Уравнение в частных производных

[АленаВ]

Вот,когда переписывала,нашла ошибку

АленаВ писал(а):

Ну да,тогда буду сразу решать такое

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial v} {\partial t}=9\frac {\partial^2 v} {\partial x^2}+(4{t-t^3})x,\\ v|_{t=0}=-5x+2sin(\frac {5\pi{x}} 4)\\ v|_{x=0}=0 ,\\ {\frac {\partial v} {\partial x}}|_{x=2}=0,\\ v(x,t)=X(x)T(t)\not\equiv 0\end{array} \right. $$

А должно быть

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial v} {\partial t}=9\frac {\partial^2 v} {\partial x^2}+(4{t-t^3})x,\\ v|_{t=0}=2sin(\frac {5\pi{x}} 4)\\ v|_{x=0}=0 ,\\ {\frac {\partial v} {\partial x}}|_{x=2}=0,\\ v(x,t)=X(x)T(t)\not\equiv 0\end{array} \right. $$

$$T_n(0)=C+\frac {2(-1)^n} {2187p^4}-\frac {4(-1)^n} {81p^2}$$

,где

$$p=(\frac {\pi} 4+\frac {\pi n} 2)^2}$$

И еще ,вот чтобы найти

$$T_n(0)$$

,нужно ведь разложть в ряд по

$$\sin(\frac {\pi} {4}+ \frac {\pi k} {2})$$

$$sin(\frac {5\pi{x}} 4)$$

,но это же будет $0 $ ?

[ewert]

Мне тоже, но тут уж ничего не поделаешь -- примерно так оно и выйдет (в деталях арифметику не проверял, но похоже).

Можно резко сократить запись, если представить ДУ в виде

$$T_n'=\lambda_nT_n+(4t-t^3)$$

(недостающий множитель при $(4t-t^3)$ надо потом добавить к найденному частному решению).

Ну хорошо. Допустим, так оно и есть. Теперь можете возвращаться к Вашему вопросу о начальных условиях. Что там придётся добавить?

[АленаВ]

Ну по идее нужно добавить,что

$$T_n(0)=?$$

А чему я не знаю..

[ewert]

(исправил пару очепяток в предыдущем посте)

Неверно. У Вас была разумная идея о том, что начальное распределение даётся неким рядом Фурье. Что надо добавить в запись коэффициентов этого ряда? (откуда вообще берётся это соотношение?)

[АленаВ]

Ну нужно разложить в ряд начально условие

[zoo]

Алена а Алена а попросите ewert'а еще рассказать Вам какому функциональному пространсву принадлежит полученное решение уравнения

[АленаВ]

zoo, Вы явно ко мне неравнодушны..

[ewert]

АленаВ в сообщении #162076 писал(а):

Ну нужно разложить в ряд начально условие

прошу прощения, я зазевался и неправильно вопрос поставил. Тот Ваш пост

АленаВ в сообщении #162031 писал(а):

нужно разложить в ряд
. . . . . . . . . . . .
и также приравнять коэффициенты?

-- был правилен абсолютно. И из него однозначно считаются $T_n(0)$. А вот что теперь из всего этого следует -- учитывая, что общие решения Вам известны?

[zoo]

АленаВ писал(а):

zoo, Вы явно ко мне неравнодушны..

конечно, я же Вам уже писал об этом десятком постов выше

я даже не могу разговаривать с Вами прозой. Только стихами (М. Щербакова):

Есть дамы,
которые славятся чутким скелетом
и каждою костью вибрируют страстно
(особенно будучи навеселе),
краснея,
но не отрицая, что часто при этом
в суставах они ощущают пространство,
которому равного нет на земле!

Сей фокус
меня поражает не хуже отравы -
до судорог в сердце и звона в мозгу.
О, эти суставы!
Я не могу!

Бог знает
какие неслыханные эпизоды
являет судьба, издеваясь над нами!
И женский скелет - подтвержденье тому.
Я меркну
пред этим волнительным чудом природы:
когда наслажденье вкушают костями -
сие недоступно уму моему.

Oh, woman!
Воистину, ты - бриллиант без оправы,
само естество пред тобою в долгу.
Но эти суставы!
Я не могу!

Покорно
блюдя этикеты и делом и речью,
всегда соглашаюсь без тени протеста,
что всякая дама достойна пера;
тем паче -
когда неуклюжему гостю навстречу
она, как волна поднимается с места,
не скрипнув ничем, не спугнув комара!

При этом
настолько движенья ее величавы,
что даже царя обращают в слугу.
Я руку целую, согнувшись в дугу...
Но вижу суставы!
И не могу!

[АленаВ]

Цитата:

И из него однозначно считаются $T_n(0)$. А вот что теперь из всего этого следует -- учитывая, что общие решения Вам известны?

Следует,что $C_n=T_n(0)$ и можно записать уже решение первоначального уравнения ввиде

$$v(t,x)=\sum_n{T_n(t)X_n(x)}$$

Добавлено спустя 4 минуты 40 секунд:

Мне еще никто стихов не посвящал!zoo,господи,ну что Вы ко мне привязались

[zoo]

АленаВ в сообщении #162088 писал(а):

Мне еще никто стихов не посвящал!zoo,господи,ну что Вы ко мне привязались

как бы Вам это объяснить? мои уста немотствуют и лишь слова поэта способны излить мое отношение к Вам:

Разве можно от женщины требовать многого?
Вы так мило танцуете, в Вас есть шик.
А от Вас и не ждут поведения строгого,
Никому не мешает Ваш муж-старик.

Только не надо играть в загадочность
И делать из жизни "Le vin triste".
Это все чепуха, да и Ваша порядочность -
Это тоже кокетливый фиговый лист.

Вы, несомненно, с большими данными
Три-четыре банкротства - приличный стаж.
Вас воспитали чуть-чуть по-странному,
Я б сказал, европейски - фокстрот и пляж?

Я Вас так понимаю, я так Вам сочувствую,
Я готов разорваться на сто частей.
Восемнадцатый раз я спокойно присутствую
При одной из обычных для Вас "смертей".

Я давно уже выучил все завещание
И могу повторить Вам в любой момент:
Фокстерьера Люлю отослать в Испанию,
Где живет Ваш любовник... один... студент.

Ваши шляпки и платья раздать учащимся,
A "dessous" сдать в музей прикладных искусств.
А потом я и муж, мы вдвоем потащимся
Покупать Вам на гроб сирени куст.
Разве можно от женщины требовать многого?
Там, где глупость божественна, ум - ничто!

Вертинский А.

[АленаВ]

Неужели я первая на форуме спрашиваю "такую легкую" задачу?
Вам внимания что ли не хватает,и Вы пытаетесь его привлечь таким образом?

[ewert]

АленаВ писал(а):

Следует,что $C_n=T_n(0)$

нет, не следует, в общих решениях ещё и константы присутствуют

[АленаВ]

А что следует? А в каких общих решениях?

[ewert]

Вы выписали общие решения? -- выписали. Вы подставили полное решение (с учётом этих общих) в начальное условие и приравняли $t=0$? -- нет.

Ну разве что интуитивно, что, конечно, очень по-девичьи и симпатишно, но это -- не аргумент. Действуйте сугубо формально, тут ровным счётом больше ничего и не нужно.