Вопросы по математическим основам квантовой механики

[Cos(x-pi/2)]

B3LYP
Точки над $\psi$ не нужны.

B3LYP в сообщении #1620665 писал(а):

вот ещё вопрос: получается при умножении нуля на бесконечность будет ноль?

Этот вопрос решается предельным переходом: сначала надо посмотреть, как ведёт себя решение $\psi(x)$ под барьером конечной высоты когда $U>E$ и $U$ - положительная конечная величина. Тогда станет ясно, что происходит с $U\psi$ при $U\to \infty:$ да, получается ноль.

Но до этого надо ещё добраться. Решайте это уравнение три раза - отдельно в каждой из трёх областей: при $x<0,$ при $0<x<a,$ и при $x>a.$ Начните с области $0<x<a,$ в ней $U=0$ поэтому тут будет всё просто, но результат всё равно придётся как следует обдумать; рассмотрите случаи $E<0$ и $E>0.$

[B3LYP]

Пересмотрел ещё раз первое видео. При $U=0$ имеем простое дифференциальное уравнение:

$\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2}=k^2 \psi(x)$

Мы имеем функцию, превращающуюся в саму себя с обратным знаком при двойном дифференцировании. Вопрос математикам: правильно ли я понимаю, что таким свойством обладают только либо синус и косинус, либо экспонента от $x \cdot i$? Возможно я заодно нашёл ответы на мои вопросы в этой теме:

topic155814.html

Если мы знаем граничные условия - $\psi$ равна нулю в 0 и a - мы можем отбросить сначала косинус, потом из условия нормировки $\int_0^a(\psi^2(x)dx)=1$ выводим конечную формулу:

$\psi_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x)$

Всё правильно?
Я знаю что не очень корректно написал условие нормировки - в общем случае там умножение $\psi$ на сопряжённую ей функцию, а у нас пока нет мнимых чисел. Насколько легко доказать, что в данной задаче мнимые числа не нужны?

[ozheredov]

B3LYP в сообщении #1620713 писал(а):

Мы имеем функцию, превращающуюся в саму себя с обратным знаком при двойном дифференцировании. Вопрос математикам: правильно ли я понимаю, что таким свойством обладают только либо синус и косинус, либо экспонента от $x \cdot i$?

Я нашел еще одну: экспонента от минус ыкс.

[B3LYP]

ozheredov в сообщении #1620727 писал(а):

Я нашел еще одну: экспонента от минус ыкс.

Не так. Она даст минус единицу при первом дифференцировании, а при втором минус на минус дадут плюс.

[Geen]

B3LYP в сообщении #1620713 писал(а):

Мы имеем функцию, превращающуюся в саму себя с обратным знаком при двойном дифференцировании

Откуда мы такую функцию имеем?

[B3LYP]

Geen в сообщении #1620729 писал(а):

Откуда мы такую функцию имеем?

Я забыл поставить минус в формуле. Ещё раз:

$\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2}=-k^2 \psi(x)$

$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

[ozheredov]

B3LYP в сообщении #1620728 писал(а):

Не так.

А да, sorry, меня сбило с толку отсутствие минуса в формуле.

[svv]

B3LYP в сообщении #1620713 писал(а):

правильно ли я понимаю, что таким свойством обладают только либо синус и косинус, либо экспонента от $x \cdot i$?

Решением $\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2}=-k^2 \psi(x)$ будет любая линейная комбинация косинуса и синуса:
$\psi(x)=A\cos kx+B\sin kx,$
где $A,B$ — произвольные вещественные и даже комплексные числа.
В частности,
при $A=1,\;B=0$ получаем $\cos kx$,
при $A=0,\;B=1$ получаем $\sin kx$,
при $A=1,\;B=+i$ получаем $e^{ikx}=\cos kx+i\sin kx$,
при $A=1,\;B=-i$ получаем $e^{-ikx}=\cos kx-i\sin kx$.

[B3LYP]

Повторю ещё раз исходное уравнение:

$-\frac{\hbar}{2m}\frac{d^2(\psi (x))}{dx^2}+U \psi (x)=E \psi (x)$

$\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2}=-k^2 \psi(x)$

$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

$\psi_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n \pi}{a}x)$

Правильно ли я понимаю, что можно выписать и такое например решение:

$\psi=A\sin(\frac{\pi}{a}x)+B\sin(\frac{2 \pi}{a}x)+C\sin(\frac{3 \pi}{a}x)$

Т.е. решением будет и суперпозиция. Только муторно в данном случае было бы нормировать волновую функцию, подбирая соотношение между A, B, C, но это уже частности.

[svv]

B3LYP в сообщении #1620798 писал(а):

$-\frac{\hbar}{2m}\frac{d^2(\psi (x))}{dx^2}+U \psi (x)=E \psi (x)$

Тут $\hbar^2$ должно быть.

Как я понимаю, Вы сейчас рассматриваете случай $U=0$ и $E>0$.

B3LYP в сообщении #1620798 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что можно выписать и такое например решение:

$\psi=A\sin(\frac{\pi}{a}x)+B\sin(\frac{2 \pi}{a}x)+C\sin(\frac{3 \pi}{a}x)$

Нет, коэффициент $k$ при $x$ под синусом и косинусом должен быть тем же, что и здесь:

B3LYP в сообщении #1620798 писал(а):

$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

[B3LYP]

svv в сообщении #1620801 писал(а):

Тут $\hbar^2$ должно быть.

Сорри.
$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2(\psi (x))}{dx^2}+U \psi (x)=E \psi (x)$[

[B3LYP]

Мне сказали, что решение как суперпозиция выше возможна только для нестационарного УШ, точнее оно будет выглядеть так:

$\psi=A\sin(\frac{\pi}{a}x)\exp(\frac{-i\hbar}{2m}\frac{\pi^2}{a^2}t)+B\sin(\frac{2 \pi}{a}x)\exp(\frac{-i\hbar}{2m}\frac{4\pi^2}{a^2}t)+C\sin(\frac{3 \pi}{a}x)\exp(\frac{-i\hbar}{2m}\frac{9\pi^2}{a^2}t)$

Может кто-то объяснить, почему для стационарного УШ суперпозиция невозможна?

svv в сообщении #1620801 писал(а):

Нет, коэффициент $k$ при $x$ под синусом и косинусом должен быть тем же, что и здесь:

Мне кажется вы ерунду написали.

[DimaM]

B3LYP в сообщении #1621011 писал(а):

Может кто-то объяснить, почему для стационарного УШ суперпозиция невозможна?

Прямой подстановкой можно убедиться, что суперпозиция не является решением стационарного УШ.
Насколько я понимаю, физически это потому, что суперпозиция не имеет определенного значения энергии.

[warlock66613]

Стационарное уравнение Шрёдингера $\hat H \Psi = E \Psi$ является линейным, если рассматривать его как уравнение для $\Psi$ при фиксированном параметре $E$.

Соответственно, пространство его решений является линейным и можно говорить, что суперпозиция решений — тоже решение. Однако, существует тривиальный случай: если размерность этого линейного пространства единица, то у нас просто нет хотя бы двух разных базисных решений, чтобы строить нетривиальные суперпозиции. Именно такой тривиальный случай часто имеет место, и соответствующее значение энергии $E$ называется невырожденным уровнем. Однако иногда имеет место вырождение: двукратное, трёхкратное и т. д., то есть когда пространство решений (для данного $E$, напоминаю) двумерно, трёхмерно и т. д., и тогда общее решение уравнения — это суперпозиция двух/трёх и т. д. базисных решений.

Если же рассматривать то же стационарное уравнение как уравнение для пары неизвестных $E, \Psi$, то оно не является линейным (тут даже непонятно как складывать решения между собой, ведь решения — это пары $(E, \Psi)$) — поэтому нельзя говорить о суперпозиции.

[DimaM]

warlock66613 в сообщении #1621030 писал(а):

Однако иногда имеет место вырождение: двукратное, трёхкратное и т. д., то есть когда пространство решений (для данного $E$, напоминаю) двумерно, трёхмерно и т. д., и тогда общее решение уравнения — это суперпозиция двух/трёх и т. д. базисных решений.

Хорошее замечание, я про вырождение забыл.