении импульса, так что $\Delta x \, \Delta q \sim 1$ (у нас $x$ измеряется в долях от ширины ямы $a,$ импульс $q$ измеряется в единицах $\hbar /a).$

. Принцип суперпозиции: волновая функция $\Psi$ может быть представлена линейной суперпозицией базисных функций (разложена по тому или иному функциональному базису), при этом квадраты модулей коэффициентов разложения имеют смысл распределений вероятностей в данном состоянии $|\Psi \rangle .$ (В приведённом примере требовалось найти коэффициенты $c_n$ разложения $\Psi(t,x)$ по базису, составленному из стационарных состояний в яме $\psi_n(x),$ а также коэффициенты $a(t,q)$ разложения по функциям $e^{iqx}.)$

. Волновая функция содержит всю доступную в КМ информацию о состоянии частицы: $|\Psi(t,x)|^2$ - плотность вероятности для точек $x,$ в которых может обнаруживаться частица (в приведённом примере это "облако вероятности" движется и отражается от стенок ямы), $|a(t,q)|^2$ даёт распределение вероятности для значений импульса, которые могут обнаруживаться у частицы (в приведённом примере оно тоже нестационарное: положение пика периодически изменяется), $|c_n|^2$ - вероятность нахождения частицы на энергетическом уровне $E_n$ (эта вероятность не изменяется со временем).

Одномерное движение - дело немножко скучное. В реальном трёхмерном мире есть вращение и важна соответствующая вращениям физическая величина - момент импульса; в таких задачах будет и ещё один важный функциональный базис - "состояния с определённым моментом импульса".

. "Переходу к классическому пределу соответствуют большие квантовые числа". Вернее, почти классической картине движения частицы может соответствовать волновой пакет с достаточно большим средним по пакету импульсом $p,$ - суперпозиция стационарных состояний с большой энергией $E_n$ (с большими $n\gg 1).$ (Когда пакет движется быстро, его расплывание за время прохождения даже довольно большого расстояния может выглядеть незначительным.)

(P.S. Ну хорошо, больше не буду отягощать эту ветку расчётными заданиями. Наверное, топикстартеру здесь уже достаточно материала для размышлений и самостоятельных упражнений в освоении азов КМ.)

[B3LYP]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1621553 писал(а):

А в выражении для энергии у Вас ошибка или опечатка: постоянная Планка должна быть во второй степени.

Поправляюсь:

$\hat {H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2(\psi)}{dx^2}+U \psi

$E= \int_{0}^{a}(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x) \cdot -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x) )}{dx^2})=-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{2}{a}\int_{0}^{a}(\sin(\frac{n \pi}{a}x) \frac{d^2(\sin(\frac{n \pi}{a}x) )}{dx^2})=\frac{\hbar^2}{m} \frac{1}{a}\frac{n^2 \pi^{2}}{a^2} \int_{0}^{a}(\sin^{2}(\frac{n \pi}{a}x) )=\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{a}\frac{n^2 \pi^{2}}{a^2} \int_{0}^{a}(1-\cos(\frac{2n \pi}{a}x) )=\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{a} \frac{n^2 \pi^{2}}{a^2}|_{0}^{a}(x-\frac{a}{2n \pi}\sin(\frac{2n \pi}{a}x))=\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{a} \frac{n^2 \pi^{2}}{a^2} (a-\frac{a}{2n \pi}\sin(\frac{2n \pi}{a}a))=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{n^2 \pi^{2}}{a^2}$

[Cos(x-pi/2)]

B3LYP в сообщении #1621571 писал(а):

Поправляюсь:

$\hat {H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2(\psi)}{dx^2}+U \psi$

Здесь тоже есть ошибка или опечатка.

Выражения для операторов, в том числе и выражение для оператора $\hat {H},$ не должны содержать волновой функции. То есть в равенстве для $\hat{H}$ в правой его стороне не должно быть символа $\psi,$ обозначающего волновую функцию.

Если же Вы пишете равенство, означающее, что оператор $\hat{H}$ действует на функцию $\psi,$ то символ $\psi$ должен быть и в левой стороне равенства (справа от символа оператора), и в правой стороне равенства.

Вот правильные записи:

$\hat {H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+U$

$\hat {H}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+U\psi$

-- 09.12.2023, 15:51 --

В выкладке (для краткости цитирую её не полностью, а лишь до первого знака равенства)

B3LYP в сообщении #1621571 писал(а):

$E= \int_{0}^{a}(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x) \cdot -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x) )}{dx^2})=...$

есть неаккуратности, являющиеся опечатками:

Согласно правилам алгебры не принято после знака умножения (т.е. после точки) сразу писать выражение, начинающееся со знака минус. Надо сомножитель или целиком выражение с минусом заключать в скобки; точку, означающую умножение, можно тогда вообще не ставить. Т.е. вместо

$...\sin(\frac{n \pi}{a}x) \cdot -\frac{\hbar^2}{2m}...$

лучше писать так:

$...\sin(\frac{n \pi}{a}x)\, (-\frac{\hbar^2}{2m}...)$

Под знаками каждого из интегралов по переменной $x$ должен быть (в начале или в конце) символ $dx.$

[B3LYP]

Cos(x-pi/2)
Ок, ещё раз:

$\hat {H(\psi)}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2(\psi)}{dx^2}+U \psi

$E= \int_{0}^{a}(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x) \cdot (-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x) )}{dx^2})dx)=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{n^2 \pi^{2}}{a^2}$

[B3LYP]

Продолжаю смотреть Дэйва:

https://youtu.be/EMq_QbyghMU

Попробую что-нибудь вывести.

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2(\psi (x))}{dx^2}+U(x) \psi (x)=E \psi (x)$

$U(x)=0$ при x<0 и x>a; $U(x)=U_0$ при x от 0 до a.
Предположим, $E<U_0$, т.е. изучаем туннельный эффект.

$\frac{d^2(\psi (x))}{dx^2}=-\frac{2m E}{\hbar^2}\psi (x)$

Этому равенству удовлетворяет синус/косинус или экспонента от минус единицы. Итого имеем:

$\psi (x)=A e^{\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i \psi(x)}+B e^{- \frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i \psi(x)}$

Мне всё это непривычно, но вроде видно что всё правильно. Как я понимаю, мы не пишем

$\psi (x)=A e^{\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i \psi(x)}+B e^{- \frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i \psi(x)}+C \sin(\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar} \psi(x))$

Потому что всегда можно выразить C через A и B, точнее можно поменять A и B чтобы C стал равен нулю.
Поскольку мы имеем два участка где потенциальная энергия нулевая, можно написать:

$\psi (x)=A e^{\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i \psi(x)}+B e^{- \frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i \psi(x)}$

При x<0

$\psi (x)=C e^{\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i \psi(x)}+D e^{- \frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i \psi(x)}$
При x>a

Примем
$G=U_0-E$
G>0

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2(\psi (x))}{dx^2}+(U(x)-E) \psi (x)=0$

$\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2(\psi (x))}{dx^2}=G \psi (x)$

$\frac{d^2(\psi (x))}{dx^2}=\frac{2m G}{\hbar^2}\psi (x)$

Этому уравнению удовлетворяет обычная, не комплексная экспонента:

$\psi (x)=K e^{\frac{\sqrt{2m G}}{\hbar} \psi(x)}+L e^{- \frac{\sqrt{2m G}}{\hbar} \psi(x)}$

Просьба прокомментировать, в верном ли направлении я двигаюсь, и не является ли весь этот подход "натягиванием совы на глобус". Пока в голове совсем не укладывается, как можно описать движение частицы этими стационарными формулами. Где тут скорость движения частицы?

[Cos(x-pi/2)]

B3LYP в сообщении #1622043 писал(а):

Этому равенству удовлетворяет синус/косинус или экспонента от минус единицы. Итого имеем:

$\psi (x)=A e^{\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i \psi(x)}+B e^{- \frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i \psi(x)}$

Нет, этого не имеем.

Вы ведь ищете выражение для $\psi(x).$ Значит, в правильном ответе для $\psi(x)$ в правой его стороне должно быть выражение, зависящее от $x,$ но не от $\psi(x).$ Сформулируйте себе чётко, от какого аргумента зависят упоминаемые Вами "синус/косинус или экспонента". Проверяйте, удовлетворяет ли написанная Вами $\psi(x)$ уравнению Ш. (в каждой области отдельно). (И старайтесь всегда проверять физические размерности величин в формулах; аргументы синусов, косинусов, экспонент, логарифмов и прочих не степенных функций должны быть безразмерными.)

B3LYP в сообщении #1622043 писал(а):

Где тут скорость движения частицы?

Волновая функция $e^{ikx}$ является собственной функцией оператора импульса $\hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}.$ Это видно из равенства

$$\hat{p}_x\,e^{ikx}=\,\hbar k\, e^{ikx}$$

Т.е. функция $e^{ikx}$ описывает состояние частицы с определённым импульсом, он равен $\hbar k.$ Ну а скорость равна импульсу, делённому на массу частицы: $\frac{\hbar k}{m}.$

[Geen]

B3LYP в сообщении #1622043 писал(а):

Просьба прокомментировать, в верном ли направлении я двигаюсь

Может быть, Вам, всё же, стоит с математики начать? - линал, матан, диффуры, ТФКП, урматы....
А то, пока что, есть ощущение того, что Вы пытаетесь протолкнуться методом ненаучного тыка...